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Buenas días, espero que estén bien. Me dirijo hacia ustedes miembros del foro haber si me pueden ayudar por favor con la siguiente cuestión. ¿Como puedo demostrar que teniendo un polinomio de n-ésimo grado, la derivada f^(n+1)=0?
Por un lado ya me convenci a modo de ejemplo tomando un polinomio con grado 2, que al llegar a su tercera derivada me da cero. Pero para un caso general, partiendo de la representación de un polinomio no logro que su derivada sea 0. ¿Que puedo utilizar para probar esto?
De antemano muchas gracias por la atención prestada.Buenos días, Manuel David.
Una manera de resolver tu cuestión, es demostrando que sea un monomio f(x)=ax^n, entonces la derivada n-esima es a·n!, donde n! es el factorial de n (n!=n·(n-1)·…·2·1). Por tanto, la derivada (n+1)-esima es la derivada de a·n!, que es 0 por ser una función constante. Todas las derivadas de orden superior a n serán 0.
Como nuestro polinomio es f(x)=fn(x)+…+f1(x)+f0(x), donde f_i son monomios de grado <=n, y como la derivada n+1-esima de la suma es la suma de derivadas n+1-esimas, y éstas son 0 por tener un orden superior al grado del polinomio (como demostramos antes), obtenemos que la n+1-derivada del polinomio de grado n es 0.Puedes poner ejemplos sencillos y derivar cuanto quieras. Seguro que cuando llegues a n+1 te da 0.
A partir de aquí podemos plantear otra cuestión, y es la de si toda función infinitamente derivable en donde exista un n tal que f^(k)(x)=0 para todo k>=n, es un polinomio.
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