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Necesito calcular «n» para que 1!+2!+…+n! sea un cuadrado perfecto. ¿Alguna idea?
Necesito demostrar que los números de esta serie: 16, 1156, 111556, 11115556,… (que se forman intercalando 15 entre las cifras centrales) son todos cuadrados perfectos.
Hola Astral.
1 – Para el primer problema, como pista, podrías pasar al anillo de Z_5, y demostrar que solo hay un n para que tu expresión sea cuadrado perfecto.
2 – En el segundo, puedes fijarte que todos son múltiplos de 4. Puedes dividir por 4 y tomar su raíz. El patrón se repite. Puedes demostrar por inducción que (16…67*2)^2=(3…34)^2=1…15…56.
Saludos.Muchas gracias pero tengo una duda. ¿A qué te refieres con anillo de Z_5?
¿Son congruencias?
Ya saqué el primero:
Haciendo unas pocas sumas de factoriales, por ejemplo, hasta n=6, se ve que a partir de n=3 todas las sumas terminan en 3, por lo tanto nunca serán cuadrados perfectos. Esto se produce ya que un factorial mayor que 4 acaba en cero, y al sumar, el 3 se mantendrásiempre como última cifra.
Las únicassoluciones posibles son n=1 y n=3
1!=1
1!+2!+3!=9
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