Inicio ForoGauss Matemáticas Dudas/Consultas Suma de factoriales = cuadrado perfecto

  • Este debate tiene 5 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 4 años, 11 meses por Astral.
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  • #43344 Responder
    Astral
    Invitado

    Necesito calcular «n» para que 1!+2!+…+n! sea un cuadrado perfecto. ¿Alguna idea?

    #43345 Responder
    Astral
    Invitado

    Necesito demostrar que los números de esta serie: 16, 1156, 111556, 11115556,… (que se forman intercalando 15 entre las cifras centrales) son todos cuadrados perfectos.

    #43363 Responder
    TT
    Invitado

    Hola Astral.
    1 – Para el primer problema, como pista, podrías pasar al anillo de Z_5, y demostrar que solo hay un n para que tu expresión sea cuadrado perfecto.
    2 – En el segundo, puedes fijarte que todos son múltiplos de 4. Puedes dividir por 4 y tomar su raíz. El patrón se repite. Puedes demostrar por inducción que (16…67*2)^2=(3…34)^2=1…15…56.
    Saludos.

    #43399 Responder
    Astral
    Invitado

    Muchas gracias pero tengo una duda. ¿A qué te refieres con anillo de Z_5?

    #43400 Responder
    Astral
    Invitado

    ¿Son congruencias?

    #43403 Responder
    Astral
    Invitado

    Ya saqué el primero:

    Haciendo unas pocas sumas de factoriales, por ejemplo, hasta n=6, se ve que a partir de n=3 todas las sumas terminan en 3, por lo tanto nunca serán cuadrados perfectos. Esto se produce ya que un factorial mayor que 4 acaba en cero, y al sumar, el 3 se mantendrásiempre como última cifra.

    Las únicassoluciones posibles son n=1 y n=3

    1!=1
    1!+2!+3!=9

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Respuesta a: Suma de factoriales = cuadrado perfecto
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