- Este debate tiene 2 respuestas, 1 mensaje y ha sido actualizado por última vez el hace 4 años, 6 meses por
.
-
Mensajes
-
Hola, podría alguien ayudarme a resolver este problema?
z=1+i
Tengo que calcular: 1+z+z^2+z^3+z^4+…..+z^2017
No sé si habrá alguna fórmula o algo por el estilo para poder resolverlo más fácilmente. Desde ya muchas gracias.
Hola, no he encontrado una simplificación para calcular esto, pero lo he calculado con Python, el resultado es aproximadamente 5.486124068793689e+303, no tiene parte imaginaria. Espero que esto te ayude un poco.
Es decir, z=1+i
y se quiere calcular
1+z+z^2+z^3+z^4+…..+z^2017
Lo cual es una evidente SERIE GEOMÉTRICA de razón precisamente z (con z=1+i)
Esto es un problema tipificado. La FÓRMULA para la SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA general es (en palabras):
ÚLTIMO TÉRMINO por la RAZÓN, menos el PRIMER TÉRMINO; y todo lo anterior dividido por la RAZÓN MENOS 1
[a(n)*r – a(1)] / (r-1)
Aquí el último término es z^2017
El primer término es 1
Y la razón de la progresión geométrica es z=1+i, con lo cual r-1 = i
De esto se sigue que LA SUMA BUSCADA ES
[(z^2017)*z – 1] / i = (z^2018 – 1) / i
El subcálculo de z^2018 es inmediato si se hace en forma polar, arrojando un resultado de
2^1009 [módulo] y pi radianes [argumento]
Lo cual es lo mismo que decir -(2^1009)
Ahora a esto le restamos 1 (lo cual apenas cambia el valor absoluto del enorme número):
-(2^1009)-1
Y finalmente dividimos eso por i, lo cual arroja un número imaginario puro. En concreto y exactamente:
[(2^1009) + 1] * i
Últimos comentarios