Suma finita de números complejos elevados a potencias consecutivas

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Este debate contiene 2 respuestas, tiene 1 mensaje y lo actualizó  Domènec Martell hace 2 meses, 2 semanas.

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  • #49706 Respuesta

    Julian

    Hola, podría alguien ayudarme a resolver este problema?

    z=1+i

    Tengo que calcular: 1+z+z^2+z^3+z^4+…..+z^2017

    No sé si habrá alguna fórmula o algo por el estilo para poder resolverlo más fácilmente. Desde ya muchas gracias.

    #49725 Respuesta

    izan

    Hola, no he encontrado una simplificación para calcular esto, pero lo he calculado con Python, el resultado es aproximadamente 5.486124068793689e+303, no tiene parte imaginaria. Espero que esto te ayude un poco.

    #49739 Respuesta

    Domènec Martell

    Es decir, z=1+i

    y se quiere calcular

    1+z+z^2+z^3+z^4+…..+z^2017

    Lo cual es una evidente SERIE GEOMÉTRICA de razón precisamente z (con z=1+i)

    Esto es un problema tipificado. La FÓRMULA para la SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA general es (en palabras):

    ÚLTIMO TÉRMINO por la RAZÓN, menos el PRIMER TÉRMINO; y todo lo anterior dividido por la RAZÓN MENOS 1

    [a(n)*r – a(1)] / (r-1)

    Aquí el último término es z^2017

    El primer término es 1

    Y la razón de la progresión geométrica es z=1+i, con lo cual r-1 = i

    De esto se sigue que LA SUMA BUSCADA ES

    [(z^2017)*z – 1] / i = (z^2018 – 1) / i

    El subcálculo de z^2018 es inmediato si se hace en forma polar, arrojando un resultado de

    2^1009 [módulo] y pi radianes [argumento]

    Lo cual es lo mismo que decir -(2^1009)

    Ahora a esto le restamos 1 (lo cual apenas cambia el valor absoluto del enorme número):

    -(2^1009)-1

    Y finalmente dividimos eso por i, lo cual arroja un número imaginario puro. En concreto y exactamente:

    [(2^1009) + 1] * i

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