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Sea N un subgrupo finito y normal de un grupo G tal que el grupo de automorfismos anteriores es finito y su orden es primo relativo con el orden de N. Si el índice de N en G es un número primo p, pruebe que G es abeliano.
Mi idea para mostrarlos es tomar una función f de G a int(G) la cual es un epimorfismo, luego usando el primer teorema de isomorfismo. G/Ker(f) es isomorfo a int(G). «Quiero demostrar que Ker(f)=N o al menos que tiene la misma cardinalida» … (1). Para que así G/N sea isomorfo a int(G) y eso implique |int(g)|=p y pues eso implica que |N|=1 y eso as su vez que |G|=p primo y eso que G es cíclico y eso que G es abeliano. ¡¡Pero no se si es posible que se compla (1)!!
¿Amigos, qué es lo que opinan ustedes?
Me faltó decir que f de G a int(G) sería una función que me mande a cada g al automorfismo conjugado digamos h(x)=gxg^{-1}.
Hola Isaac :
ME LLEVARÊ ESTE PROBLEMA A CASA.
LA SEMANA ENTRANTE ME LOGEARE DE NUEVO CON ALGUNA IDEA AL RESPECTO. .PENSANDOLO MEJOR REGRESARE MAÑANA CON ALGUNA IDEA .PARECE QUE HABLAMOS DE GRUPOS SIMPLES CORRECTO ?
LO QUE ME INQUIETA ES ELASUNTO DEL ORDEN PAR DE UN GRUPO SIMPLE.NECESITO ESTUDIAR EL ASUNTO CON CALMA . SOY GENIAL PARA ERRAR DE PRIMERA ENTRADA 🙂 VIVA LA TEORIA DE GRUPOS !!!
Si el enunciado se demuestra pues |G|=p y el grupo si sería simple. Pues por el teorema de Lagrange los únicos subgrupos de G sería el mismo G y la identidad (que son normales en G.
Isaac quizá te sirvan estas ideas
1) La función que defines de G en Int(G) es la que se usa para mostrar que Int(G) es isomorfo a G/Z(G) donde Z(G) es el cetro de grupo (Ker f =Z(G))
2)La idea feliz aquí seria ver que |G/Z(G)|=1, así el centro seria todo G y por lo tanto G seria abeliano.
Sugiero la siguiente notación :
aG : grupo de automorfismos de G
iG : grupo de automorfismos internos de G
zG : centro de GTambién es útil considerar ( G / N ) / ( zG / N ) iso ( G/zG ) algunos autores llaman a este el primer teorema de isomorfismo ( vaya lío diría Galois! ). En efecto N subgrupo de zG (con zG el centro de G). A los grupos tales que todo automorfismo es interno se les llama grupos completos.En tal caso el isomorfismo G … iG se aplica. En general el primer teorema de isomorfismo afirma que el isomorfismo abarca al grupo de automorfismos.
Puede uno preguntarse que sucede en el caso de los p-grupos.Gracias Isaac por este interesante problema que me ha regresado el interés por la teoría de grupos , a desempolvar libros !
Espero que podamos compartir resultados sobre grupos proximamente.
La idea del foro esta genial ! Gracias a Gaussianos por el espacio y felicitaciones !
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