Triangulo numérico

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Este debate contiene 3 respuestas, tiene 2 mensajes y lo actualizó  Fausto hace 2 meses, 2 semanas.

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  • #48311 Respuesta

    Fausto

    Quiero saber si alguien ha visto un triángulo numérico igual a este:

    1
    1 1
    1 4 1
    1 11 11 1
    1 26 66 26 1
    1 57 302 302 57 1
    . . . . . .
    . . . . . .
    . . . . . .

    Al igual que el triangulo de pascal se puede obtener recursivamente, si se suman los números de las filas se obtiene k!, donde k=1,2,3,…, es el numero de la fila, entre otras propiedades.
    Me gustaría saber si alguien se ha encontrado antes con este triangulo numérico, ya que lo he encontrado hace poco y creo que es interesante.
    De antemano,¡gracias!

    #48318 Respuesta

    gaussianos
    Jefe de claves

    Fausto, ¿cuál sería la fórmula recursiva que genera el triángulo?

    #48320 Respuesta

    Fausto

    Claro, es esta:
    B(p+1,i+1) = (p+1-i)[B(p,i)] + (i+1)[B(p,i+1)]
    donde:
    p = 0,1,2,3,…, y i = 0,1,2,3,…,
    cuando i=p entonces B(p,i)=1 de aquí que B(0,0)=1
    si i=0 y p>0 entonces B(p,0)=0
    si i>p entonces B(p,i)=0
    y cuando 1<=i<p se usa la formula recursiva dada.
    En el triángulo que mostré anteriormente, no incluí el caso cuando p=i=0, pero con estas reglas se puede ver que el triángulo queda de esta manera, con una ligera modificación:

    1—0—0—0—0—0—0 Antes me faltó mencionar que la p es para
    0—1—0—0—0—0—0 las filas y la i para las columnas.
    0—1—1—0—0—0—0 Anteriormente había mencionado que la
    0—1—4—1—0—0—0 suma de los números de una fila suma i!
    0—1—11–11–1—0—0 y con el 1 que le acabo de agregar al
    0—1—26–66–26–1—0 triángulo se estaría cubriendo el caso
    0—1—57–302-302-57–1 0!=1.
    . . . . . . .
    . . . . . . .
    . . . . . . .

    Bueno, espero y me puedan ayudar con mi pregunta inicial, ya que quiero saber si alguien se lo ha encontrado antes para no seguir buscando propiedades en el, que tal vez ya se han encontrado.

    #48323 Respuesta

    Fausto

    Vuelvo a escribir lo anterior por que no era muy comprensible:

    B(p+1,i+1) = (p+1-i)[B(p,i)] + (i+1)[B(p,i+1)]
    donde:
    p = 0,1,2,3,…, y i = 0,1,2,3,…,
    cuando i=p entonces B(p,i)=1 de aquí que B(0,0)=1
    si i=0 y p>0 entonces B(p,0)=0
    si i>p entonces B(p,i)=0
    y cuando 1<=i<p se usa la formula recursiva dada.
    En el triángulo que mostré anteriormente, no incluí el caso cuando p=i=0, pero con estas reglas se puede ver que el triángulo queda de esta manera, con una ligera modificación:

    1—0—0—0—0—0—0
    0—1—0—0—0—0—0
    0—1—1—0—0—0—0
    0—1—4—1—0—0—0
    0—1—11–11–1—0—0
    0—1—26–66–26–1—0
    0—1—57-302-302-57—1
    …..
    …..
    …..

    Antes me faltó mencionar que la p es para las filas y la i para las columnas.
    Anteriormente había mencionado que la suma de los números de una fila es i! y con el 1 que le acabo de agregar al triángulo se estaría cubriendo el caso 0!=1.

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