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Tomando dos matrices que tengan determinante igual a 0 y cuya suma sea una matriz con determinante distinto de 0 ya estaría demostración que ese conjunto no es un espacio vectorial con esas operaciones. Es sencillo encontrar un ejemplo así. Piénsalo, y si no se te ocurre ninguno vuelve a escribir 🙂
Hola Miguel Vaquer. Bienvenido a ForoGauss :).
Piensa que al sumar dos matrices A y B nos queda una matriz, A+B, que cumple que su traza es la suma de las trazas de las dos primeras. Como de entrada partes de que las trazas de A y de B valen cero, entonces la traza de A+B, al ser suma de las trazas de las otras dos, también vale cero. Por tanto la suma de matrices de H también es un elemento de H.
Y con el producto por un número real la situación es parecida, ya que, dado k un número real, se tiene que
$$tr(k \cdot A)=k \cdot tr(A)$$
ya que en la matriz k·A todos los elementos de la diagonal principal quedan multiplicados por k. Por tanto, partiendo de que A pertenece a H tenemos que tr(A)=0, por lo que
$$tr(k \cdot A)=k \cdot tr(A)=k \cdot 0=0$$
y en consecuencia el producto de una matriz de H por un número real también es un elemento de H.
Esto prueba que H es un espacio vectorial sobre R.
Si te queda alguna duda vuelve a preguntar :).
Muy buenas GoRza, bienvenido. Ya he visto que estás participando mucho en él, y te lo agradezco. Sigue con ello 🙂
Belén, muchas gracias por tus recomendaciones. El primero lo he leído, y es entretenido y fácil de leer. La verdad es que me gustó. El segundo no lo he leído, pero intentaré leerlo pronto :).
Ups, me confundí de pregunta, pensé que todavía estábamos con la serie que por la que se preguntó al principio. Y también me equivoqué en las cuentas con dicha serie, ciertamente su límite es \( \frac{7}{36} \).
Sobre la serie de Karl no he pensado, a ver si tengo un rato.
La serie
$$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k(k+1)(k+3)}}$$
es convergente. Se puede ver usando comparación por paso al límite comparando con
$$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^3}}$$
que es claramente convergente (es el caso \( p=3 \) de la armónica generalizada).
La pista de Damiancete de separar en fracciones simples es la buena. Si no me equivocado en las operaciones la suma da \( \frac{1}{2} \).
Cierto Pedro, es un problema del blog en general. Con los cambios de hora la cosa se descontrola. A ver si consigo dar con la tecla.
Óscar, quizás esas sugerencias irían mejor en Libros y películas sobre matemáticas. Y si das enlaces de cada uno de ellos mucho mejor :).
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