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Igualdad con integral

Esta semana os traigo un problema que ha surgido a partir de una consulta Jesús, un lector de Gaussianos, a través de nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com. El tema proviene de nuestra segunda demostración sobre la irracionalidad de \pi [1]. No es demasiado difícil, por ello pido que se detalle todos los pasos. El enunciado es el siguiente:

Si \displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}, demostrar la siguiente igualdad:

\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}

Repito, hay que mostrar explícitamente todos los pasos que se den. Ya que la cosa no es complicada vamos a intentar hacerla bien. Así que paciencia y al lío.