¿Sabía que…

0′999… = 1?. Veámoslo:

x = 0′999… (1)

10x = 9′999… (2)

Restamos (2) – (1):

9x = 9

Despejando x:

x = 1 (3)

Por (1) y (3):

0′999… = 1

Curioso, ¿verdad?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

33 Comentarios

  1. Esa igualdad es mitica. La demostración que yo suelo explicar es la siguiente:

    Sean x=0’9… y 1 dos numeros reales distintos.
    -> 1-x~=0 -> restamos:

    1.000000000…0…
    – 0.999999999…9…
    ——————–

    siempre te llevas uno de atras por lo tanto la resta da 0 llegando a un absurdo.

    Luego son iguales.

    Otra podia hacerse partiendo de la premisa de que entre dos numeros reales siempre hay infinitos numeros reales, por lo tanto al menos uno y obviamente no se puede encontrar.

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  2. Otra podia hacerse partiendo de la premisa de que entre dos numeros reales siempre hay infinitos numeros reales, por lo tanto al menos uno y obviamente no se puede encontrar

    Me ha gustado esto 🙂

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  3. Yo creo que se puede explicar diciendo que simplemente no existe un número entre el 0.999 y el 1 y por lo tanto son el mismo número.

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  4. Si, yo conocía ambas. Normalmente uso la que ha propuesto ^DiAmOnD^ si no me quiero complicar la vida (es rápida, sencilla y fácil de entender). Si quiero que la persona a la que se lo explico reflexione un buen rato sobre la grandeza de los números reales uso lo de:

    “Entre dos números reales siempre hay al menos otro”

    Y le pido que me encuentre un número mayor que 0,99999… y menor que 1.

    Esta última demostración implica con

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  5. Con esto cambiamos la definición de igualdad entre dos números: dos números son iguales cuando al restarlos nos acercamos al 0 tanto como queramos. ¿Os parece?

    Salud!

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  6. primero , felicitaciones por el blog, segundo creo que estan buscando contables en Marbella y los anteriores hacían operaciones parecidas a la del post de hoy 😉

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  7. Me gusta la idea de ghostDancer, lo único malo sería el tema de la cárcel, pero vamos que con un buen viaje a una isla desierta o un país sin tratado de extradición uno se lo pasa pipa, tipo Roldán.

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  8. La definición de número real está basado en la definición de límite de una serie racional; y la igualdad de estos números reales es si podemos hacer la serie diferencia tan pequeña como queramos (más o menos).

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  9. Los números reales pueden definirse de varias maneras: axiomáticamente, por cortaduras de Dedekind… Creo que tú te refieres a esta última.

    Respecto al tema, eso es precisamente lo que pasa. Tomando 0’999… como una serie racional su límite es 1. Por tanto la diferencia es tan pequeña como queramos. Esa es la idea de la igualdad.

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  10. Se puede ver mas o menos lo mismo en:

    1 = 3/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.3333..3.. + 0.3333..3.. + 0.3333..3.. = 0.9999..9..

    Saludos!

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  11. La verdad es que no soy un experto en matematicas, y por eso desconozco teoremas y teorias, simplemente creo que es jugar con la “gramatica” matematica…

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  12. Dani es que es justamente eso. Lo que pasa es que llegar a ciertos niveles del juego no es nada fácil.

    Esto es como el ajedrez: puedes saber las reglas pero combinarlas con una buena táctica no es sencillo.

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  13. Voy a aprovechar que habláis de la densidad de Q en R,para hacer una defensa de Bolzano,al que se condenó al ostracismo,debido a que compartió época con Cauchy .
    Bolzano es el que “visualizó” que los números irracionales eran “límites de sucesiones de números racionales “,así raíz de 2 ,es el límite de la sucesión de números racionales cuyos cuadrados tienden a 2.
    Weierstrass,conoció antes que nadie los razonamientos de Bolzano,que se tardaron en publicar ¡¡100 años¡¡ ,en 1962 ,de hecho hay un teorema que lleva el nombre de los dos,cortesía de Weierstrasss.
    Otra manera de entender los números irracionales es mediante las cortaduras de Dedekind …(no confundir).Yo por supuesto,prefiero la idea de Bolzano…pero quizás a un alumno de la ESO,mejor se lo explico con las cortaduras.
    Y para hacer justicia a Bolzano ,quiero dejar dicho que lo que solemos llamar criterio de la raíz o de Cauchy ,en series numéricas,en realidad es un criterio establecido por Bolzano.
    Y ya para acabar,La Geometría fractal,el propio Mandelbrot,reconoce en su libro ,que Bolzano es uno de los matemáticos que vió que “las funciones contínuas y derivables ,eran más raras ,que las infinitamente no derivables,y lo considera uno de los primeros visionarios de la geometría fractal.

    Diamond,anímate con los fractales,que son fascinantes…
    Un saludo…a los dos,neok y diamond.

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  14. Un crack Bolzano, siempre me han encantado los resultados de este matemático.

    Sobre los fractales: está en proceso. Dentro de no demasiado tiempo espero tener preparado un post sobre estos entes matemáticos. Tiempo al tiempo :).

    P.D.: nieves, como siempre un comentario muy interesante. Saludos 🙂

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  15. Con la emoción de hablar de Bolzano ,se me olvidó decirle a Neok lo que yo opino de este asunto de 0,999999…. =1.
    NEOK dice :Entonces, 0′9999…. es igual a 1 ¿sí o no? Ya me haceis dudar, sin vergüenzas.

    Pues ,tu hazme caso a mí…
    Si eso fuera cierto,entonces (1-1/n) cuando n fuera infinito,sería “exactamente ” 1,lo cual querría decir que “1/e ” sería 1,ya que se genera través de la expresión (1-1/n) elevada a “n”.Eso nos llevaría a concluir que “e =1 “,lo cual no puede ser porque el número que Napier nos regaló,no es una quimera,está en el coseno hiperbólico(catenaria)y eso es real y todos los días nos tropezamos con un coseno hiperbólico cuando salimos de casa…XD.
    Un saludo.

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  16. Nieves, puedes intentar lo de la explicación. Yo soy un estudiante de 1º de Bachillerato que no ha dado nada de límites ni cortaduras.

    Lo de Boltzano, lo he entendido.Puedes probar con las cortaduras (que no sé lo que son) y te cuento.

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  17. ¡Ah!, y esto no sé de dónde lo sacas:

    Si eso fuera cierto,entonces (1-1/n) cuando n fuera infinito,sería “exactamente ” 1

    Según tengo entendido, un número partido por infinito es cero.

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  18. [1-(1/n)] – siendo n=∞ –
    [1-(1/n)] = [1-(1/∞)] = (1 – 0) = 1

    Otra cosa, nieves, “la expresión (1-1/n) elevada a “n” ” no es “1” (siendo n=∞), sino 1^∞, ¡lo que es una indeterminación!
    Luego sería 1^∞ = 1/e según el resto de tu deducción, y solo en este caso, ¿no?

    Respecto al problema planteado arriba, creo que el quiz de la cuestión se encuentra en que el número usado para la operación es un decimal infinito periódico puro. Si probais a hacerlo con un número que no lo sea, por ejemplo “0,9999” y realizais todas las operaciones otra vez, vereis que el valor de X permanece inalterable.

    ¿Qué quiero decir con ésto? Pues que nuestro “0,999…” inicial tiene, por ejemplo, un millón de nueves tras la coma. Al multiplicarlo por 10, tendremos 999.999 nueves tras la coma (un 9 menos), que es el que marca la diferencia. Pero al tratar con un número infinito periódico puro, esa diferencia se esfuma, ya que siempre se expanderán hasta el infinito (hasta el momento en el que se hace “1”, pero esto ya es filosófico y no matemático).

    Bueno yo creo que lo he entendido.

    La cuestión es que “0,999…”, en el infinito (que es hasta donde llega) , si que es “1”. Pero como no podremos llegar nunca a contar hasta el infinito puesto que en la realidad no es posible, “0,999…” no es igual a “1”.

    🙂 He pegado la plasta como nunca antes lo había hecho!!

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  19. ¿Y por qué no hallar la fracción generatriz de 0.999…, como buen número racional que es?
    0.999… x 10 = 9.999…
    0.999… x 1 = 0.999…

    Restando obtenemos que:
    (0.999…)x(10-1) = 9

    Luego 0.999… = 9/(10-1) = 1.

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  20. Seguimos suponiendo que el número se expande hasta el infinito, y que “0,999…” y “10 x 0,999… = 9,99…” tienen el mismo número de 9’s tras la coma. Desde mi punto de vista, si 0,999… fuera 1, escribiríamos “1”, luego 1 ≠ 0,999…

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  21. Lo que está claro es que 0.9^ (léase 0.9 con un gorro en forma de semicircunferencia encima del 9) es 1. El que se escriban distinto no quiere decir nada, también puedo escribir exp(-j·pi) y sigue siendo 1.

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  22. Y ahora que me doy cuenta, mi comentario precisamente es el postulado inicial… eso pasa por leer sólo las respuestas :D. No sé, yo no veo que sea tan ‘curioso’. Lo dicho, al ser periódico puro, es racional, luego debe tener una fracción generatriz. No existe ninguna fracción de enteros que dé 0.9^, o mejor dicho, sí, todas aquellas de forma N/N (por la demostración inicial, precisamente, llegamos a que 5/5, -7/-7 o 446528/446528 son iguales a 0.9^).

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  23. Retomando lo de antes, ¿Alguien podría explicarme lo que son las cortaduras que se mencionaron antes?

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  24. Aquí lo explican bastante bien

    DedekindCuts

    Basicamente se define cada real como el conjunto de racionales que son menores que el.
    e.g.
    real2={x:x racional y x<2}
    sqrt(2)={x:x racional y (x^2<2 o x<0)}

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  25. ¿Nadie ha hablado de límites? (corrijo veo que arriba está una idea parecida) supongo que alguien lo habrá puesto, pero allá va:

    1=0,9+0,1=0,9 + 0,09 + 0,01= lim_{n -> oo} (sum_{i=0}^n (0,9*10^{-i}) + 0,1*10^{-n} )

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