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Look-and-say y la constante de Conway

Internet está plagado de acertijos del tipo continúa la sucesión, esto es, acertijos donde nos presentan una lista de números y nos retan a descubrir la regla que los generan para así poder continuar dicha lista. Por poner un ejemplo, tenemos ésta sencilla sucesión:

1, 2, 4, 8, 16, \ldots

Es claro que una solución es que el siguiente término es 32. ¿Cómo que una? Querrás decir la solución, ¿no? Pues no, no es única. En este post [1] os daba otra posibilidad.

Bueno, el caso es que hoy os voy a hablar de una sucesión de este tipo, que no por conocida deja de ser interesante. Intentad continuar con la sucesión (quienes no la conozcan, claro):

1,11,21,1211,111221, \ldots

Veeeeenga, pieeeeensa, que es más fácil de lo que pareeeeece…

¿Nada? Bien, pues entonces os voy a contar yo cómo se forma esta sucesión y algunos entresijos de la misma.

La sucesión Look-and-say

Vamos a explicar cómo se forma la sucesión. Comenzamos con el 1 como primer elemento. El segundo elemento saldrá de leer el primer elemento y escribirlo en forma de número. Si leemos el primer elemento decimos “un uno”. Por eso el segundo elemento es 11. El tercer elemento sale de leer el segundo, para lo que diríamos “dos unos”, quedando entonces en tercer lugar el número 21. Y así sucesivamente. Por ello esta sucesión se denomina Look-and-say sequence y continúa de la siguiente forma:

1,11,21,1211,111221,312211,13112221,1113213211,31131211131221, \ldots

Curiosa sucesión, eso es innegable.

Bien, vamos a comentar algunas de sus propiedades:

¿Esconde alguna otra sorpresa numérica esta sucesión? Pues….

Fibonacciando, calculemos los cocientes relacionados con esta sucesión, pero no de cada elemento entre su anterior, sino del número de cifras de cada elemento entre el número de cifras del anterior:

\cfrac{2}{1}=2,\cfrac{2}{2}=1,\cfrac{4}{2}=2,\cfrac{6}{4}=1.5,\cfrac{6}{6}=1,\cfrac{8}{6}=1. \widehat{3},\cfrac{10}{8}=1.25,\cfrac{14}{10}=1.4 \ldots

No parece que haya demasiada regularidad, pero en realidad la hay. De hecho estos cocientes tienden a al mismo número sea cual sea el primer elemento de la sucesión (excepto el 22). Ese número, conocido como constante de Conway, es el siguiente:

\lambda = 1.30357726 \ldots

Su nombre proviene del gran matemático inglés John Horton Conway, que estudió dicho límite de los cocientes:

John Horton Conway

Bien, ¿se sabe algo de este número? Pues sí. Se sabe que es irracional…y, sorprendentemente, algebraico, hecho que demostro el propio Conway. ¿Qué significa esto último? Pues, como sabemos, esto quiere decir que existe un polinomio con coeficientes enteros tal que esta constante de Conway \lambda es una de sus soluciones.

¿Y cuál es ese polinomio? ¿Cómo es? ¿Qué grado tiene? Comparando con el número de oro, \phi, proveniente de la sucesión de Fibonacci, que es solución de la ecuación polinómica de segundo grado x^2-x-1=0, uno podría pensar que el grado no puede ser muy grande en este caso…Nada más lejos de la realidad: \lambda es la única solución positiva de la siguiente monstruosa ecuación polinómica de grado 71:

\begin{matrix} x^{71} - x^{69} - 2 x^{68} - x^{67} + 2 x^{66} + 2 x^{65} + x^{64} - x^{63} - x^{62} - x^{61} - x^{60} - x^{59} + 2 x^{58} + \\ + 5 x^{57} + 3 x^{56} - 2 x^{55} - 10 x^{54} - 3 x^{53} - 2 x^{52} + 6 x^{51} + 6 x^{50} + x^{49} + 9 x^{48} - 3 x^{47} - \\ - 7 x^{46} - 8 x^{45} - 8 x^{44} + 10 x^{43} + 6 x^{42} + 8 x^{41} - 5 x^{40} - 12 x^{39} + 7 x^{38} - 7 x^{37} + 7 x^{36} + \\ + x^{35} - 3 x^{34} + 10 x^{33} + x^{32} - 6 x^{31} - 2 x^{30} - 10 x^{29} - 3 x^{28} + 2 x^{27} + 9 x^{26} - 3 x^{25} + \\ + 14 x^{24} - 8 x^{23} - 7 x^{21} + 9 x^{20} + 3 x^{19} - 4 x^{18} - 10 x^{17} - 7 x^{16} + 12 x^{15} + 7 x^{14} + 2 x^{13} - \\ - 12 x^{12} - 4 x^{11} - 2 x^{10} + 5 x^9 + x^7 - 7 x^6 + 7 x^5 - 4 x^4 + 12 x^3 - 6 x^2 + 3 x - 6 = 0 \end{matrix}

Esta ecuación tiene 68 soluciones complejas no reales (34 parejas compleja-conjugada) y tres soluciones reales, de las que dos son negativas, -1.08824 \ldots y -1.01115 \ldots, y la otra es \lambda = 1.30357726 \ldots. Podemos verlas todas representadas en la siguiente gráfica:

Soluciones

En este generador de la secuencia Look-and-say [2] se pueden ver, entre otras cosas, los términos que van apareciendo en cada posición y las sucesivas aproximaciones al valor de la constante de Conway.

Y para finalizar comentar otra curiosidad. Conway también demostró que de un cierto término en adelante casi todos los elementos de la sucesión pueden descomponerse en 92 subtérminos, a los que llamó elementos (como los elementos químicos). En los enlaces de las fuentes encontraréis más información sobre este dato.


Fuentes:


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Look-and-say y la constante de Conway en Menéame [6]