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Los 100 mejores teoremas

En Matemáticas existen multitud de teoremas y resultados importantes. Pero como en todo ámbito de la vida entre ellos también hay algunos que pueden considerarse más importantes o mejores que el resto. En The Hundred Greatest Theorems [1] podemos encontrar una lista elaborada por dos matemáticos con los 100 teoremas más significativos para ellos basándose en su aparición en los libros, la calidad de la demostración y lo inesperado de su resultado.

En ella podemos encontrar verdaderas maravillas de las Matemáticas: el principio de Inducción, la trascendencia de e y π, la solución general de la ecuación cuártica, el último teorema de Fermat o la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Pero ahora os voy a comentar un resultado que se conoce desde que Euclides lo publicó en su libro Elementos: la infinitud del conjunto de números primos [2]. Veamos la demostración del propio Euclides, sencilla la par que brillante:

Supongamos que el conjunto de números primos es finito, es decir, existen ciertos p1, p2, … , pn que son los únicos números que son primos. Vamos a formar con ellos el siguiente número:

p = p1· p2· … · pn + 1

Por propia construcción el número p es mayor que cualquiera de los números primos. Además, por la misma razón, al dividir p entre cualquiera de esos números primos el resultado es 1. Es decir, p no es divisible por ninguno de los números primos que existen. ¿Qué significa esto?. Pues muy sencillo: que el propio p es un número primo o en el caso de no serlo que es divisible por algún otro número primo que no aparece en la lista anteror. Cualquiera de las dos posibilidades está en contradicción con que sólo existían los números primos p1, p2, … , pn como rezaba la suposición que hicimos al comienzo. Por tanto esa suposición era falsa y y llegamos a la conclusión que buscábamos:

El conjunto de números primos en infinito

Como podéis ver demostración clara, sencilla y realmente bella. Por cierto, el método de demostración que se ha usado en este caso se denomina Reducción al Absurdo [3], y como hemos podido ver consiste en demostrar algo suponiendo cierto su contrario y llegando así a una contradicción. Es un método de demostración muy usado en Matemáticas y bastante más potente de lo que en principio podría parecer.

Edito: Pequeña formalidad matemática resuelta.