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Los curiosos enteros gaussianos

Introducción

Un joven Gauss

Un joven Gauss

El conjunto \mathbb{Z}=\{ \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots \} de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto \mathbb{C}=\{ a+bi; \; a, b \in \mathbb{R} \} de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.

El conjunto de los enteros gaussianos

El conjunto al que nos referimos se denomina en la actualidad conjunto de los enteros gaussianos, se representa como \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack y su definición es la siguiente:

\mathbb{Z} \lbrack i \rbrack=\lbrace x+iy; \; x,y \in \mathbb{Z} \rbrace

Es decir, los enteros gaussianos son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.

Este conjunto de enteros gaussianos es un anillo [1] con las operaciones suma y producto habituales en los números complejos. Por tanto es un subanillo de \mathbb{C}. De hecho es más: es un dominio de factorización única (DFU). Esto significa que la factorización de un entero gaussianos como producto de sus factores primos es única (salvo el orden de colocación de dichos factores). Eso no ocurre en todos los conjuntos de este tipo. Por ejemplo, el conjunto

\mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-5} \rbrack=\lbrace a+b \sqrt{-5}; \; a,b \in \mathbb{Z} \rbrace

es un anillo, pero no es un DFU, ya que hay elementos de dicho conjunto que tienen varias factorizaciones esencialmente distintas. Por ejemplo el 6:

6= 2 \cdot 3 y 6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

Y con esto entramos en uno de los temas que más interés puede suscitar en este conjunto de enteros gaussianos: todo lo referente a sus elementos primos, es decir, los primos gaussianos. Por ello les dedico un punto separado del resto.

Primos gaussianos

Comencemos con un ejemplo. En los números enteros el número 17 es primo, ya que sólo es divisible por 1 por él mismo. Pero en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack:

17=(1+4i)(1-4i)

Es decir, el número 17 tiene más divisores aparte del 1 y de él mismo, por lo que deja de ser primo si lo consideramos en el conjunto de los enteros gaussianos. Curioso, ¿verdad?

Pero eso no ocurre con todos los números primos de \mathbb{Z}. Por ejemplo, 7 es primo en \mathbb{Z} y también lo es en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack.

En este punto la pregunta está bastante clara:

¿Hay alguna forma de saber si un número primo en \mathbb{Z} sigue siéndolo también en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack?

Pues la respuesta es . Si p es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4n+1 entonces deja de ser primo en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack (este es el caso del 17), pero si es de la forma 4n+3 entonces sigue siendo primo en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack.

El 2 es un caso especial, ya que no cumple ninguna de esas dos descripciones. Entonces, ¿es un primo gaussiano? Pues no:

2=(1+i)(1-i)

En general, dejando aparte el caso del 2, un entero gaussiano x+iy es un primo gaussiano si y sólo si:

  1. O x o y es cero y el otro es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4n+3 (o su negativo, -(4n+3)).
  2. Ambos son distintos de cero y x^2+y^2 es un primo de \mathbb{Z}.

Por tanto, 7 es un primo gaussiano (es 7+0 \cdot i y 7=4 \cdot 1+3) y 2+3i también lo es (ya que 2^2+3^2=13, que es primo en \mathbb{Z}), pero 17 no es un primo gaussiano.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más interesantes de estos enteros gaussianos la encontró el propio Gauss y se refiere a la ley de reciprocidad cuadrática, resultado que ya ha aparecido por este blog varias veces. Concretamente Gauss encontró que esta ley puede plantearse y demostrarse más fácilmente utilizando enteros gaussianos.


En Gaussian Integer [2] de la Wikipedia inglesa podéis ver algún otro detalle interesante sobre los enteros gaussianos.