Número de soluciones reales

Os dejo el problema de esta semana:

Determinar cuántas soluciones reales de la siguiente ecuación:

\sqrt{2-x^2}=\sqrt[3]{3-x^3}

Que se os dé bien.

Author: gaussianos

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

34 Comments

  1. A mi me salen solo dos raíces imaginarias: 0,3845776i y -0,3845776i.

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  2. ¿El enunciado está completo?

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  3. Me parece que ninguna, encuentro todas imaginarias:

    x=-1.42366-1.01332i
    x=-1.42366+1.01332i
    x=-0,017921-0.280124i
    x=-0,017921+0.280124i
    x=1.44158-0.00348i

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  4. Para resolverlo elevo los dos lados a la sexta y obtengo una ecuación de sexto grado:

    2*x^6-6*x^4-6*x^3+12*x^2+1=0

    El Wolfram Alpha me da las soluciones imaginarias anteriores.

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  5. Creo que no tine solución dentro de los números reales.
    En cambio, dentro de los número complejos o imaginarios si que la tiene:

    x=-0,0179215-0,280124i

    x=-0,0179215+0,280124i

    Igual que lo que han mencionado mas arriba.

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  6. Debe estar comprendido entre: \sqrt{2}\approx 1.414<x<\sqrt[3]{3}\approx 1.442 (léase raíz de dos menor o igual a x, raíz cúbica de tres mayor o igual a x).
    Para ambos miembros.

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  7. Daniel Dávalos, no existe solución real para esa ecuación. No obstante, si existiera la condición a poner sería -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}, que se deduce del miembro de la izquierda.

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  8. Pues elevando ambos miembros a la sexta tendremos estas 6 soluciones pero ninguna Real:

    x = -0.01792146754 – 0.2801235605i ∨ x = -0.01792146754 + 0.2801235605i ∨ x = -1.423661050 – 1.013316726i ∨ x = -1.423661050 + 1.013316726i ∨ x = 1.441582518 – 0.003482440571i ∨ x = 1.441582518 + 0.003482440571i

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  9. Marco Tac, se puede limitar fácilmente a solo la parte positiva del intervalo que indicas. Con eso, el polinomio de Mmonchi y alguna otra consideración se puede determinar la ausencia de soluciones reales por medios elementales propios de un problema de olímpiada, como este.

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  10. Para x negativo, la parte de la izquierda es creciente y la de la derecha, decreciente. Como en x=0, es mayor el término de la derecha, no puede haber soluciones negativas.

    La parte de la izquierda nos da la circunferencia x^2+y^2=2, y la parte de la derecha la ecuación x^3+y^3=3. Para que haya solución, tiene que haber algún par x,y con 0<x<\sqrt{2}, tal que cumpla las dos ecuaciones, pero es fácil ver que el máximo de x^3+y^3 para los puntos de la circunferencia se da cuando x=0 ó y=0, y no llega a 3.

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  11. ¿Cómo te lo diría? Se puede hacer más fácil pero es más difícil.

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  12. Una cosilla (para el futuro) para los de las 6 soluciones a través del wolfram…
    ¿Cuántas soluciones tiene, en el plano complejo, x^2=1?
    Obvio, tiene 2: 1 y -1

    Ahora elevo ambas partes al cuadrado
    ¿Cuantas soluciones tiene x^4=1?
    Tiene 4: 1, -1, i, -i
    Deduzco entonces que x^2=1 tiene 4 soluciones? Porque eso es lo que ocurre cuando decís que tiene 6. Tenéis 6 candidatas a solución, hay que comprobar luego cuáles sirven con la ecuación inicial

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  13. Francesc: Efectivamente, habría que mirar cuáles de esas 6 soluciones satisfacen la ecuación, pero como todas son complejas y el enunciado nos pide determinar el número de soluciones reales, sabemos que no puede haber ninguna.

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  14. ¿Y con lápiz y papel? ¿Podemos determinar que la ecuación 2*x^6-6*x^4-6*x^3+12*x^2+1=0 no tiene soluciones reales?

    Pasar el término independiente a la derecha no es toda la solución del problema, pero casi.

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  15. Con ver que f(x)=\frac{1}{2}\ln (2-x^2)-\frac{1}{3}\ln(3-x^3) es negativa en (-a,a), a=\sqrt{2}, tenemos comprobado que no hay raíces reales. Y eso es fácil de comprobar (siempre que sea legal utilizar cálculo diferencial): f(-a^+)=-\infty, f(a^-)=-\infty y derivando es fácil ver que el único extremo relativo (máximo) de la función está en x=0 siendo además f(0)<0. Luego no hay raíces reales.

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  16. Una manera de atacarlo sería comprobar que la función es siempre positiva y por tanto no tiene ceros. Si la derivamos nos queda 6*(2*x^4-4*x^2-3x+4)*x=0. Como x^6 tiende a infinito positivo en ambos extremos, basta con comprobar que los mínimos de la función son positivos. Esos mínimos están en los ceros de 2*x^4-4*x^2-3x+4=0 y en x=0.

    Ahora el problema es resolver la ecuación de cuarto grado 2*x^4-4*x^2-3x+4=0, algo que sí se puede hacer con lápiz y papel, sustituir sus soluciones en y=2*x^6-6*x^4-6*x^3+12*x^2+1 y comprobar que los mínimos son positivos y por tanto no hay soluciones reales.

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  17. Podemos transformar la ecuación de sexto grado así:

    2*x^6 – 6*x^4 – 6*x^3 + 12*x^2 + 1 = 0
    2*x^6 – 6*x^4 – 6*x^3 + 12*x^2 = -1
    2x^2(x^4 – 3x^2 – 3x + 6) = -1
    2x^2(x^4 + 3(1 – x^2) + 3(1 – 3x)) = -1

    El primer miembro es positivo para todo x en [0, 1], por lo que la ecuación carece de soluciones en ese intervalo.

    Ahora basta probar que si no las tiene en [0, 1] tampoco las tiene en [1, rq(2)] (rq(2) = raíz cuadrada de 2, es que no tengo demasiada soltura con el LaTeX), lo que es realmente sencillo.

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  18. Hallar la soluciones equivale a encontrar los punto de corte de las funciones
    f(x)=(2-x^2)^(1/2)
    g(x)=(3-x^3)^(1/3)
    f(x), circunferencia, es función con simetría par e impar
    g(x) es función con simetría impar
    Al ser g(0)>f(0) en caso de existir soluciones estarán entre 0 y 1
    Estas dos funciones las podíamos escribir de la forma
    y=(x-a)^(1/x) siendo x=2 o x=3, 0<af(x), están funciones no se cortan, la ecuación no tiene soluciones reales

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  19. Ignacio, ¿cómo de sencillo?

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  20. Golvano, simplemente sencillo. las soluciones de la ecuación dada coinciden con las intersecciones de las curvas x^2 + y^2 = 2, circunferencia centrada en el origen y que pasa por (1, 1), e x^3 + y^3 = 3. Ambas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante y = x, pues intercambiando x con y sus ecuaciones no cambian.

    Por tanto, si hay una intersección en el arco de circunferencia comprendido entre 45º y 90º, contado positivamente a partir del eje OX, también tendra que haber otra en el arco comprendido entre 0 y 45º. Es decir, que hay solución en [1, \sqrt 2] si y solo si la hay en [0, 1]. Y como en [0, 1] ya vimos con la ecuuación de 6º grado que no la hay, no hay soluciones en absoluto.

    Por cierto Sebas, la función g(x)=(3-x^3)^(1/3) no tiene simetría impar (respecto al origen), ni par (respecto al eje OY), sino que es simétrica respecto a la recta y = x. Esto indica que coincide con su inversa, cuando existe.

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  21. Marco Tac, tienes razón, ¿pero si tomamos al intervalo 0 \le x \le 1?

    Las soluciones serían para x=1:
    1=1,2599

    Para x=0:
    1.4142=1.4422

    Parece tener soluciones reales, pero nosé si está correcta.

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  22. Galvano
    f(x), es circunferencia, par e impar
    Perdón, g(x) respecto bisectriz, equivocación al escribir
    Gracias

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  23. Otra solución parecida, pero sin duda más elegante, es la expuesta por Antonio González en es.ciencia.matematicas:

    Partiendo del sistema equivalente

    x^2 + y^2 = 2
    x^3 + y^3 = 3
    Elevando la primera al cubo, la segunda al cuadrado y restando,

    (x^2 + y^2)^3 – (x^3 + y^3)^2 = -1

    3x^4y^2 + 3x^2y^4 – 2x^3y^3 = -1

    x^2y^2(3x^2 + 3y^2 – 2xy) = -1

    x^2y^2(2x^2 + 2y^2 + (x-y)^2) = -1

    Ecuación sin soluciones pues el primer miembro es evidentemente positivo.

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  24. Ignacio Larrosa Cañestro, es una elegante demostración! 😀

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  25. Ah, me había despistado. Pensaba que estabas intentando calcular las soluciones reales de la ecuación de sexto grado. Seguías con el problema original, por lo que veo.

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  26. Con la misma idea de antes puede generalizar el resultado un pelín:

    Si 0<p<q entonces (p-x^p)^{1/p}<(q-x^q)^{1/q} siempre que las expresiones sean reales (es decir, x \in [-p^{1/p},p^{1/p}]) y tengamos además que p^q<q^p

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  27. Corrijo: creo que mejor decir 1<p<q

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  28. Desglosando la ecuación en 2 funciones, y estudiando los intervalos de existencia de soluciones reales para ambas, observamos que:

    y1=(2-x^2)^(1/2) tiene soluciones reales en [-(2^(1/2)),2^(1/2)]
    y2=(3-x^3)^(1/3) tiene soluciones reales en (-infinito, 3^(1/3)]

    Luego, de haber soluciones reales para la ecuación, solo podrá haber soluciones en el intervalo [-(2^(1/2)),2^(1/2)]

    Graficando las dos funciones, observamos que no hay ningún corte entre las dos funciones en este intervalo, luego no existen soluciones reales para la ecuación propuesta.

    http://fooplot.com/plot/sxncpiftdq

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  29. Iba a decir que esta ecuación la vimos hace poco en es.ciencia.matematicas, pero ya he visto que Ignacio ya publicó mi solución. 🙂

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  30. Aficionado, gracias por enlazar la web http://www.fooplot.com
    No la conocía y me ha parecido un descubrimiento interesante, sobre todo la parte que permite exportar la página o convertir el gráfico en pdf.
    De nuevo gracias.

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  31.  \sqrt{2-x^2} solo tiene sentido si 2-x^2 es positivo, para ello debemos tomar x entre 0 y \sqrt{2}

    Mi objetivo ahora es probar que \sqrt{2-x^2} es menor que  \sqrt[3]{3-x^3}  para todos los puntos donde tiene sentido la ecuación en el cuerpo de los reales.

    Denotemos f(x)=\sqrt[3]{3-x^3} con dominio [0, \sqrt{2}], f(x) es continua en el dominio y además es inyectiva:

    \sqrt[3]{3-x^3} = \sqrt[3]{3-y^3} \therefore x=y

    Por tanto, como f(0)>f(\sqrt{2}) la función es decreciente (Que sea decreciente es irrelevante pero tomaremos f(0) para demostrar la desigualdad)

    Partiendo de que 0 \leq x \leq \sqrt{2} vamos haciendo transformaciones y llegamos que 0 \leq \sqrt{2-x^2} \leq \sqrt{2}

    Pero \sqrt{2} es menor que f(0) por tanto c.q.d.

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  32. Ese problema fue, curiosamente, el que me encontré en la Olimpiada matemática. Y de memoria, recuerdo que no le encontré soluciones reales. Cómo pasa el tiempo!

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