Números algebraicos y trascendentes. Los 15 números trascendentes más famosos

Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en números algebraicos y números trascendentes.

Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si r= \textstyle{\frac{p}{q}} es un número racional (por tanto p,q\in\mathbb{Z}), entonces r es solución de la ecuación polinómica q \; x -p=0.

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional \sqrt{2} es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica x^2-2=0 para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, \sqrt[3]{3}, que es solución de x^3-3=0. Y con muchos más números irracionales.

Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número \pi y al número e.

Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número

\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}

es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número e es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número \pi.

Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:

En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:

Teorema: (de Gelfond-Schneider)

Si \alpha y \beta son números complejos algebraicos, \alpha \ne 0,1, y \beta no es racional, entonces \alpha^{\beta} es trascendente.

Este teorema nos ayuda a demostrar que, por ejemplo, e^{\pi} es trascendente (¿cómo?).

¿Conocéis otros números trascendentes interesantes que no aparezcan en esta lista? Por otra parte, no sé cuánto hace que Clifford Pickover realizó la misma, por lo que puede que se haya avanzado en la demostración de la trascendencia de alguno de los que hemos comentado que no la tenían. Si sabéis algo del tema os agradecería que dejarais un comentario.

Fuentes:

P.D.: Qué raro que en la lista no aparezca el número de Cöpeland-Ërdos: 0,235711131719 \ldots teniendo en cuenta lo curiosa que es su construcción.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

31 Comments

  1. En la Constante de Catalan has puesto mal el \LaTeX, has puesto «:» en vez de «_»

    Me asustó un poco ver 0^\infty

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  2. Ups, qué error. La que se lía por cambiar un _ por un : :D. Gracias Naka Cristo.

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  3. \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) y  \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) de la funcion gamma, tambien son trascendentes.

    Los valores de α y β no se restringen sólo a números reales; se admiten todos los números complejos. es una geralizacion del septimo problema de hilbert.

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      • Existen mucho más: como i elevado a ln i. 2 elevado a pi, . Quisiera escribir otros, pero el sistema no me permite usar los símbolos o caracteres necesarios. En este caso, estas cantidades las he estudiado por mi mismo.

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      • Phi es algebraico, ya que es la solución a la ecuación x^2+x+1=0 (o sea, x al cuadrado, más x, más 1 = 0). Saludos!

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  4. e^{\pi} es transcendente, ya que e^{\pi} = (e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}. Usando el Teorema de Gelfond-Schneider, con \beta=-i, que no es racional a todas luces, y con \alpha=-1.

    Saludos

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  5. Exacto Fabián. Te he editado el comentario para poner bien el código \LaTeX. Te faltaba la palabra latex después del primer $ en cada fórmula.

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  6. Perdonad mi ignorancia, pero hay algo que no comprendo. Por lo que habéis puesto del teorema de Gelfond-Schneider sería claro que que \pi^e es transcendente, ¿No? \pi \neq 0, 1, y e no es racional. ¿Esto estaría bien? ¿O es que he interpretado mal el teorema?

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  7. jose, ya esta. lo dijiste bien, e y pi, cumplen con lo propuesto, pi es diferente de 0.1 y e no es racional es decir irracional.

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  8. Pero si está bien lo que he dicho, ¿Por qué en la lista de números trascendentes que se ha dado arriba aparece que \pi^e no está demostrado que lo sea? Supongo entonces que ha sido un error al hacer la lista, ¿No?

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  9. Jose no, no se puede demostrar a partir de este teorema ya que \pi no es algebraico, condición indispensable para aplicar el teorema. En el caso de e^{\pi} sí puede aplicarse, pero no porque e sea algebraico. Echa un ojo a este comentario de Fabian.

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  10. Ah! Es verdad, no me había dado cuenta de que \alpha y \beta tienen que ser algebraicos. Eso era lo que fallaba y no me cuadraba en todo el asunto.

    Gracias por la aclaración!

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  11. cierto, no es raiz de un polinomio

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  12. me surgio una duda… . cual es la solucion de x-\pi=0 acaso no es \pi , y si es \pi entonces es algebraico. pueden aclararme un poco ?. gracias.

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  13. Leyendo el post:

    Los números algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales.

    El número \pi no es racional.

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    • La parte de tu post «Los números algebraicos son los números reales…» es incorrecta, debe ser sustituida por: «Los números algebraicos son los números reales o complejos…»

      Por ejemplo las soluciones de la ecuación x^2 + 1 = 0, que son x = + i o bien x = -i
      Así vemos que i es algebraico y no es real. OK.

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  14. disculpe q me salga del tema pero me pueden decir tres ejemplos de numeros irracionales algebraicos

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  15. La constante de Liouville tiene una numerosa, numerable, familia de parientes cercanos, pero con menos ceros:

    L(B) = \sum_{k=0}^\infty {B^{-2^k}}, con B > 1 entero

    Por ejemplo,

    L(10) = 0.11010001000000010 \ldots

    Las expresiones de L(B) en base B son todas iguales. La demostración es bastante sencilla (articulo de poco más de 2 páginas), y se basa en que si los ‘océanos’ de ceros crecen con cierta rapidez, no se pueden cancelar las partes decimales al sumar sus potencias multiplicadas por enteros. Es decir, que no pueden ser soluciones de ecuaciones algebraicas. El artículo es:

    An «Oceans of Zeros» Proof That a Certain Non-Liouville Number is Transcendental
    M. J. Knight
    The American Mathematical Monthly
    Vol. 98, No. 10 (Dec., 1991), pp. 947-949

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    • el numero de Loiouville tiene variantes cuando uno eleva cualquiera numero o hace la sumatoria . Como hay un exponen negativo , al colocarse en el denominador, se pone cualquier numero en el numerador y cambian las cantidades

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  16. Por favor, quedé muy interesado en como obtener el valor de I elevedo a la I, alguien me puede pasar algún link donde estudiar esto?

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  17. no entendi nada! pero me gusto pasar!

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  18. DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π + e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO).
    Sabemos que 5 < (π + e) < 6
    Supongamos que (π + e) es un número racional periódico .

    Sea (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es el período de L dígitos y dL es diferente de cero.

    Se define el conjunto infinito R1 = ( E1, E2, E3, …), cuyos elementos son los racionales que se forman al agregar uno a uno los dígitos decimales del número e = 2, 71828182845904523360…
    Entonces, E1 = 2,7 ; E2 = 2,71 ; E3 = 2,718 ; E4 = 2,7182 ; E5 = 2,71828 ; Etc.

    Se define el conjunto infinito I. Los elementos de I son los números irracionales que resultan al sumar π con cada elemento de R1.
    I = ( I1, I2, I3, I4, … )
    I1 = π + E1 ; I2 = π + E2 ; I3 = π + E3; Etc.

    Si se escoge un elemento de R1 con un número i de dígitos suficientemente grande, se obtiene un Ei , tal que:
    (π + e) – (π + Ei) = 0, 000000….0000N1N2 …, donde el número de ceros es c + 1.

    Entonces, (π + e) = (π + Ei) + 0, 000000….0000N1N2 …, …………………(*)
    Como (π + Ei) es un irracional, sea (π + Ei) = 5, i1i2i3…ic ic+1…, donde i1i2i3…ic ic+1 … es su desarrollo decimal irracional.
    Entonces, en (*), tenemos (π + e) = 5, i1i2i3…ic ic+1 … + 0, 000000…0000N1N2…. Así, si ic ≠ 9, al menos las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + e) son iguales a las c primeras cifras del desarrollo decimal irracional de (π + Ei).
    Debido a esto, por definición de número irracional, para un c suficientemente grande, este desarrollo necesariamente debe ser diferente del desarrollo decimal periódico 5,d1d2..dL… que habíamos supuesto inicialmente para (π + e).

    Por tanto, (π + e) ≠ 5,d1d2..dL…

    Si se efectúa el mismo procedimiento suponiendo ahora que (π + e) es un número racional con desarrollo decimal finito, se llega a la misma conclusión.
    Entonces, (π + e) es un irracional.

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    • Corrección:
      Si se escoge un elemento de R1 con un número i de dígitos suficientemente grande, se obtiene un Ei, tal que
      (π + e) – (π + Ei) = 0, 000000….0000N1N2 …, donde el número de ceros DESPUÉS DE LA COMA DECIMAL es c+1.
      Así, si ic+1 ≠ 9, al menos las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + e) son iguales a las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + Ei). …

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    • Otra corrección:
      «Sea (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es el período de L dígitos y dL es diferente de cero». En realidad, dL si puede valer cero.
      Si hubiésemos supuesto que (π + e) es un racional con desarrollo decimal finito, entonces si, dL ≠ 0.

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    • El mismo método puede emplearse para demostrar que el producto π.e es un número irracional.

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  19. DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π + e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO).
    Sabemos que 5 < (π + e) < 6
    Supongamos que (π + e) es un número racional periódico .

    Sea (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es su período de L dígitos.

    Se define el conjunto infinito R1 = ( E1, E2, E3, …), cuyos elementos son cada uno de los racionales que se forman al agregar uno a uno los dígitos decimales del número e = 2, 71828182845904523360…
    Entonces, E1 = 2,7 ; E2 = 2,71 ; E3 = 2,718 ; E4 = 2,7182 ; E5 = 2,71828 ; Etc.

    Se define el conjunto infinito I. Los elementos de I son cada uno de los números irracionales que resultan al sumar π con cada elemento de R1.
    I = ( I1, I2, I3, I4, … )
    I1 = π + E1 ; I2 = π + E2 ; I3 = π + E3; Etc.

    Si se escoge un elemento de R1 con un número i de dígitos suficientemente grande, se obtiene un Ei , tal que:
    (π + e) – (π + Ei) = 0, 000000….0000N1N2 …, donde el número de ceros, inmediatamente después de la coma decimal y antes del primer dígito no nulo N1, es c + 1.

    De modo que , (π + e) = (π + Ei) + 0, 000000….0000N1N2 …, …………………(*)
    Como (π + Ei) es un irracional, sea (π + Ei) = 5, i1i2i3…ic ic+1…, donde i1i2i3…ic ic+1 … es su desarrollo decimal irracional.
    Entonces, en (*), tenemos (π + e) = 5, i1i2i3…ic ic+1 … + 0, 000000…0000N1N2…. Así, si c es suficientemente grande e ic+1 ≠ 9, las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + e) son iguales a las c primeras cifras del desarrollo decimal irracional de (π + Ei).
    Debido a esto, por definición de número irracional, para un c suficientemente grande, este desarrollo necesariamente debe ser diferente del desarrollo decimal periódico 5,d1d2..dL… que habíamos supuesto inicialmente para (π + e).

    Por tanto, (π + e) ≠ 5,d1d2..dL…
    Y (π + e) no es un número racional periódico.
    Si se efectúa el mismo procedimiento suponiendo ahora que (π + e) es un número racional con desarrollo decimal finito, se llega a la misma conclusión.

    Finalmente, (π + e) es un irracional.

    NOTA: El mismo método serviría para demostrar que el producto π . e es un irracional.

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    • Otra forma de razonar puede ser la siguiente: Sea (π + e) = 5, d1d2..dL… , donde d1d2..dL es su período de L dígitos.
      Al multiplicar por 10^L en ambos miembros, se obtiene :

      (10^L). (π + e) = 5d1d2..dL, d1d2..dL …. Entonces:

      10^L = (5d1d2..dL, d1d2..dL ….)/(π + e) …………………….. (1)

      Como por definición de irracional las c primeras cifras decimales de (π + e) son diferentes de las c primeras del desarrollo decimal periódico del numerador, la expresión (1) es un absurdo. Por tanto, la suposición inicial es falsa. Y se concluye que (π + e) ≠ 5d1d2..dL, d1d2..dL ….
      Finalmente (π + e) no es un racional periódico.

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  20. Sea I un número irracional y sea r un racional. Supongamos que r > I. Llamemos a la pareja I y (r – I) irracionales complementarios. Si tenemos dos irracionales no complementarios I1 e I2, entonces (I1 + I2) es un irracional. En particular, la suma de dos trascendentes no complementarios, como π y e, también es otro irracional.

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