Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Una pista: para todo p>13, si existe un m tal que p es divisor de m al cuadrado más 1, existe un n (tal vez distinto de m) que cumple el enunciado.
    Si consigues probar esto, lo demás es sencillo.

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  2. Roberto, de hecho es conocido que

    dado un primo p\geq 3,

    la ecuación x^2\equiv -1(p) tiene solución si y sólo si p\equiv 1 (4) (de hecho, en virtud del teorema de Wilson, tiene dos soluciones incongruentes módulo p, a saber: x=\pm \left(\dfrac{p-1}{2}\right)!)

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  3. Hay una prueba aún más directa (me refiero a que es posible deducirla mediante razonamientos sencillos y directos, sin hacer uso de teoremas de renombre), pero la daré en mi blog dentro de dos o tres semanas (falta de tiempo…).
    Pondré el enlace aquí cuando la escriba.

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  4. Aquí va una solución. Me habría gustado ver como resolvieron este problema esos fenómenos chinos con 16 o menos años. Por supuesto, Roberto, que también me interesa tu solución.

    Sea \Pi_1:=\{p\;{\rm primo}\;/\;p\equiv 1(4),\;p\neq 5,13\} (ya veremos porqué no consideramos al 5 ni al 13).

    Sea p\in \Pi_1. Entonces \exists n_p\in\{0,1,\ldots, p-1\} tal que n_p^2+1\equiv 0\;(p) (ver un comentario previo).

    Además, si resultase que 2n_p\succ p, entonces m_p:=p-n_p verifica m_p\in\{0,1,\ldots,p-1\}, m_p^2+1\equiv 0\;(p) y 2m_p\prec p.

    En definitiva, a cada p\in \Pi_1 le podemos asignar un n_p\in\mathbb{N} tal que 2n_p\prec p y n_p^2+1\equiv 0\;(p). Veamos que 2n_p+\sqrt{2n_p}\prec p.

    Sea \lambda_p=p-2n_p(\succ 0). Como p|(4n_p^2+4), sigue que p|(\lambda_p^2+4).

    Como \lambda_p es impar, p|(\lambda_p^2+4) y p\neq 5,13, se deduce que \lambda_p\succ 4. Con esto: \lambda_p^2+\lambda_p\succ \lambda_p^2+4\geq p

    Esto implica \sqrt{p-\lambda_p}\prec \lambda_p; es decir 2n_p+\sqrt{2n_p}\prec p.

    Finalmente, notar que la infinitud de números primos en \Pi_1 junto con la condición p|(n_p^2+1), implican que el conjunto de valores n_p es también infinito.

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  5. Los coordinadores no pueden dar detalles sobre cómo se resolvió, pero te puedo asegurar que los que lo resolvieron (que fueron pocos), utilizaron métodos de lo más variado. Incluso se comentó que uno de los participantes dio varias soluciones diferentes.
    Recientemente, en Argentina, se ha publicado un libro con los problemas de la Olimpiada Iberoamericana resueltos por los estudiantes que obtuvieron medalla de oro. Tal vez estaría bien que la Olimpiada Internacional hiciese eso de vez en cuando.

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  6. [off-topic]No, vivo en Alicante, como pongo en mi blog. Pero estuve en Madrid para colaborar como coordinador en la IMO, y participé como concursante hace ya 25 años.

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  7. Roberto, ¿sabes cuál es el título del libro que comentas? Estoy interesado en él y me gustaría conocer los datos para buscarlo. Gracias…

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  8. Tengo el libro delante:
    ISBN: 978-987-9072-54-7

    Olimpíadas Iberoamericanas de Matemática
    1996-2006

    Patricia Fauring, Flora Gutiérrez, Svetoslav Savchev.

    ed: Red Olímpica
    Santa Fe 3312 9º Piso, Buenos Aires, Argentina
    Año 2007

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