Olimpiada Matemática Española 2011 – Problema 2: Desigualdad numérica

Seguimos con la publicación de los problemas planteados en la XLVII Edición de la Olimpiada Matemática Española. El segundo problema (correspondiente a la primera sesión), fue el siguiente:

Sean a,b,c números reales positivos. Demuestra que

\cfrac{a}{b+c}+\cfrac{b}{c+a}+\cfrac{c}{a+b}+\sqrt{\cfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}} \ge \cfrac{5}{2}

¿Cuándo se alcanza la igualdad?

Que se os dé bien.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

48 Comments

  1. La igualdad se alcanza cuando a = b = c = 1

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  2. Carlos, la igualdad se alcanza para a=b=c (no es necesario que valgan 1)

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  3. .
    El problema es practicamente trivial, como éste hay montones en todas las competiciones del planeta, y la igualdad se alcanza cuando a = b = c, distintos de cero por supuesto.

    Saludos.

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  4. El problema no es trivial! Se trata de demostrar que la desigualdad es cierta, y eso no es tan fácil (de los 120 participantes solo 1 fue capaz de demostrarlo, o eso me han contado). La gracia del problema es que se pueden distinguir dos expresiones. {a \over {b+c}} +  {b \over {a+c}} + {c \over {a+b}} y \sqrt{{ab + bc + ac} \over {a^2 + b^2 + c^2}}. La primera según la desigualdad de Nesbitt es mayor o igual a tres medios (desigualdad de Nesbitt: {a \over {b+c}} +  {b \over {a+c}} + {c \over {a+b}} \ge {3 \over 2} ). Y la segunda, desarrollando la desigualdad (a-b)^2 + (b-a)^2 + (c-a)^2 \ge 0, se puede deducir rápidamente que \sqrt{{ab + bc + ac} \over {a^2 + b^2 + c^2}} \le 1. Entonces el problema está en observar que la primera crece más rápidamente a partir del punto de igualdad que la segunda. Y eso es bastante más complicado que encontrar el punto de igualdad.

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  5. «Entonces el problema está…»

    ¡Está resuelto Eduard! (no tienes que seguir) 😀

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  6. A favor de Rama Nujan, diré que todos los matemáticos y aficionados tendemos a usar el adjetivo «trivial» con considerable ligereza.

    ¿A qué creéis que se debe?

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  7. ¿Dónde está resuelto, josejuan? La duda de Eduard es oportuna.

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  8. Sólo hay que calcular el gradiente de ambas expresiones y como son simétricas respecto las variables, únicamente hay que comparar en una componente

    \frac{\partial (g(a,b,c))}{\partial a}\geq \frac{\partial (h(a,b,c))}{\partial a}

    que es lo que indica Eduard.

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  9. ¿Y esto de los gradientes lo saben alumnos de bachillerato, sobretodo del bachillerato actual? ¿Y la desigualdad de Cauchy (de la que sale la de Nesbitt)?

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  10. Por otra parte, no es que sepa mucho de matemáticas, que apenas he salido del instituto, pero la expresión que queda una vez calculados los gradientes, ¿es más sencilla que sin calcularlos? Así a botepronto me sale que no…

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  11. Palidez… los estudiantes de bachillerato no saben lo que es el gradiente, pero si saben lo que es la desigualdad de Cauchy (aunque Nessbit no tiene porque salir necesariamente de Cauchy, pues se puede demostrar utilizando simplemente desigualdades aritmética y armónica). A parte de esto, date cuenta que la olimpiada no está orientada al estudiante medio de bachillerato, y los ganadores son siempre alumnos que se han preparado a fondo para poder participar y atacar los problemas. En este caso, la desiguladad propuesta sale operando con la raíz un poco, aplicando la desigualdad aritmética-geométrica y darse cuenta que al final solo queda un cauchy-schwarz cogiendo las componentes adecuadas de los vectores.

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  12. Usando la famosa frase al revés: lo creo pero no lo veo.

    Disculpas.

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  13. Palidez, no se trata de evaluar directamente las dos expresiones.

    Seguro que hay una forma más sencilla, pero una puede ser:

    g(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}
    h(a,b,c)=\sqrt{\frac{ab+ac+bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

    Para la primera expresión, podemos derivar término a término y nos queda

    \frac{\partial g(a,b,c)}{\partial a}=a^{4}+2a^{3}b+2a^{3}c+2a^{2}bc-2ab^{3}-2ac^{3}-b^{4}-\allowbreak b^{3}c+b^{2}c^{2}-bc^{3}-c^{4}

    que sólo tiene un mínimo en a=b=c (ésto se ve porque sólo hay un cambio de signo y por tanto una única raíz real positiva y puesto que las variables son positivas pues sólo hay un cero real) y por tanto vale 3/2.

    Para obtener el cero en la segunda expresión tenemos una ecuación de segundo grado, que tiene una raíz imaginaria y otra real en

    h(\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c},b,c)=\allowbreak \frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{b^{2}+c^{2}}\left( b+c\right) ^{2}}

    cuyo máximo es cuando b=c (se ve porque la expresión es la suma de las componentes dividido por el módulo del vector) es decir cuando es h(a,b,c)=1.

    Por tanto, resulta que el mínimo de g y el máximo de h son respectivamente 3/2 y 1, que es lo que queríamos demostrar.

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  14. Pero, perdón la molestia, pero en este caso lo único que ha demostrado usted es lo que habia dicho Eduard, que g>=3/2 y h<=1, ¿no? Y que esos mínimos y máximos se alcanzan en a=b=c. Pero no veo qué pasaría en los casos en que no se llega al mínimo y/o máximo. Bien podría suceder que en un punto (a,b,c), fuera g(a,b,c)=7/4 y h(a, b, c)=1/4 y tendríamos que g+h<5/2 en contra de lo que nos pide. Es decir la duda de Eduard seguiría…

    Perdón por las molestias.

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  15. Pues es verdad, tanto me he liado que al final he hecho lo mismo, cachis, comparando la segunda derivada (de las primeras derivadas que he puesto) se ve que la primera crece (sólo puede ser hacia arriba) más rápidamente que decrece la otra (sólo puede crecer hacia abajo). CQD.

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  16. Sí, creo que está claro que es más de manipulación de «carros» e «idea feliz» que otra cosa. Una cosa es decir qué hay que emplear (la estrategia) y otra que, con las manipulaciones pertinentes de letras (la táctica), lleguemos, usando eso que hemos de emplear, al resultado. Bueno, un poco de inexperiencia aun tengo en esto, pero jejeje llevo manipulando letras en varias combinaciones y me estoy volviendo loco. No llego nunca a dar con esa transformación que haga «plas» y todo encaje.

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  17. Jur, me estoy frustrando. Por un problema que me he atrevido a atacar y nada.

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  18. Creo q un argumento topologico puede valer, veamos la parte de la izquierda de la desigualdad como una funcion de el primer octante de R3 en R q es continua llamemosla f, ademas esta funcion vale lo mismo en un vector y en un multiplo suyo o sea q nos basta con ver lo q pasa por ejemplo con los a,b,c>0 tales q a+b+c=1 restrigimos nuestra funcion a este dominio y vemos q el unico punto donde se alcanza la igualdad es el (1/3,1/3,1/3) ademas la imagen de el trozo de plano menos este punto es un conexo de R q solo puede ser un intervalo, y no puede contener al 5/2 y por tanteo se ve q hay un punto con f>5/2 luego todos los puntos del trozo de plano tienen imagen >= 5/2 y teniendo en cuenta la observacion anterior todos los puntos del primer octante lo cumplen

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  19. Puede que tengas razón, pero yo de topología y conexos poquísimo (o nada) he dado… Y vaya, lo interesante sería también resolverlo a la manera que lo resolvería un participante de la Olimpiada. Alguna transformación algebraica ha de dar con la cerradura.

    Igualmente, I feel like a noob.

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  20. Voy con mi aportación, a ver . . .

    a, b, c deben ser números reales mayores de cero.

    Podemos suponer sin pérdida de generalidad que a < b < c

    Ahora veamos primero la raíz:

    \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}}

    Se cumplirá que (recordar que a < b < c)

    \frac{ab}{a^2 + b^2 + c^2}  <  \frac{bc}{a^2 + b^2 + c^2}

    y también que

    \frac{ab}{a^2 + b^2 + c^2}  <  \frac{ca}{a^2 + b^2 + c^2}

    Entonces vamos a suponer que los tres sumandos son de igual valor al más pequeño en lo que queda de ejercicio, es decir:

    \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} =  \sqrt{\frac{3ab}{a^2 + b^2 + c^2}}

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  21. sigo:

    Ya queda poco, veamos ahora las fracciones. Una manera rápida es recurrir a la desigualdad de Nesbitt

    \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}  >= 3/2

    Nos quedamos con el menor valor (3/2)

    Entonces hemos llegado a:

    \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{3ab}{a^2 + b^2 + c^2}} >= 5/2

    Pues acabo, como ‘a’ es el menor de los tres números, me pongo en el peor caso y supongo que a=b=c, me queda:

    \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{3a^2}{3a^2}} >= 5/2

    es decir:

    \frac{3}{2} + 1 >= \frac{5}{2}

    Y como estamos en el caso más desfavorable, cualquier otro cumple la desigualdad.

    Nota: del último paso no estoy muy seguro

    salud

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  22. Pues… creo que ese peor de los casos, no es el peor (en el último paso). Pues el peor de los casos, sería Sqrt[(3a^2)/(3c^2)], (ya que estamos suponiendo a<b<c), que llamaremos (*), y (*)<1… Lo cual vuelve a dar al traste con la demostración, ¿no?

    Yo por ahí había intentado atacar ya… Pero tampoco me salía. Voy a llorar. Igualmente, mi más sincero aplauso a ese único participante entre los 120 que se presentaron que lo consiguió resolver.

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  23. No hay que perder de vista que está propuesto para un chaval de bachillerato, creo que no es tan difícil como se está proponiendo. La primera parte del problema está destripada, habiéndonos cargado la raíz como se ha indicado y (des)igualando lo demás a 3/2. ¿Y si en vez de intentar operar a ciegas con esa parte la intentamos visualizar en términos geométricos? La superficie de la igualdad que se genera tiene pinta de ser curiosa…

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  24. Todo se puede escribir de forma cíclica en función de s = a+b+c. Luego se aplica Jensen (algo entendible por un estudiante de Bach). Y listo.

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  25. Para todo a,b,c perteneciente a los reales positivos:
      {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\  {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\  {a^2} + {c^2} \ge 2ac\\  \\  2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge  2(ab + bc + ac)\\  \\  \frac{{ab + bc + ac}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge 1\\  \\  \sqrt {\frac{{ab + bc + ac}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}  \ge 1

    y tambien por otro lado:

      \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}

    entonces sumando:

      \sqrt {\frac{{ab + bc + ac}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}  \ge 1\\  \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\\  \sqrt {\frac{{ab + bc + ac}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} + \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2} + 1

    Y queda entonces demostrado que la desigualdad es verdadera.

      \sqrt {\frac{{ab + bc + ac}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} + \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{5}{2}

    Pero tengo dudas de como demostrar esto:

      \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}

    Si alguien puede postear la demostración seria Genial 😉 esta es mi primera demostración aquí! Yo soy de Chile tengo 18 años y este blog ha aumentado mucho mi interés por las matemáticas! Sigan así!

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  26. Carlos, la desigualdad en la que dices que el segundo miembro del problema es mayor o igual que cero está al revés… debería ser:
     2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 2(ab+ac+bc)

    \frac{ab+ac+bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

    De hecho, el mayor valor de esa expresión es 1 y se da cuando a = b = c. Para darse cuenta de ello, basta fijar dos valores (b y c, por ejemplo) e ir variando la componente «a» entre 0 e infinito.

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  27. Carlos, la demostración que tú pides es la de la Desigualdad de Nesbitt. Aquí puedes encontrar una demostración http://issuu.com/manolicam/docs/desigualdades

    Con los contenidos de ese enlace estoy intentando demostrar el problema aquí propuesto.

    En cuanto a lo de Globglo, efectivamente, pero, y siempre según mi limitada capacidad (que aun apenas estoy en primer semestre de carrera), la parte de la raíz siempre, haga lo que haga, es menor que 1, dando que tenemos algo >=3/2 más algo <=1. No encuentro la forma de salvar eso. ¿Será que la fracción dentro del radicando está al revés (por tanto mal copiada)? Glups.

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  28. Gaussianos, decidme que la fracción del radicando está mal copiada, que debería estar invertida…. 🙁

    Jeje.

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  29. jeje, si estuviera al revés la solución habría sido muy fácil… no lo habría resuelto sólo uno en la olimpiada.

    Pero sí, mejor que nos lo confirme ^DiAmOnD^ xD

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  30. No tan fácil. Si no conoces la desigualdad de Nesbitt, deducirla es bastante complicado para un bachiller. Digo yo! (que bueno, algo zopenco soy, jeje).

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    • nooo,con la desigualdad de titu que es bastante conocida se deduce facilmente y estoy en secundaria

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  31. Jajaja! Palidez, los estudiantes que participan en la olimpiada conocen Nesbitt (la mayoría de ellos).

    Lo que comenta globglo suena interesante. Solo que no veo la forma de expresar la función respecto a un único término s = a+b +c . Que la igualdad es homogénea y se pueda prescindir de un término se ve rápidamente, pero que se prescinda de dos…

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  32. Palidez, me gustaría mencionar que una vez aplicar la desigualdad de Nessbit como refinamiento, teniendo en cuenta que el resto de la expresión es menor o igual a 1, te estás cargando la desigualdad, por lo tanto, no es un refinamiento válido. En este caso, la gracia de la desigualdad está en el hecho que recuerda mucho a Nessbit, pero NO debes aplicarlo, ya que hacerlo sería un completo error.

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  33. oh es cierto lo puse al revez sin querer, no me manejo mucho con el LAtex ajjaja muy buen link muchas gracias 😉

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  34. Ayer pensaba que lo tenía… Y no. Gracias XFG por dar indicaciones. Lo malo es lo que ya me empieza a ser un clásico en este problema: cómo desarrollar, o transformar la expresión de manera que podamos aplicar todo, y vaya saliendo. Es muy de idea feliz, se te puede ocurrir una transformación que dé con la clave al primer minuto de presentar el problema… o no se te puede ocurrir nunca.

    Voy a llorar a un rincón. Jeje.

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  35. Aunque, un momento, XFG, si lo sabes, ¿por qué no subes la demostración (bueno, la tarea de copiar todo en LaTeX también es ardua jeje)? ¿O no lo sabes y estás también tanteando?

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  36. El problema dista mucho de ser trivial, y si algo está claro es que no se pueden acotar por separado las dos partes de la expresión. Es fácil ver (Nesbitt, o si no, se demuestra de miles de maneras), que \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}, y que el radicando es menor o igual que 1. Asimismo, es inmediato ver que si a=b=c se da la igualdad, y me atrevería a conjeturar que este es el único caso en que se da la igualdad. Así que cualquier intento de hacerlo por separado está condenado al fracaso. Hay que buscar una forma de «mezclarlas».

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  37. Voy a probar con la transformación [(1/a)+(1/b)+(1/c)]*abc, que llamaré (*), ya que esto es igual al numerador del radicando, y (*) parece más o menos manejable con la desigualdad arimtética-geométrica. Lo interesante, si es que esto lleva a algo, es poder expresar también [a/(b+c)]+[b/(c+a)]+[c/(a+b)] en función de (*), para así mezclarlas. No sé si podré, si alguien puede, bienvenido sea. Y si alguien tiene otra forma mejor de atacar todo el problema, pues mejor todavía.

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  38. No se me publican los comentarios. Carajo. Bueno, venía diciendo que he estao intentando usar (1):= [(1/a)+(1/b)+(1/c)]*abc ya que su desarrollo es muy parecido al numerador del radicando de la ominosa raíz, y es también parecido a la suma de las fracciones anterior a dicha raíz… No sé si estoy llegando a algo con esto, al principio parecía que sí, pero ahora… se me vuelve a complicar. Si alguien con mayor habilidad puede llegar a algo con ésto, adelante; y si se le ocurre alguna forma de atacarlo mejor, pues al turrón.

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  39. Utilizando cauchy en los tres primeros terminos se tiene:
    \frac{a^{2}}{{ab + ac}} + \frac{b^{2}}{{ba + bc}} + \frac{c^{2}}{{ca + cb}} \ge \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc)}
    ahora operando el termino al cuadrado:
    \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a+ b}}+\sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \ge \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+ac+bc)}+\sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}}+1
    Ahora queda demostrar que la suma de los 2 primeros terminos de la parte derecha de la desigualdad son mayores q 3/2,lo que es equivalente a demostrar que:

    \frac{t^{2}}{2} +\frac{1}{t}\ge \frac{3}{2}

    t^{2} +\frac{2}{t}\ge 3

    t^{2} +\frac{1}{t}+\frac{1}{t}\ge 3
    la ultima desigualdad es conseguencia de AM-GM y la igualdad se da cuando a=b=c

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  40. Isaacv5, exactamente cómo se utiliza Cauchy en los tres primeros términos?

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  41. Yo estaba pensando en otro argumento muy elegante , en principio, pero resulta que las cuentas se complican (con lo que el argumento ya no es tan elegante). Lo comento, en cualquier caso.

    Las expresiones involucradas corresponden a funciones homogeneas de grado cero en (a,b,c). Eso nos permite pasar a tener una funcion de solamente DOS variables: Por ejemplo, estas variables podrian ser X = b/a ; Y = c/a. Resulta que la funcion que aparece ahora (como funcion unicamente de X y de Y) es tal que alcanza su minimo absoluto precisamente en el punto (1,1)… O, lo que es lo mismo, cuando a = b = c.

    Desafortunadamente, para justificar esto del minimo absoluto, hay que utilizar condiciones tecnicas a base de derivadas parciales.

    Pero ocuure lo siguiente:

    1) Tales condiciones es estan, en la mayoria de los casos, entre aquello que un alumno de bachillerato no tiene por que saber.

    2) Ademas, en este caso concreto las cuentas se complican mucho, y la presentacion final (haciendo el problema por este camino) no queda muy estetica que digamos.

    =====

    COMENTARIO: En Analisis Matematico es muy frecuente trabajar con desigualdades. Y, muchas veces, se procede como sigue: Se toma una determinada funcion (de mas de una variable, por supuesto), y por procedimientos analiticos (derivacion, pongo por caso) se estima su minimo absoluto. Una vez que lo tenemos podemos decir ya que «para cualquier valor de las variables (que intervienen en esa funcion) la expresion es mayor que ese valor minimo calculado»…

    Y a partir de ahi se trata de que alguien (re)-descubra la desigualdad en cuestion, pero con tecnicas elementales, es decir: nada de derivadas ni cosas por el estilo, unicamente razonando con los terminos de la expresion, acotandola, etc.

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  42. Yo estaba pensando en otro argumento muy elegante , en principio, pero resulta que las cuentas se complican (con lo que el argumento ya no es tan elegante). Lo comento, en cualquier caso.

    Las expresiones involucradas corresponden a funciones homogeneas de grado cero en (a,b,c). Eso nos permite pasar a tener una funcion de solamente DOS variables: Por ejemplo, estas variables podrian ser X = b/a ; Y = c/a. Resulta que la funcion que aparece ahora (como funcion unicamente de X y de Y) es tal que alcanza su minimo absoluto precisamente en el punto (1,1).
    … O, lo que es lo mismo, cuando a = b = c.

    Desafortunadamente, para justificar esto del minimo absoluto, hay que utilizar condiciones tecnicas a base de derivadas parciales.

    Y, para nuestra desgracia, ocurre lo siguiente:

    1) Tales condiciones NO estan, en la mayoria de los casos, entre aquello que un alumno de bachillerato no tiene por que saber.

    2) Ademas, en este caso concreto las cuentas se complican mucho, y la presentacion final (haciendo el problema por este camino) no queda muy estetica que digamos.

    =====

    COMENTARIO: En Analisis Matematico es muy frecuente trabajar con desigualdades. Y, muchas veces, se procede como sigue: Se toma una determinada funcion (de mas de una variable, por supuesto), y por procedimientos analiticos (derivacion, pongo por caso) se estima su minimo absoluto. Una vez que lo tenemos podemos decir ya que: «Para cualquier valor de las variables (que intervienen en esa funcion) la expresion es mayor que ese valor minimo calculado»…

    Y a partir de ahi se trata de que alguien (re)-descubra la desigualdad en cuestion, pero con tecnicas elementales, es decir: nada de derivadas ni cosas por el estilo, unicamente razonando con los terminos de la expresion, acotandola, etc.

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  43. La desigualdad de cauchy es:

    (a_1^{2} +a_2^{2}+a_3^{2})(b_1^{2} +b_2^{2}+b_3^{2}) \ge (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^{2}

    pero utilizando \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} en lugar de a_i y \sqrt{b_i} en lugar de b_i

    Se tiene:

    (\frac{a_1^{2}}{b_1} +\frac{a_2^{2}}{b_2}+\frac{a_3^{2}}{b_3})(b_1 +b_2+b_3) \ge (a_1+a_2+a_3)^{2}
    Que es igual a

    (\frac{a_1^{2}}{b_1} +\frac{a_2^{2}}{b_2}+\frac{a_3^{2}}{b_3}) \ge \frac{(a_1+a_2+a_3)^{2}}{(b_1 +b_2+b_3)}

    Félix, esta ultima desigualdad es la que use

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  44. Gracias isaacv5 , ahora lo entiendo todo perfectamente.

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  45. La solución de isaacv5 es correcta, las anteriores no estoy tan seguro, pero en cualquier caso los problemas de Olimpiada deberían ser resolubles (y se espera que los participantes lo hagan así) sin uso de cálculo.

    Hay varias soluciones que son del estilo de la de isaacv5, basándose todas en demostrar que la suma de los tres primeros términos es
    \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq 1+\frac{1}{2}\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca},
    y a partir de ahí aplicar desigualdad entre medias a
    \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca},\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}},\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}
    o utilizar un argumento equivalente. En cualquier caso, el mayor desafío del problema (desde mi punto de vista) es quitar la raíz cuadrada de por medio, para lo que uno de los métodos estándar es efectivamente el uso de Cauchy.

    Una alternativa que he visto para eliminar la raíz (no es original mía) es la siguiente:
    \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}=\frac{ab+bc+ca}{\sqrt{(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)}}\geq\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca},
    por desigualdad enter medias aritmética y geométrica, y con igualdad si y sólo si
    a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca, o equivalentemente si y sólo si (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0, es decir, si y sólo si a=b=c. Queda una desigualdad bastante fea pero ya sin raíces cuadradas, que se demuestra bien por fuerza bruta, bien por Muirhead, aunque seguro que hay otros métodos…

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