Olimpiada Matemática Española 2013 – Problema 6: Cuadrilátero

Sexto y último problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Éste es el enunciado del mismo:

Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que

|AB|+|CD|= \sqrt{2} |AC|

y

\quad |BC|+|DA|=\sqrt{2} |BD|

¿Qué forma tiene el cuadrilátero ABCD?

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

55 Comments

  1. Si es un rectángulo, los lados deben ser iguales, es decir, un cuadrado

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  2. Razonando de forma similar, para un rombo de diagonales a y b debe tenerse a=b. De momento todo apunta a que el cuadrado sea la única solución.

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  3. El cuadrado es la única solución posible, sí. Eso si, hay que demostrarlo que por algo es el sexto problema

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  4. solo quedan el romboide, el trapecio y el trapezoide…

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  5. Acabo de construir un cuadrilátero que cumple aproximadamente las condiciones del problema y no le veo manera de responder a la pregunta. Desde luego no es un cuadrado, ni siquiera un paralelogramo.

    http://picturepush.com/public/12921991

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  6. En el caso del rombiode, que sería lo mismo que el paralelogramo, creo que es sencillo:

    AB y CD son caras opuestas… con lo que al ser paralelogramo son de igual longitud.
    Lo mismo ocurre con BC y DA.

    Las ecuaciones se transforman en:

    |AB|/|AC| = sqrt(2) / 2

    |BC|/|BD| = sqrt(2) / 2

    Y cumplir ambas lleva a |AB| = |BC| y AB _|_ BC (perpendiculares)

    Aunque para demostrar esto último no vi otro camino que desarrollar expresiones:

    Pongo origen en D y punto C en eje x… llamo d a la distancia d = |DC| = |AB|
    y k = |BC|/|AB| y f el ángulo que forma CB con el eje x

    D = (0, 0)
    C = (d, 0)
    A = kd(cos f, sen f)
    B = (d + kd*cos f, kd*sen f)

    AC = C – A = (d-kd*cos f , -kd*sen f)

    DB = B

    |AC| = sqrt(d^2 + d^2 * k^2 – 2 d^2 * k * cos f) = d * sqrt(1+ k^2 – 2 * k * cos f)

    |BD| = sqrt(d^2 + d^2 * k^2 + 2 d^2 * k * cos f) = d * sqrt(1+ k^2 + 2 * k * cos f)

    |AC|/|AB| = sqrt(1+ k^2 – 2 * k * cos f) = sqrt(2)

    |BD|/|BC| = sqrt(1+ k^2 + 2 * k * cos f) / k = sqrt(2)

    se resuelve el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

    k^2 – 2 * k * cos f = 1 … cos f = (k^2 – 1 ) / 2k

    1 + k^2 + 2 * k * cos f = 2k
    1 + k^2 + (k^2 – 1) = 2 k
    2k^2 = 2k

    k=1 (ó k=0 que sería descartable)

    cos f = 0

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  7. Osea que hay solucion mas general que el cuadrado que es un paralelogramo.
    No veo ninguna solucion tipo trapecio o trapezoide pero demostrarlo es muy arduo (si es que es posible).
    Pero alguien resuelve estos problemas en una sentada? Los de la olimpiada son supergenios?

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  8. no, queria decir todo lo contrario, que no hay soluciones como paralelogramo
    que no sean el cuadrado. Las soluciones son trapezoides proximos a paralelogramos
    como este cuadrado expresado por sus vertices:
    x,y
    0 0
    1.79653423452 0.395616645314
    1 1
    -0.796816540217 0.604431474447
    0 0

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  9. Muy chulo el problema!

    Me podríais recomendar algún libro que tenga ejercicios chulos de olimpiadas en español? En inglés tengo alguno, pero también quiero conocer el producto nacional 🙂

    Enhorabuena por vuestro blog, es muy interesante.

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  10. Propuesta analítica un tanto tediosa.
    Asignemos coordenadas a los vértices: A(0,0), B(0,1), C(m,n) y D(x,y).
    Tomamos una pareja m, n a nuestra elección.
    Si expresamos las dos condiciones del problema en función de m, y n tendremos dos ecuaciones con las dos incógnitas x e y.
    Si el sistema tiene solución sabremos cuál es el punto D.
    Solo tendríamos que analizar tres casos (el cuadrado ya sabemos que cumple) para estudiar todas las formas posibles:
    BC horizontal y distinto de 1.
    BC no horizontal pero de longitud 1.
    BC no horizontal y distinto de 1.

    También podríamos elegir como datos, en lugar de m y n la longitud BC y el ángulo que forma BC con la horizontal y estudiar los mismos tres casos.

    ¿Alguien con ganas y paciencia para intentarlo?

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  11. JJGJJG,

    el problema es que tenemos 4 incógnitas ( {m,n,x,y} ó {|BC|, ánguloBC, |AD|, ánguloAD})

    y sólo 2 ecuaciones.

    En el caso que resolví antes no hay problema porque se añaden 2 ecuaciones (o se fijan 2 parámetros): ánguloBC = ánguloAD y |BC| = |AD|

    Es cierto que al decir cuadrilátero CONVEXO hay una condición extra… pero no es una ecuación sino inecuaciones (ángulos menores que PI…).

    Intuyo que el punto de intersección de las diagonales, que por la condición de convexidad debe estar dentro del cuadrilátero, puede ser clave para la demostración… así como algunas inecuaciones: cantidades que mayores que cierto valor y que sólo en el caso del cuadrado sean iguales, asegurando que el cuadrado sea la única solución.
    Pero no he conseguido todavía ver cómo llegar a eso… quizá usando derivadas para calcular los mínimos de una función y asegurar que será mayor para otros valores.

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  12. hay infinitas soluciones de trapezoides que cumplen la solucion. Para muestra otro:
    0 0
    1.30616200283 0.0480257939887
    1 1
    -0.306051327979 0.952020232876
    Los lados serian 1.30704462606, 0.999995030432, 1.30693233542, 1.0000049695
    diagonales: sqrt(2), 1.84836083316
    Tiene todos los lados desiguales y cumple las condiciones, pero esta cerca de un paralelogramo.

    O hay una solucion genial o este problema es infernal y no apto para navegantes…

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  13. rtomas,

    me costaba mucho creer que hubiese una solución que sea casi un paralelogramo no cuadrado… sobre todo después de haber probado que él único paralelogramo posible es el cuadrado.

    Así que he revisado tu solución y encontré el fallo:

    Tu solución no cumple las condiciones del enunciado, sino estas otras:

    |AB| + |CD| = sqrt(2) * |BD|

    |BC| + |DA| = sqrt(2) * |AC|

    En otras palabras: intercambiaste las diagonales.

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  14. Divido el cuadrilátero en dos triángulos mediante una diagonal y en otros dos mediante la otra. Si los lados del cuadrilátero son {1,y,x,z}, los triángulos son {x,y,x√2+√2}, {1,z,x√2+√2}, {x,z,y√2+z√2}, {1,y,y√2+z√2}.

    Mediante el teorema del coseno calculo todos los ángulos en función de x, y, z. Como cada ángulo original es la suma de dos ángulos nuevos, tengo cuatro ecuaciones que serán linealmente dependientes. A partir de tres de ellas despejo los valores de x, y, z.

    Si todo va bien debería obtener x=y=z=1.

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  15. Como mencionan, el cuadrado es una solución; pero en un examen de ese tipo hay que demostrarlo, lo cual es mas o menos trivial suponiendo un cuadrado de longitud 1:

    en este caso, AB=1; BC=1; CD=1; CD=1;DA=1
    y AC= BD= sqrt {1+1}=sqrt {2}
    por lo tanto de la primera ecuación:
    1+1=sqrt {2}*sqrt {2}
    2=2
    la segunda tiene exactamente los mismos valores:
    1+1=sqrt {2}*sqrt {2}
    2=2

    Lo difícil sería demostrar que es la única solución; eso si sería demasiado complejo.

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  16. Acido, solo tienes que intercambiar B por A (y seguir con el resto) y ya tienes las ecuaciones del problema y el cuadrilatero que menciono las cumple.

    Mmonchi, estaria bien que se econtrara lo que dices, pero como explicas mi cuadrilatero?

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  17. rtomas,

    ¿intercambiar A por B? ¿has probado a dibujar lo que sale de intercambiar A por B? A mi sale un reloj de arena (como un 8), no un cuadrilátero. Y para colmo, lo que antes eran diagonales ahora son lados y encima se suman en la ecuación… así que sqrt(2) + 1.848 no es igual a sqrt(2) * 1 … no cumple la ecuación segunda (ni la primera).

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  18. rtomas, en el primer ejemplo haces 1,99999999999699=2,0000000000000000 y 3,67942166331908=3,67942165936302 y en el segundo 2,00000000000000=2,00000000000066 y 2,61397696148589=2,61397695842079.

    No sé si al afinar más desaparece el error o es inevitable, es decir, puedes acercarte a la solución sin alcanzarla de forma exacta.

    Si consigo resolver el sistema de ecuaciones (que se complica mucho y hay que usar el teorema del seno además de el del coseno) quizás llegue a una solución general más amplia que englobe las tuyas, no lo sé.

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  19. Mi propuesta no pretende resolver el problema de una tacada sino por aproximaciones sucesivas descartando casos particulares. Para ello propongo tres alternativas:
    La primera comprueba si puede haber soluciones con un ángulo recto.
    La segunda exploraría si hay soluciones con dos lados contiguos iguales pero no perpendiculares.
    La tercera trata de abordar el caso de un cuadrilátero general.
    No incluyo en análisis de los paralelogramos porque ya la ha abordado Acido.

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  20. No Mmonchi, ya expliqué el fallo de rtomas.

    Veamos con el primero:

    x,y
    A = 0 0
    B= 1.79653423452 0.395616645314
    C= 1 1
    D= -0.796816540217 0.604431474447
    0 0

    |AB| aprox sqrt(1.8^2 + 0.4^2) = sqrt(3.4) = 1.84
    |CD| aprox lo mismo

    |AB| + |CD| aprox = 3.68
    sqrt(2) * AC = 2

    No cumple la primera igualdad!!!

    Por el mismo motivo que dije antes, para cumplir las ecuaciones habría que intercambiar las diagonales.

    |AD| aprox sqrt( 0.79^2 + 0.6^2) = 1
    |BC| aprox 1

    |BD| = apuesto a que da 3.68 / sqrt(2)

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  21. Acido, no me he explicado, este cuadrado:
    AB
    DC
    puede ser perfectamente este otro:
    DA
    CB

    no?

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  22. Acido, yo he calculado los cuatro lados y las dos diagonales a partir de los puntos, no me he fijado en si la nomenclatura es correcta sino en el resultado, que es casi correcto.

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  23. Mi línea de investigación ahora es suponer que dos lados opuestos del cuadrilátero confluyen en un punto P… (que no sean paralelos) para ver si puedo llegar a contradicción con las condiciones del problema.

    Si lo consigo, equivaldría a que las únicas soluciones deben ser paralelogramos… y con la demostración de antes, tendríamos que sólo el cuadrado puede ser solución.

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  24. Mmonchi, es cierto que las soluciones numericas solo se cumplen hasta
    cierto digito y no son en el fondo una demostracion de estos problemas,
    pero vero claramente que me puedo acercar tanto como quiera a la solucion
    y en el caso de los numeros que doy todas las cifras decimales son representativas
    y el error esta en la ultima, asi que redondear a menos de las que doy no vale.

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  25. Acido, si tienes un cuadrilátero que cumple esas ecuaciones, tienes uno que cumple las otras. Es simplemente cuestión de simetría.

    rtomas, creo que te estás dejando engañar por los decimales y la falta de exactitud. Hay cuadriláteros, no necesariamente cercanos a paralelogramos, que están muy muy cerca de cumplir las condiciones, pero no las cumplen realmente.

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  26. Ya esta!
    La solucion es un paralelogramo!
    Apurando digitos esta claro que los lados son iguales 2 a 2!!! como Golvano y Mmonchi indicaban.

    que ocurre? que acido cometio un pequenyo error y nos despisto.
    Revisad: Acido | 13 de mayo de 2013 | 17:08

    la ecuacion:
    |BD|/|BC| = sqrt(1+ k^2 + 2 * k * cos f) / k = sqrt(2)
    se convierte en:
    1 + k^2 + (k^2 – 1) = 2 k^2
    y no en 2k (el r.h.s) como Acido accidentalmente habia escrito.
    Asi pues esta ecuacion es una identidad que se cumple para todo k !!!!

    Y para todo k que tenga un angulo f tal que
    cos f = (k^2 – 1 ) / 2k
    habra solucion!

    Ahora, para el trapezoide sigo creyendo que es un problema infernal, pero
    ahora si que creo que no existe. La solucion es paralelogramo!

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  27. golvano,
    Cierto… no acababa de verlo. Es la imagen especular.
    Es que primero dijo rtomas cambiar A por B … y me salía un churro… le faltó decir «y C por D». Luego dijo ABCD por DABC y eso era una rotación… que parecía una tomadura de pelo xDDD Era cambiar ABCD por BADC.

    rtomas,
    ¡Bravo! ¡Muy bueno! Es sistema de ecuaciones es indeterminado, con infinitas soluciones, así que hay infinitos paralelogramos…
    Lo mio fue un error que casualmente concordaba con otras pruebas… como, por ejemplo, no ser válido para los rectángulos ni los rombos… aparte, claro está, de ser válido para el cuadrado como en general esperábamos, así que quedé satisfecho y no lo revisé. En el caso del rectángulo cos f = 0 así que k debe ser 1. En el caso del rombo: k=1 así que cos f = 0 …

    Supongamos cos f = 1/2 … (f = 60 grados … PI/3)
    k = k^2 – 1 … k^2 -k – 1 = 0
    k = 1/2 +/- sqrt(1+4)/2 … k = 1/2 + sqrt(5)/2 = 1.618
    ¡el adorado número Phi! La razón áurea.

    En general…

    k^2 – 2 cos f * k -1 = 0

    k = cos f +/- sqrt(cos^2 f + 1)

    válido para cualquier ángulo f mayor que 0 … En el intervalo (0, PI/2) coseno positivo, sería k>1 … |BC| > |AB| (ó k negativo, que puede tener sentido). Para PI/2 sale el cuadrado (coseno 0, k=1). Y para (PI/2, PI), coseno negativo, sería k<1 … |BC| < |AB|

    Faltaría ver que los no paralelogramos no son solución… que es lo que estaba intentando antes… que si dos lados opuestos se cruzan (en un punto P, y por tanto, no son paralelos) eso imagino que podrá llevar a una contradicción.

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  28. En el ejemplo de f = 60 grados… (PI/3)

    [x, y]

    D = [0, 0]
    C = [1, 0]
    B = [1+ 1/4 + sqrt(5)/4, sqrt(3)/4 + sqrt(15)/4 ]
    A = [ 1/4 + sqrt(5)/4, sqrt(3)/4 + sqrt(15)/4 ]

    AB = [1, 0]
    BC = -A
    CD = [-1, 0]
    DA = A

    AC = -[1/4 + sqrt(5)/4 – 1, sqrt(3)/4 + sqrt(15)/4 ]
    = -1/4 [-3 + sqrt(5), sqrt(3) + sqrt(15) ]

    BD = -B = 1/4 [5 + sqrt(5), sqrt(3) + sqrt(15) ]

    |AB| + |CD| = 1 + 1 = 2

    |AC|^2 = 1 /16 *(9 + 5 -2*3* sqrt(5) + 18 + 2*3* sqrt(5) ) = 32/16 = 2

    Se cumple |AB| + |CD| = sqrt(2) * |AC|

    |BC|+|DA| = 2|A|

    A = 1/4 [ 1 + sqrt(5), sqrt(3) + sqrt(15) ]

    |A|^2 = 1/16 * ( 24 + 2* (1+3)* sqrt(5) ) = 3/2 + sqrt(5)/2 = 1+Phi
    |A| = sqrt(1+Phi)

    B = 1/4 [5 + sqrt(5), sqrt(3)+ sqrt(15) ]

    |BD|^2 = |B|^2 = 1/16 * ( 25 + 5 + 2*5 * sqrt(5) + 3 + 15 + 2* 3* sqrt(5) ) = 48/16 + 16*sqrt(5) / 16 = 3 + sqrt(5) …. |BD| = sqrt( 3 + sqrt(5) )

    |BC|+|DA| = 2 sqrt(1+Phi) = sqrt( 4 + 4Phi) = sqrt(4 + 2 + 2*sqrt(5) )

    sqrt(2) * |BD| = sqrt(2) * sqrt( 3 + sqrt(5) ) = sqrt( 6 + 2 * sqrt(5) )

    Lo cual prueba que este caso cumple la segunda.

    Y, de paso, prueba que no era una cuestión de decimales…

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  29. Muy bien. Entonces las soluciones son paralelogramos que cumplen cierta relación entre el ángulo y la longitud de los lados.

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  30. Siguiendo con mi idea de los ángulos, parto de un cuadrilátero de lados {w,x,y,z} y ángulos a, b, c y d. Descompongo el cuadrilátero en dos triángulos por una diagonal, en otros dos por la otra, y tengo cuatro triángulos. Conozco todos los lados y puedo poner los 12 ángulos en función de w, x, y, z mediante el teorema del coseno. Calculo cosa, cosb, cosc y cosd mediante la fórmula del coseno de la suma y me quedan cosa y cosc en función de sena*senc y cosb y cosd en función de senb*send. Despejo e igualo los productos de senos y obtengo las condiciónes siguentes:

    w=y, x=z.

    Por tanto los cuadriláteros que solucionan el problema son necesariamente cuadriláteros.

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  31. Mmonchi,
    «Por tanto los cuadriláteros que solucionan el problema son necesariamente cuadriláteros.»
    esto es una revolucion!!
    😉

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  32. 🙂

    «Son necesariamente paralelogramos.»

    Tengo ya la relación entre x e y, y entre los ángulos a y b con x e y. Lo escribo en Latex y vuelvo.

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  33. entonces enhorabuena!!!!
    parece que tu demostracion no va a ser infernal

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  34. Sí que era infernal, al repasarla he encontrado un error al principio y ahora no se simplifica. Cuando me despeje lo vuelvo a intentar. 🙁

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  35. Son curiosos estos errores que hacen que salga que lo esperamos jajajaja

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  36. Yo el único avance que hice es demostrar que si tenemos 3 vértices seguidos (ABC, por ejemplo) que cumplen la condición exigida para el paralelogramo… entonces el cuarto vértice (D en el ejemplo) sólo puede estar en el punto en el que se forma el paralelogramo. Con lo cual para cada ángulo hay un k en el que hay una solución y también infinitos cuadriláteros (con dos grados de libertad) que no son solución (y no son paralelogramos). Ahora bien, para los casos en los que no se cumple la condición no he demostrado que no pueda pueda haber soluciones que no sean paralelogramos.

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  37. Lo anterior es fácil… El paralelogramo que cumple la condición cumplirá lo siguiente:
    |AB| = 1
    |CD| = 1
    y, por tanto |AC| = sqrt(2)

    Si CD no es 1 no se cumplirá la igualdad…
    Si CD es 1 pero no es paralelogramo, entonces el otro lado (AD) no será igual a |BC| y no se cumplirá la otra condición.

    También demostré que para un trapecio isósceles genérico
    ( AB || CD y |CB| = |DA| )
    necesariamente debe ser |AB| = |CD| (rectángulo) y la altura debe ser |AB|, y, por tanto, todos esos casos derivan en un cuadrado.
    Aunque esta demostración no es tan simple como la anterior (y podría tener errores… espero que no)

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  38. ¡¡¡ Lo conseguí !!!!

    Y, como imaginábamos, existe una solución sencilla. Todos intuíamos que la solución no podía ser supercomplicada…

    Las claves: vectores, escribir las diagonales de varias formas, elevar al cuadrado (producto escalar de un vector por sí mismo), sumar todo y usar las expresiones del problema… Hasta yo mismo me he quedado sorprendido de cómo todo se simplifica.

    Ahora lo escribo en limpio y lo envío.

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  39. 1.
    Pintamos un cuadrilátero convexo genérico, con sus diagonales.
    Me fijo en la representación VECTORIAL del mismo… en concreto de las dos diagonales.

    2. Expreso cada diagonal de 2 formas distintas.

    AC = AB + BC (de A a C pasando por B)
    AC = AD + DC (de A a C pasando por D)

    BD = BA + AD (de B a D pasando por A)
    BD = BC + CD (de B a D pasando por C)

    3. Elevo al cuadrado las 4 expresiones
    Este paso es clave… La «ocurrencia» o «idea feliz» vino porque cuando escribía expresiones mediante coordenadas obtenía cosas que elevando al cuadrado eran más fáciles de manejar. Este paso parecía obvio ya que hay una raíz de 2 , aparte de que las expresiones de módulos se tratan mejor elevando al cuadrado (módulo cuadrado es suma de cuadrados de coordenadas).

    AC*AC = (AB + BC)^2 = AB^2 + BC^2 + 2*AB*BC
    AC*AC = (AD + DC)^2 = AD^2 + DC^2 + 2*AD*DC

    BD*BD = (BA + AD)^2 = BA^2 + AD^2 + 2*BA*AD
    BD*BD = (BC + CD)^2 = BC^2 + CD^2 + 2*BC*CD

    4. Sumamos todo
    También relativamente obvio… ya que queremos tener por un lado 2 AC^2 y 2 BD^2 pero sobre todo porque queremos mezclar AB con CD y BC con DA

    2*AC^2 + 2*BD^2 =
    = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2AB(BC-AD) + 2CD(BC-AD)
    = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)

    5. Sustituimos las expresiones del problema en el lado izquierdo
    y lo desarrollamos (expandimos, veremos similitudes con el lado derecho).

    (|AB| + |CD|)^2 + (|BC|+|DA|)^2 =
    = AB^2 + CD^2 + BC^2 + DA^2 + 2|AB||CD| + 2|BC||DA|

    Sustituyendo en la ecuación de antes:

    AB^2 + CD^2 + BC^2 + DA^2 + 2|AB||CD| + 2|BC||DA| =
    = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)

    Luego:

    2(BC-AD)(AB+CD) + 2AB^2 + 2CD^2 – 2|AB||CD| + 2BC^2 + 2DA^2 – 2|BC||DA| = 0

    2(BC-AD)(AB+CD) + (|AB| – |CD|)^2 + (|BC| – |DA|)^2 = 0

    Pero resulta que:

    BC-AD = DC – AB (véase punto 2, las expresiones de AC)

    Luego AB+CD = AB -DC = -(BC-AD)

    -2(BC-AD)^2 + (|AB| – |CD|)^2 + (|BC| – |DA|)^2 = 0

    Aquí me equivoqué en el primer signo, que puse + lo que implicaba que los lados serían iguales 2 a 2 y además paralelos: BC = AD, AB= DC lo cual me emocionó en exceso por resultar tan claro… jajaja

    Pero aún con el signo – se puede concluir bien.

    Para acabarlo mejor retroceder:

    2(BC-AD)(AB+CD) +2AB^2 +2CD^2 -2|AB||CD| +2BC^2 +2DA^2 -2|BC||DA| = 0

    -2(BC-AD)^2 + 2AB^2 + 2CD^2 – 2|AB||CD| + 2BC^2 + 2DA^2 – 2|BC||DA| = 0

    -(BC-AD)^2 -(DC-AB)^2 +2AB^2 +2CD^2 -2|AB||CD| +2BC^2 +2DA^2 – 2|BC||DA| = 0

    2|BC||AD|cos BC,AD +2|DC||AB|cos DC,AB -2|AB||CD| – 2|BC||DA| = 0

    |AB||CD| + |BC||DA| = |BC||AD|cos BC,AD +|DC||AB|cos DC,AB

    y eso implica cos BC,AD =1 y cos DC,AB =1

    Y, por tanto, es un paralelogramo.

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  40. Bueno, hubo un pequeño error de transcripción intermedio (un despiste al editar después de copiar y pegar) pero que no afecta a la validez.

    ______

    AB^2 + CD^2 + BC^2 + DA^2 + 2|AB||CD| + 2|BC||DA| =
    = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)

    Luego:

    2(BC-AD)(AB+CD) + AB^2 + CD^2 – 2|AB||CD| + BC^2 + DA^2 – 2|BC||DA| = 0

    ________

    Luego continúa bien.

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  41. Ácido, dices: «2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2AB(BC-AD) + 2CD(BC-AD)
    = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)»

    Hay un error quizás fatal (no he repasado todo el ejercicio): es 2AB(BC+AD) y 2CD(BC+AD).
    Vaya, que has cambiado los signos sin darte cuenta.

    El resto, para mí, es bastante incomprensible, hay varias expresiones que algebraicamente parecen incorrectas, a no ser que me esté descuidando pasos que has obviado. Por ejemplo en:

    «5. Sustituimos las expresiones del problema en el lado izquierdo
    y lo desarrollamos (expandimos, veremos similitudes con el lado derecho).

    (|AB| + |CD|)^2 + (|BC|+|DA|)^2 =
    = AB^2 + CD^2 + BC^2 + DA^2 + 2|AB||CD| + 2|BC||DA|

    Sustituyendo en la ecuación de antes:

    AB^2 + CD^2 + BC^2 + DA^2 + 2|AB||CD| + 2|BC||DA| =
    = 2AB^2 + 2CD^2 + 2BC^2 + 2DA^2 + 2(BC-AD)(AB+CD)»

    No sé cómo sustituyendo lo que sustituyes te da eso que te da (¿¿??). Faltan términos que te dejas o que no consideras.

    No sé, es todo bastante confuso.

    Luego ya, partes de lo de BC- AD = etc, ect, que obviamente no tiene sentido continuar porque no va un «-» sino un «+» entre BC y DC.

    Espero haber sido de ayuda.

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  42. Perdona, ácido, a mi segunda apreciación sobre tu punto 5 (que corregiste en el siguiente comentario, que no vi) no hagas caso.

    Sin embargo permanece la primera, la de los signos…

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  43. Dices que no sabes de dónde salen los signos – del apartado 4.

    El apartado 4 viene de sumar las expresiones del apartado 3

    Y las expresiones del apartado 3 quitando los cuadrados son estos productos escalares de vectores:

    2*AB*BC

    2*AD*DC

    2*BA*AD

    2*BC*CD

    Fíjate que aparece AB y BA …. y también CD y DC … Por eso transformo, para sacar factor común … El vector que va de A a B es el opuesto del que va de B a A (si sumas ambos da cero: AB + BA = AA = 0 )

    Por tanto, al sumar tenemos:

    2*AB*BC

    2*AD*(-CD) = – 2*AD*CD = 2*CD*(-AD)

    2*(-AB)*AD = -2*AB*AD = 2*AB*(-AD)

    2*BC*CD = 2*CD*BC

    Sumando :

    Por un lado sumo primero y tercero, que tienen AB:
    2*AB*BC + 2*AB*(-AD) = 2*AB*(BC-AD)

    Por otro lado sumo segundo y cuarto que tienen CD:
    2*CD*(-AD) + 2*CD*BC = 2*CD*(BC-AD)

    La suma total: 2*AB*(BC-AD) + 2*CD*(BC-AD)

    Sacando factor común: 2*(AB+CD)*(BC-AD)

    Si no te gusta que haya un – pues podemos decir AD = -DA

    2*(AB+CD)*(BC-AD) = 2*(AB+CD)*(BC+DA)

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  44. En efecto, tienes razón. A veces uno se acostumbra a trabajar tanto con números naturales o reales que se me olvida que, como en este caso, son vectores en geometría afín. Y al invertir las letras se cambia el sentido (signo) del vector.

    Gracias!

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  45. Acido,

    Muy buena la última solución, pero entiendo que no se llega a obtener la relación del ángulo con la longitud del segmento que había en la demostración de Rtomas, por lo que valdría cualquier paralelogramo, y eso sabemos que es falso.

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  46. No, Juanjo.

    Esta última demostración no necesita las dos ecuaciones sino la suma de los cuadrados de las ecuaciones dadas en el problema. En otras palabras, utiliza una condición más general que las condiciones del problema.

    Dicho de otra forma:

    Siempre que un cuadrilátero cumpla lo siguiente será un paralelogramo:

    (|AB| + |CD|) ^2 + (|BC| + |DA|)^2 = 2 |AC|^2 + 2 |BD|^2

    ¿verdad que es fantástico esto último?

    Al usar sólo la suma de los cuadrados hemos perdido restricciones («ganado más generalidad»).
    Pero es que el problema no tiene esa condición sino unas más restrictivas.

    Al añadir condiciones más restrictivas lo que ocurre es que de todos los paralelogramos sólo serán válidos unos cuantos, que son aquellos que se encontraron con la otra demostración (restringida sólo a paralelogramos con las condiones del problema).

    Es decir, la última demostración por sí misma no resuelve el problema sino que era el detalle que faltaba para asegurar que no había soluciones fuera de los paralelogramos.

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  47. Juas, perdón otra vez, pero ácido, ¿cómo llegas a los cosenos? No veo cómo usas el teorema del coseno (o lo que sea)

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  48. Reconozco en que la parte voy demasiado deprisa y quizá quede poco claro. Así que voy a detallarlo.

    La expresión antes de los cosenos, escrita bien (PERDÓN de nuevo por ese error de transcripción que enturbia las cosas… la parte final la copié de la que estaba mal y está también mal, con los cuadrados multiplicados por 2, cuando deben ir multiplicados por 1) sería:

    -(BC-AD)^2 -(DC-AB)^2 +AB^2 +CD^2 -2|AB||CD| +BC^2 +DA^2 – 2|BC||DA| = 0

    Los cosenos salen de los cuadrados de las diferencias, esos que tienen signo negativo… Veamos cada uno:

    -(BC-AD)^2 = – (BC^2 + AD^2 -2*BC*AD) = -BC^2 -AD^2 +2*BC*AD
    -(DC-AB)^2 = – (DC^2 + AB^2 -2*DC*AB) = -DC^2 -AB^2 +2*DC*AB

    Si te suena lo que es un Producto Escalar imagino que te sonará la siguiente expresión:

    BC * AD = |BC| * |AD| * cos (ángulo entre BC y AD)

    Para el que no le suene, lo aclaro. El producto escalar se hace haciendo Sumatorio(BC_i * AD_i) siendo BC_i e AD_i las coordenadas de los vectores.
    Si tomas como base el vector unitario 1/|AD| * AD y el perpendicular a ese en el plano que forman BC y AD las coordenadas de AD son AD = [ |AD| , 0 ]
    y las coordenadas de BC son BC = [ |BC|* cos (AD, BC), |BC|*sen (AD,BC) ]

    Al hacer el producto escalar resulta |AD|*|BC| * cos (AD, BC)

    Del mismo modo:

    DC*AB = |DC|*|AB| * cos (DC, AB)

    Volviendo a la expresión:

    -(BC-AD)^2 -(DC-AB)^2 +AB^2 +CD^2 -2|AB||CD| +BC^2 +DA^2 – 2|BC||DA| = 0

    Los módulos cuadrados (AB^2, CD^2 etc) se anulan pero queda lo siguiente: por un lado con signo + los dobles de los productos escalares (con el cosenito que lleva cada uno) y por otro lado, con signo – los dobles de los productos de los módulos. Es decir:

    2|BC||AD| cos (BC,AD) +2|DC||AB| cos (DC,AB) -2|AB||CD| – 2|BC||DA| = 0

    Divido por 2. Y también ahora reescribo los módulos para que se vean mejor.

    |AB||CD| + |BC||DA| = |AB||CD| cos (DC,AB) + |BC||DA| cos (BC,AD)

    y eso implica cos (BC,AD) =1 y cos (DC,AB) =1

    De paso, explico por qué la expresión implica que los cosenos deben ser 1.

    A la izquierda hay una suma de dos reales positivos y a la derecha cada uno de esos reales multiplicados por cosenos… La parte de la derecha tiene que ser menor o igual que la de la izquierda (multiplicar por el coseno disminuye el valor absoluto o incluso podría cambiar el signo… ya que el coseno va de -1 a 1… aunque siendo cuadriláteros convexos los cosenos deben ser positivos si no me equivoco) y será igual si y sólo si los cosenos son 1.

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  49. Ey, muchas gracias. Espléndido que te tomaras tantas molestias, de verdad.

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  50. Es un problema que relaciona los lados con las diagonales.
    El dato de la raiz de 2 en las ecuaciones dadas simplifica la demostración, (la diagonal de una cuadrado de l=1 es raiz de 2)

    En la 1ª ecuación se relacionan dos lados opuestos con su diagonal d1 (raiz 2)

    En la 2ª ecuación se relacionan los otros dos lados con la otra diagonal d2 (raiz 2), indicándonos que d1=d2 (cuadrado es el único cuadrilatero con sus diagonales iguales) descartando romboides y trapezoides.

    Para la demostración simplemente habría dibujado el cuadrado con nomenclatura y valores, utilizado Tª Pitagoras para demostrar que la diagonal de un cuadrado de l=1 es raiz 2 y habría confirmado que se cumplen las ecuaciones dadas, obteniendo que :

    1+1 = ^2 * ^2
    1+1 = ^2 * ^2

    Implica 2 soluciones: cuadrado y reloj de arena
    Como el problema indica que el cuadrilátero ha de ser convexo, descartamos el reloj de arena.

    Si no nos hubiesen dado en las ecuaciones el dato de raiz 2 sí considero que habría sido necesario una demostración más elaborada como la ya dada, no sé si estaréis de acuerdo.

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  51. hariseldon,

    No estamos de acuerdo.
    El problema pregunta «¿Qué forma tiene el cuadrilátero ABCD?» y, por tanto, lo que se pregunta se refiere a todos los cuadriláteros posibles que cumplan las ecuaciones. Así que dibujar un cuadrado y probar que lo cumple no demuestra que no haya otras soluciones que no sean el cuadrado.

    Podrías alegar que has dado un razonamiento que descarta otras soluciones que no sean cuadrados, pero dicho razonamiento no es correcto.

    Dices: «En la 2ª ecuación se relacionan los otros dos lados con la otra diagonal d2 (raiz 2), indicándonos que d1=d2».

    Lo cual no es cierto. De las ecuaciones dadas no puede deducirse que las diagonales sean iguales, a pesar de que ambas ecuaciones tienen el número raíz de 2. Y estoy seguro de que no puede deducirse eso ya que hay soluciones en las que las diagonales no son iguales. El primero que descubrió aquí que había ese tipo de soluciones fue rtomas (el cual citó varios ejemplos). Y después yo mismo indiqué una de esas soluciones el 15 de mayo (por si lo quieres buscar, es un comentario que empieza diciendo «En el ejemplo de f = 60 grados… «). Primero intenté encontrar los paralelogramos que cumplen las condiciones pero cometí un error que corrigió rtomas, probando que hay infinitos paralelogramos que lo cumplen y no son cuadrados (son infinitos pero no son válidos todos los paralelogramos). Por último, lo que más costó, probé que los que no son cuadriláteros no cumplen nunca las condiciones, dejando zanjado cuáles son todas las infinitas soluciones y la forma que tienen (infinitos paralelogramos / romboides que cumplen una determinada condición).

    Por cierto, gran tipo Asimov.

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