(Posiblemente) La demostración más elemental de la irracionalidad de raíz de dos
A estas alturas de la película creo que es bastante conocido que el número raíz de dos, 
Hay muchas formas de demostrarlo. De hecho aquí en Gaussianos hemos visto ya varias: la típica que usa reducción al absurdo (junto con una que usa descenso infinito) y una demostración geométrica muy interesante. Hoy vamos a ver la, posiblemente, demostración de la irracionalidad de raíz de dos más elemental que he visto nunca.
Comencemos con ella. Está bastante claro que las únicas posibilidades que pueden darse en una fracción son las siguientes: impar/impar, impar/par, par/impar y par/par.
La opción par/par se puede reducir a alguna de las otras tres, por lo que no es necesario considerarla.
Dicho esto, veamos que ninguna de las tres opciones puede dar como resultado
- impar/impar
Si elevamos un número impar al cuadrado obtenemos un número impar, por lo que al elevar esta fracción al cuadrado obtenemos otra fracción tipo impar/impar, y está bastante claro que un número impar no puede ser el doble que otro número impar, por lo que
- impar/par
Si elevamos un número par al cuadrado obtenemos también un número par, por lo que aquí al elevar al cuadrado obtendremos una fracción del tipo impar/par. Pero un número impar no puede ser el doble de un número par, por lo que
- par/impar
Por lo visto anteriormente, el cuadrado de esta fracción daría también una del tipo par/impar, y aquí en principio sí que podría ser que el numerador fuera el doble del denominador. Pero en realidad no es así, ya que un número par al cuadrado da un múltiplo de 4, y es claro que un múltiplo de 4 no puede ser el doble de un número impar (porque en realidad es el doble de un número par). Por tanto
Lo que hemos obtenido es que
Sencilla, ¿verdad? ¿Conocéis alguna otra demostración más elemental que ésta?
Esta demostración la he visto en Lanier Post-a-Lot vía este tuit de @4695712.
05/12/2012
Esta demostración es la primera que recuerdo haber aprendido y entendido, allá por 4 de la ESO. Nuestra profesora de matemáticas la explicó para que entendiésemos lo que era hacer un demostración.
También recuerdo que me tocó explicarla 11.000 veces al resto de la clase.
05/12/2012
Se me ocurre una muy corta, aunque usa la unicidad de la fracción irreducible de un número racional (salvo signo), lo que es equivalente a la unicidad de factorización de enteros.
En fin, ahí va:
Si
es racional y tiene como fracción irreducible 
, entonces 
, luego la segunda fracción se reduce a la primera y por tanto (mirando denominadores) 
es múltiplo de 
. Contradicción.
05/12/2012
Buenísimo. La belleza de la sencillez.
05/12/2012
La demostración no es sólo sencilla, también es versátil. Se puede generalizar la idea para probar la irracionalidad de
(salvo, claro, que a sea de la forma 
Llamemos pares a aquellos enteros congruentes con 0, módulo a. Todos los demás los consideraremos impares.
Descartamos la fracción par/par, por ser reducible.
Con un razonamiento similar al del artículo, la fracción buscada no puede tener el numerador impar, ya que por mucho que lo elevemos a 2, a 3, etc, jamás nos dará un múltiplo de a. Esto descarta las posibilidades impar/par e impar/impar.
El caso par/impar, da también lugar a una fracción par/impar al elevarla a n, sea cual sea el valor de n. Pero, al igual que en el artículo, el numerador será multiplo de a^n, es decir, que al dividirlo por a, nos daría un número par… contradicción.
05/12/2012
Sive, un número que no es 0 módulo a, sí puede tener una potencia que sea 0 módulo a. Por ejemplo 6 al cuadrado es 0 módulo 12, y 12 no es el cuadrado de ningún numero entero.
05/12/2012
Pues pienso que es una forma «asequible para todos» de la clásica demostración de la fracción irreducible.
Mejor dicho, creo que es la misma demostración, pero comenzando «por el final».
05/12/2012
Cierto JuanGMeneses, me precipité.
De todos modos la generalización sí es válida si imponemos que a es primo.
05/12/2012
¿Y lo siguiente por qué no vale?
La fracción irreducible
buscada tendrá factores primos en q que no estarán en p (salvo que q sea 1).
Ahora, por mucho que elevemos la fracción a 2, 3, 4… siempre vamos a tener factores primos en el denominador que no estarán en el numerador. Y ya está…
05/12/2012
Tienes razón, Sive. Si a es primo, la generalización es correcta.
05/12/2012
La propuesta en tu post o en el comentario de JuanGMeneses son, en mi opinión, más elementales que la comento a continuación, pero la comento porqué pasa por ser una de las más breves. Se trata de la demostración dada en un artículo con título «A One-Sentence Proof That
Is Irrational»
Esta demostración se puede leer en http://www.jstor.org/stable/10.2307/2690577 (incluso sin la suscripción a jstor se puede leer, puesto que sólo es una frase). Creo que no es tan elemental porqué entender el principio del descenso infinito de Fermat requiere cierta madurez.
06/12/2012
pues hay una demostracion que hace uso del teorema fundamental de la aritmetica, «todo numero entero tiene una unica configuracion de factores salvo el orden», me parecio al mas simple pues es directo:
sea n un numero primo, y suponemos que la fraccion reducida de su raiz cuadrada es p/q entonces (1) p^2=n*q^2, como p y q estan elevados al cuadrado p^2 y q^2 tienen numero par de factores pero de la ecuacion (1) el lado derecho tiene numero par de factores y el lado izquierdo tiene numero impar de factores lo cual lo hace imposible de ser, asi que la suposicion inicial es falsa, como 2 es numero primo su raiz cuadrada NO puede ser racional…
06/12/2012
danilo, he borrado tu comentario porque se refería a un comentario anterior que he borrado por insultante. Espero que lo entiendas 🙂
06/12/2012
Aquí teneis una recopilación de números irracionales:
http://enciclopedia.us.es/index.php/Constantes_matemáticas
10/12/2012
Pregunta supuestamente sencilla: (ahí va)
Obtener la inecuación de valor absoluto que genera la siguiente desigualdad de intersección.
Favor indicarme si es razonable sugerir este problema para un curso de matemática Pre-Universitario, en el cual se deberían repasar conceptos de secundaria (prepa)
P.D. : Nótese que no habría sólo una inecuación que satisfaga este tipo de problemas.
Atte.
Sinuhé Ancelmo
Ing. en Computación
Venezuela (6:12pm)
10/12/2012
Conseguí una forma de descubrir la familia de soluciones de manera que
Sea llevado a una inecuación de valor absoluto de la forma:
Es decir una inecuación de valor absoluto donde, dentro del valor absoluto aparezca una función afín de ‘x’. No sé si es eso lo que le pida el profesor a mi alumna.
23/01/2013
Alguien me explica como terminé acá?? no es la primera definicion que lei…
26/01/2014
La raíz cuadrada de 2, es un número real positivo que multiplicado por sí mismo da como resultado 2. Fue tal vez el primer número irracional conocido (Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicos, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción) Su valor numérico aproximado a 65 posiciones decimales es el siguiente:
1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737
Lee todo en: Raíz cuadrada de 2 | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/raiz-cuadrada-de-2#ixzz2rTPnzknp
03/06/2019
ESTA ES OTRA DEMOSTRACIÓN MUY ELEMENTAL DEL LA IRRACIONALIDAD DE RAÍZ CUADRADA DE 2..
Supongamos que √2 = a / b, donde a / b es un número racional mayor que 1 y menor que 2. Supongamos, además, que a y b no tienen factores primos comunes
Al elevar al cuadrado en ambos miembros, se obtiene (a / b)² = 2 ………….. (*).
Sea F = ( f1, f2, … , fk ) el conjunto de los factores primos de a. Y sea G = ( g1, g2, … , gl ) el conjunto de los factores primos de b.
Sabemos que F ∩ G = ∅.
Tenemos que los factores primos de (axa) son f1,f1,f2,f2, …,fk,fk. Como son los mismos elementos de F repetidos, el conjunto de los factores primos de (a x a), es H = (f1,f2, … ,fk) = F.
Además, los factores primos de (bxb) son g1,g1,g2,g2 …,gl,gl.
Como son los mismos elementos de G repetidos, el conjunto de los factores primos de (bxb), es I = (g1,g2, … , gl) = G.
De modo que,como H = F e I = G, H ∩ I = ∅.
Se deduce que (axa) y (bxb) no tienen factores primos comunes.
Entonces, (axa)/(bxb) es una fracción irreducible.
Así, a²/b ² = (a/b)² ≠ k, donde k es un número natural.
En particular, (a/b)² ≠ 2.
Entonces,según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción
La suposición inicial es falsa. Finalmente, √2 no es un racional , √2 es un irracional.
03/06/2019
El método expuesto antes, serviría para demostrar que la raíz n- ésima de cualquier número natural, que no sea un n-ésimo perfecto, es un irracional.