Puntos de una circunferencia

Un problema facilito para esta semana, que en vacaciones cuesta más pensar:

Sea P un conjunto de puntos del plano tales que por cada cuatro puntos de P pasa una circunferencia. Demostrar que todos los puntos de P pertenecen a la misma circunferencia.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comments

  1. Si P tiene 3 puntos (no alineados), por ellos pasa una única circunferencia. Al añadir el cuarto punto, para cumplir la condición de estar en P no le queda más remedio que estar en la misma circunferencia anterior. Etc.

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  2. Sea Q el conjunto de puntos del planos tales que por cada 3 puntos pasa una recta. Entonces, todos los puntos están en la misma recta.

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  3. Coincido con jorge. Al estar sobredimensionado el problema de la circunferencia (y la recta), todo debe ser una circunferencia.

    Supongo que lo mismo ocurriría si tomamos el espacio {\Bbb R}^n y tomamos un conjunto H tal que dados n+1 puntos cualesquiera de H son todos co-hiperplanarios.

    Enhorabuena, magnífico post.

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  4. x^{2}+y^{2}=4

    r^{2}=\frac {d^{2}}{2^{2}}=\frac {4(puntos)^{2}}{4}=4(puntos)=r^{2}, r=2(puntos)

    claro esta, sin tener sistema de referencia fijo.

    asi pues, he tomado el conjunto P en forma alineada y horizontal, con distribucion en proporciones iguales, luego cada conjunto Po antes de la circunferencia de la misma hara parte de esa circunferencia de d=4(puntos) , luego todo el conjunto tambien sera parte de una circunferencia que los reune a todos, pues sus partes lo son. asi lo infiero e imagino.

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  5. No se si estoy un poco aturdido por las fiestas y borracheras navideñas, pero parece realmente sencillo y no creo que requiera ninguna fórmula ni cálculo matemático para resolverlo.

    Tres puntos definen una circunferencia en un plano, como el enunciado dice que cada 4 puntos pasa una circunferencia podemos coger todos los subconjuntos de 4 puntos que incluyan a 3 de ellos fijados previamente que definen una circunferencia, con lo que cada uno de los otros puntos también está en esa circunferencia.

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  6. Sí, era fácil. Algún problema relativamente asequible tenía que poner, ¿no? 😀

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