Rango de valores de las raíces

Comenzamos este lunes con el problema semanal. Ahí va:

Hallar el rango de valores reales que pueden tomar las raíces de las ecuaciones x^2+px+q=0 cuando p,q \in [-1,1].

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

28 Comentarios

  1. Si a y b son raíces del polinomio mónico =>

    p = -(a+b) € [-1,1] => a + b € [-1,1]
    q = a*b € [-1,1]

    La conjunción de los dos casos es simétrica y está acotada superiormente en módulo como mínimo por sqrt(2) y menor que 2.

    sqrt(2) y -sqrt(2)/2 cumple las condiciones y para 2 no hay solución posible

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  2. A primera vista sin pensarlo demasiado diría que va de menos fi a fi

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  3. Las raíces son:

    – p/2 +/- sqrt( p^2 / 4 – q )

    Un caso extremo es cuando p=1, q=-1 … -1/2 +/- sqrt(1/4 + 1)
    Y el otro cuando p=-1 , q=-1 … 1/2 +/- sqrt(1/4 +1)

    Entonces estaría entre -1/2 -sqrt(5)/2 (es decir, -Phi)
    y 1/2 + sqrt(5)/2 (es decir, +Phi)

    Así que el rango sería [-Phi, Phi]

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  4. Ahí va la solución de un informático:

    Generaremos, con dos bucles anidados, todos los posibles valores de p y q, por ejemplo (-1,-1),(-1,0),(-1,1)… Para hacerlo más exacto, lo haremos entre -1000 y 1000 y luego dividiremos por 1000, así cogemos 3 decimales. En cada iteración de dicho bucle miraremos si el discriminante es mayor o igual que cero, para asegurarnos que tiene raices reales, en ese caso añadiremos las dos soluciones a una lista sol[…], que serán

    s1=(-p+(p**2-4*q)**0.5)/2
    s2=(-p-(p**2-4*q)**0.5)/2

    Al final de los dos bucles tendremos una lista con 1.000.000*2 soluciones, correspondientes a todas las posibles combinaciones de p y q. Para obtener el rango cogemos el mínimo y el máximo valor de la lista sol[…], dado que al ser una función cuadrática, el rango será continuo.

    En python:

    sol=[]
    for a in range(-1000,1001):
    for b in range(-1000,1001):
    p=a/1000
    q=b/1000
    if p**2-4*q>=0:
    s1=(-p+(p**2-4*q)**0.5)/2
    s2=(-p-(p**2-4*q)**0.5)/2
    sol.append(s1)
    sol.append(s2)
    print(min(sol),max(sol))

    Y la salida del programa es:

    -1.618033988749895 1.618033988749895

    que coincide hasta el 15 decimal con Phi=0.5+sqrt(5)/2 que ha apuntado Acido. Para Juanjo: sqrt(2) como rango máximo no puede ser, ya que el primer caso es ya un contraejemplo —> p=-1 q=-1 da una solución que es sqrt(5)/2+0.5=1.618… que es mayor que sqrt(2)=1.414…

    Como curiosidad, el mínimo y el máximo se producen con valores de p y q enteros, por lo que en el algoritmo no hubiera sido necesario coger ningún decimal, dando el mismo resultado.

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  5. Con conocimientos de análisis matemático en varias variables, se puede resolver facilmente. Se trata de un problema de extremos sobre variedades en dos variables.
    Buscamos los extremos de la ecuación de polinomios cuadrados en el interior del cuadrado (-1.1)x(-1.1) y luego en la frontera, teniendo en cuenta que el discriminante ha de ser positivo.
    Y asi llegamos a…

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  6. Se trata de un problema de maximización y minimización de una función con dos variables con restricciones. Para hacer esto se puede hacer matemáticamente, calculando la derivada de dicha función, etc, o se puede hacer informáticamente, con distintos tipos de algoritmos, como el simplex, etc.

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  7. La probabilidad de que p^2 sea igual o mayor que 4*q en el rango de valores -1 +1 es la relación de áreas entre el segmento de parábola p^2-4*x y el área del rectángulo delimitados por las ordenadas 0 y 1 y las abscisas -1 y 1, es decir 2/3.

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  8. Informatico

    Solo he marcado que el valor está acotado entre los dos, dado que sqrt(2) cumple y 2 ya no cumple

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  9. Para Ignacio:

    ¿Con p y q enteros? Si es así es una pregunta sencilla, la probabilidad es 2/3. Pero si cogemos p y q reales no es cierto, la probabilidad es algo más baja…

    Haciendo un análisis por casos, me da como solución 1/2+1/2*1/4*1/2=0.5625 no sé si es correcto.

    Generando con el ordenador 2 números aleatorios p y q entre [-1,1] 10 millones de veces y mirando cuántas se cumple que p²-4q>=0 da como solución 0.5415338

    Por ahí debe andar esa probabilidad.

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  10. El valor experimental de Informático tiene un error de poco mas de 10^(-4) …, que debe ser más o menos lo esperado para 10 milones de pruebas.

    JJGJJG, el área entre la parábola 4q = p^2 y el eje p es (1/3)*2*1/4 = 1/6. A esto hay que añadirle los puntos con q < 0 y -1 <= p <= 1, cuya área es 2. En total, 13/6. Dividiendo por el área del cuadrado muestral, [-1, 1]*[-1, 1], que es 4, nos queda la probabilidad de:

    13/24 = 0.541666666….

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  11. Tienes razón, Ignacio. Yo tenía un error al dibujar la figura.

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  12. Correcto, para 100 millones de pruebas da una probabilidad de 0.54165604 que tiene un error de algo más que 10⁻⁵ lo cual ya está bien. Por cierto, muy original este problema de las probabilidades, casi es más interesante que el inicial.

    Es curioso que para p y q enteros la probabilidad de JJGJJG sea correcta.

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  13. Que pasaria con el problema de las probabilidades si:

     x^{2} + px + q = 0 y p, q \in [-a, a] ; a \in \mathbb{N}

    Haciendo una copia mecanica del razonamiento de Ignacio Larrosa Cañestro, me sale

    el área entre la parábola 4q = p^2 el eje p y p=-a y p=a

      A_{parabola} = 2 \cdot \int_{x=0}^{x=a} \int_{y=0}^{y=\frac{x^{2}}{4}} dy dx = \frac{a^{3}}{6}

    A esto hay que añadirle los puntos con q < 0 y -a \leq p \leq a cuya área es  2a^{2} .

    En total, \frac{a^{2}(a+12)}{6}.

    Dividiendo por el área del cuadrado muestral, [-a, a]*[-a, a], que es 4a^{2}, nos queda la probabilidad de:

    \frac{a^{2}(a+12)}{6} \cdot \frac{1}{4a^{2}} = \frac{(a+12)}{24}

    "

    Claro, me da que hay que razonarlo un poco mas por eso de  x=\frac{a}{2} y a deberia ser par para x entero …

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  14. Cristhian: El resultado es en general incorrecto, puesto que para a > 12 la probabilidad sería mayor que uno …

    El problemo es que para a > 4, la parábola q = p^2/4 no corta a los lados verticales del cuadrado [-a, a]*[-a, a], sino al lado superior. La fórmula solo es válida para 0 <= a 4, la parábola corta al lado superior en los puntos (-2rq(a), a) y (2rq(a), a).

    Entonces, el área favorable es 2(a – 2rq(a))a + (1/3)(4rq(a)a) + 2a^2, y el área muestral 4a^2, quedando una probabilidad de:

    (3rq(a) – 2)/(3rq(a)), a > 4

    (a + 12)/24, a <= 4

    Para a = 4, ambas fórmulas, lógicamente, dan el mismo resultado: 2/3.

    Cuando a tiende a +inf, el límite es 1. Es decir, que si los coeficientes de la ecuación se distribuyen con probabilidad uniforme en un amplio rango, lo "exótico" sería que tuviese raíces complejas. Pero una distribución uniforme en un intervalo muy amplio no parece muy razonable en casi ningún contexto.

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  15. No es necesaria la doble integral, basta considerar la función q(p) = (p^2)/4 que son los valores que tiene que tomar q dado un cierto p (este detalle es sutil -y hay que entenderlo bien- pero importante) para que el discriminante sea menor y hallar la integral definida entre -a y a de dicha función.

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  16. En realidad no es necesaria ninguna integral: ya desde Arquímedes sabemos que el área del segmento parabólico es 2/3 de la del paralelogramo en que esta inscrito (dos de cuyos lados son la cuerda y la tangente paralela a ella, y los otros dos son paralelos al eje por los extremos de la cuerda). Lo que si es fundamental es tener en cuenta si es a mayor o menor que 4.

    Por cierto, aprovecho para indicar que en mi anterior comentario utilice rq(x) para expresar la raíz cuadrada de x (el LaTeX, yo y las prisas solo somos compatibles dos a dos, pero no los tres simultáneamente …).

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  17. Jejeje si, la integral no es necesaria … pero se ve bien :D, Gracias Ignacio y Maelstrom por la ayuda, se agradece 🙂

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  18. Para el rango [0,0) la probabilidad de tener raíces reales será 1, por tanto:

    1, a=0
    (a + 12) / 24, a —>(0,4]
    (3 sqrt(a) – 2) / (3 sqrt(a)), a > 4

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  19. Hola a todos. A ver qué os parece mi idea, yo sugiero utilizar, lo que yo conozco por el nombre de, PRINCIPIO DE LOS SUPREMOS ITERADOS, con ello obtengo que una raíz ha de estar en el intervalo [\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}] y la otra ha de estar en el intervalo [\frac{-1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}] .
    Esto es más sencillo que utilizar los multiplicadores de Lagrange, además de que es un concepto más simple. 😀

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  20. Si explicaras el tal principio sería de ayuda Daniel-san, 🙂

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  21. De acuerdo Maelstrom.

    Principio supremos iterados:
    Sean X e Y dos conjuntos no vacíos y H : X times Y rightarrow mathbb{R} acotada superiormente.
    F : X rightarrow mathbb{R} quad G : Y rightarrow mathbb{R}

    Dadas por: F(x) = sup{H(x, y) : y in Y} quad G(y) = sup{H(x, y) : x in X} . Entonces se cumple:

    sup{H(x, y) : x in X, y in Y} = sup{F(x) : x in X} = sup{G(y) : y in Y}
    o de forma más compacta:
    sup_{x, y} H(x, y) = sup_{x} sup_{y} H(x, y) = sup_{y} sup_{x} H(x, y)

    Lo que quiere decir es que el supremo de una función de varias variables se puede reducir a calcular supremos de funciones de una sola variable. Por supuesto el mismo resultado se mantiene para ínfimos.

    En este problema particular yo lo que hago es definir X = [-1, 1], Y = [-1, frac{1}{4}] (ya que “q” en realidad no puede alcanzar valores superiores a 1/4) y H(p, q) = frac{-p-sqrt{p^{2}-4q}}{2} y aplicar el principio de supremos iterados, ya que H es continua y definida sobre un compacto conexo de mathbb{R}^{2} y por tanto la imagen ha de ser un compacto conexo de mathbb{R}, es decir, un intervalo cerrado y acotado. Lo que hago en realidad es determinar el supremo y el ínfimo de dichos intervalos. Luego hago lo mismo pero con H(p, q) = frac{-p+sqrt{p^{2}-4q}}{2}

    La justificación que yo he hecho es un poco bestia, hablando de compacidad y conexión, pero asegurar que la imagen de H es un intervalo cerrado y acotado no debe representar ningún problema para cualquiera que haya tocado algo de calculo diferencial en diversas variables, ya que el dominio es un rectángulo. Espero haberme explicado bien.

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  22. De acuerdo Maelstrom.

    Principio supremos iterados:
    Sean X e Y dos conjuntos no vacíos y H : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} acotada superiormente.
    F : X \rightarrow \mathbb{R} \quad G : Y \rightarrow \mathbb{R}

    Dadas por: F(x) = \sup\{H(x, y) : y \in Y\} \quad G(y) = \sup\{H(x, y) : x \in X\} . Entonces se cumple:

    \sup\{H(x, y) : x \in X, y \in Y\} = \sup\{F(x) : x \in X\} = \sup\{G(y) : y \in Y\}
    o de forma más compacta:
    \sup_{x, y} H(x, y) = \sup_{x} \sup_{y} H(x, y) = \sup_{y} \sup_{x} H(x, y)

    Lo que quiere decir es que el supremo de una función de varias variables se puede reducir a calcular supremos de funciones de una sola variable. Por supuesto el mismo resultado se mantiene para ÍNFIMOS.

    En este problema particular yo lo que hago es definir X = [-1, 1], Y = [-1, \frac{1}{4}] (ya que “q” en realidad no puede alcanzar valores superiores a 1/4) y H(p, q) = \frac{-p-\sqrt{p^{2}-4q}}{2} y aplicar el principio de supremos iterados, ya que H es continua y definida sobre un compacto conexo de \mathbb{R}^{2} y por tanto la imagen ha de ser un compacto conexo de \mathbb{R}, es decir, un intervalo cerrado y acotado. Lo que hago en realidad es determinar el supremo y el ínfimo de dichos intervalos. Luego hago lo mismo pero con H(p, q) = \frac{-p+\sqrt{p^{2}-4q}}{2}

    La justificación que yo he hecho es un poco bestia, hablando de compacidad y conexión, pero asegurar que la imagen de H es un intervalo cerrado y acotado no debe representar ningún problema para cualquiera que haya tocado algo de calculo diferencial en diversas variables, ya que el dominio es un rectángulo. Espero haberme explicado bien.

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  23. el valor de las raices es algo absurdo q no tiene q llevarse en el cole okis x q me vale y me llegue ese tema ggggggggggggggggg……xau

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