Sobre los lados de un tetraedro

Vamos con un nuevo problema para este verano. En este caso, la cosa va de tetraedros.

El enunciado es el siguiente:

Demuestra que todo tetraedro posee un vértice tal que las tres aristas que se encuentran en dicho vértice tienen las longitudes de los lados de un triángulo.

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comments

  1. Por reducción al absurdo. Supongamos que en ningun vértice se cumple la condición del enunciado. Para que tres segmentos no formen triángulo, el mayor debe superar la suma de los otros.
    Llamemos AB a la arista mas larga del tetraedro. Como las aristas que parten de A no forman triángulo:
    AB mayor o igual AC+AD
    Lo mismo con B:
    AB mayor o igual BC+BD
    Por tanto
    2AB mayor o igual (AC+AD)+(BC+BD)
    Reordenando:
    2AB mayor o igual (AC+CB)+(AD+DB) (1)
    Ahora bien, en triángulo ABC debe cumplirse
    AB menor AC+CB
    De igual modo
    AB menor AD+DB
    Por tanto
    2AB menor ( AC+CB)+(AD+DB) (2)
    (1) y (2) son contradictorios, luego se cumple la condición del enunciado.

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  2. Un tetraedro puede ser considerado como una pirámide de base triangular. En cuanto pirámide sus caras son triángulos. Por lo tanto tanto la base como las caras son triángulos, de manera que tal que los lados de dichas caras son lados de triángulos y estos lados son las aristas que concurren a los vértices del tetraedro.

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    • Deberías releer el enunciado. Está claro que las caras del tetraedro son triángulos, pero lo que dice el enunciado es que hay que considerar en cada vértice las tres aristas que concurren en él. Con esas tres aristas, dependiendo de su longitud, podríamos formar o no un triángulo. Lo que dice el enunciado es que en al menos uno de los vértices las tres aristas podrían -aparte- formar los lados de un triángulo (que no tendría nada que ver con los que forman las caras del tetraedro)

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  3. {1 \over n} = {1 \over A} + {1 \over 6}
    Pensé que está fórmula funcionaría, pero solo es válida para los poliedros regulares.

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