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Teoría de números elemental: Aritmética modular

Aritmética modular

Con las congruencias podemos establecer un conjunto de operaciones aritméticas, como:

Siendo a, b, c, d ∈ Z y m ∈ N, tales que a ≡ b (mod (m)) y c ≡ d (mod (m)). Entonces,

a + c ≡ b + d (mod (m))
a · c ≡ b · c (mod (m))

(Recordemos que el signo ≡ significa “congruente con” y no es lo mismo que el signo = que significa “igual a”)

A partir de esto, podemos definir las propiedades aritméticas para las sumas de congruencias:

También podemos definir las propiedades aritméticas para el producto de congruencias:

Además de todas estas propiedades también se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) (mod (m)) = (a · b) + (a · c) (mod (m))

(Más información en la Wikipedia [1])

Para acabar, os voy a dar unos ejemplos de usos de las congruencias: