Términos positivos de la sucesión

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sea la sucesión definida por recurrencia

a_{n+1}=2a_n-n^2, n\geq 0
con a_0=a.

Indicar todos los números reales a para los que se cumple que a_n>0, \forall n\geq 0.

A ver si la solución de este problema sale antes que la del problema de la semana pasada.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Este es muy fácil. De hecho se puede encontrar una expresión explícita para los términos de la sucesión como función de n y a.

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  2. El término general puede escribirse como

    a_{n}=2^{n}a-\sum_{k=0}^{n-1}2^{n-1-k}k^{2}=2n+n^{2}+3+(a-3)2^{n}

    así, para a\succeq 3\vspace{1pt} todos los elementos de la sucesión son positivos.

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  3. Kil, “a mano”, como la expresión es sencilla:

    El doble de 2a_{n} pasa a ser 2^{2}a_{n-1} y así hasta llegar a a_{0} por lo que esa parte queda 2^{n}a_{0}.

    Con la otra parte es más directo, pues ya nos dicen que a cada paso restamos el cuadrado del índice i-ésimo multiplicado tantas veces hasta llegar a n (vaya, mucho royo para indicar el sumatorio).

    En general, la ecuación recurrente indicada es no homogénea (por el término -n^{2}) y no hay un método general para resolverlas (quizás para una familia que incluya a ésta sí…).

    Más info aquí

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  4. Buena pregunta, kil. Conjeturo que lo ha hecho ajustando los coeficientes del polinomio de la solución particular de la ecuación de recurrencia.

    La ecuación de recurrencia es lineal inhomogénea. La parte lineal homogénea es {a_{n + 1}} - 2{a_n} = 0 Para una tal fórmula, el término general es una combinación lineal de exponenciales con las bases las raíces de un cierto polinonio asociado, que en este caso con x - 2x, se reducen a una x=2. De este modo {a_n} = A{2^n}

    El término general para la ecuación inhomogénea pasa por encontrar una solución particular de esta (a sumar a una solución de la ecuación homogénea), que en el presente caso, un polinomio, es (normalmente) otro polinomio de igual grado, o sea, P\left( x \right) = b{x^2} + cx + d

    Para encontrar los coeficientes del polinomio que constituye la solución particular hacemos P\left( {n + 1} \right) - 2P\left( n \right) =  - {n^2}. Ya que este debe cumplir la fórmula de recurrencia. O sea

    b{\left( {n + 1} \right)^2} + c\left( {n + 1} \right) + d - 2b{n^2} - 2cn - d =  - {n^2}

    Lo que nos lleva a un sistema de ecuaciones

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - b =  - 1}  \\  {2b - c = 0}  \\  {b + c - d = 0}  \\ \end{array}} \right.

    Que una única tiene, que es b = 1, c = 2 y d = 3

    La solución particular es, por tanto {n^2} + 2n + 3

    La solución es la suma de la solución particular de la inhomogénea y una solución de la homogénea. Eso deja un parámetro que hay que ajustar (A en la solución de la homogénea) con el primer término de la sucesión

    {a_1} = 2a

    2a = {1^2} + 2\cdot1 + 3 + A{2^1}

    Que determina que A=a-3

    Así

    {a_n} = {n^2} + 2n + 3 + \left( {a - 3} \right){2^n}

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  5. Muy buena, josejuan. Quería comentar simplemente que la solución particular también puede obtenerse “al estilo Heaviside”, invirtiendo operadores en diferencias:

    ya que n^2=u_n-(u_{n+1}-u_n)=(I-\Delta)u_n (siendo \Delta el operador diferencia progresiva), sigue que u_2=(I-\Delta)^{-1}n^2, y usando el desarrollo de Neumann para (I-\Delta)^{-1}, se obtiene que

    n^2=(I+\Delta+\Delta^2+\Delta^3+\ldots)n^2=n^2+(2n+1)+2=n^2+2n+3.

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  6. Bueno, la solución particular no es de el, es la “concreta” del caso. Lo de que la solución particular es un polinomio de igual grado (¡casi siempre!) que la parte inhomogénea no lo he encontrado justificado en ningún sitio. Tal vez lo que dices sirva para eso, tal vez se pueda encontrar siempre un operador en diferencias o combinaciones de ellos y eso sustente la afirmación sobre la forma de la solución particular.

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