Un problema sobre esferas tangentes

Os dejo hoy el problema de esta semana. Ahí va:

Tenemos tres esferas mutuamente tangentes de radio 1 situadas sobre un plano horizontal, y una esfera de radio 2 apoyada en ellas. ¿Cuál es la distancia desde el plano horizontal hasta la parte de arriba de esta esfera mayor?

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. En el tetraedro formado por los centros la base tiene 2 de lado, luego el su baricentro dista m = 2raíz(3)/3 de cada vértve de la base.
    Las aristas laterales miden a = 3, luego la altura del tetraedro mide raíz(a^2-m^2) = raíz(9 – 4/3) = raíz(23/3). La altura pedida será 3 + raíz(23/3)

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  2. Me precipité un “pelín” en mi solución. No es correcta. No quería poner la solución para promover un poco el debate y no desvelar el camino en el primer comentario. Ahora veo que estaba equivocado y pienso que la solución planteada por JJGJJG parece correcta.

    Un saludo.

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  3. EL RESULTADO ES 4 + RAIZ DE 3

    YA QUE EL ARREGLO GEOMETRICO CONSIDERANDO LOS RADIOS QUEDARIA PRIMERO:
    COMO UN CUADRADO DE BASE 2. (CONSIDERANDO LAS ESFERAS DE RADIO 1)
    SOBRE ESTE CUADRADO SE UBICARIA UN TRIANGULO EQUILATERO DE LADO 2 (CONSIDERANDO EL RADIO DE LA ESFERA MAYOR) Y POR ULTIMO UNA ALTURA IGUAL A 2, QUE ES EL RADIO DE LA ESFERA.
    SOLO RESTA CALCULAR LA ALTURA DEL TRIANGULO CUYA HIPOTENUSA ES 2 ESTO ES= RAIZ DE 3 Y SUMARLA AL CUADRADO Y A LA ALTURA 2 DE LA ESFERA MAYOR.
    DISCULPAS POR LA EXTENCION, ES LA PRIMERA VEZ QUE INTENTO PUBRLICAR EN SU PAGINA. GRACIAS!!

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  4. Yo he tratado de calcular el lado del triangulo de contacto entre las cuatro esferas en funcion de la interseccion de las alturas de las esferas y obtuve la siguiente formula en funcion del angulo que une el centro de una esfera pequeña y el centro de la grande con la horizontal:
    sqrt(3) Cos(x) = 2 -sqrt(3) Cos(x)
    y me da una altura h = 5’44948974.
    Como no coincide con las expuestas y estoy poco entrenado seguro que meti la pata en algun sitio.
    De cualquier forma , he pasado un rato divertido.
    Saludos,

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  5. El resultado es 3+srqt(23/3). He decidido sacarle un poco más de jugo al problema, y el resultado es el siguiente para un radio r de las bolas inferiores y un radio R de la bola superior: H = R+r+sqrt[((R+r)^2)-(4/3)*r^2]

    Ha sido entretenido, pero a uno no se le caen los anillos a la hora de hacer cuentas jajaja…

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  6. Ag, llego tarde. A mí también me da 3+sqrt(23/3). Me ha gustado este problema, es simple pero obliga a visualizar la escena y a hacer más deducciones geométricas que algebraicas.

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  7. Consideramos primero el triángulo equilátero que tiene por vértices los centros de las tres esferas apoyadas en el suelo. Queremos conocer en primer lugar su apotema ab (apotema de la base). El cálculo es relativamente sencillo. Se obtiene ab = sqrt(3)/6.

    Sobre esa base definamos la pirámide que tiene por vértice superior el centro de la esfera de radio 2 que se apoya sobre las del suelo. Es claro que las aristas miden 3 pues es la suma de los radios de una esfera pequeña y la grande. Las caras laterales son triángulos isósceles de base 2 y lados 3. Con ello es fácil calcular su altura. El resultado es la apotema de la pirámide ap = 2sqrt(2).

    Por último vamos a considerar el triángulo, interior a la pirámide, formado por las apotemas antes definidas y la altura de la pirámide. Como es rectángulo es trivial obtener dicha altura. El resultado es h = 2sqrt(2).

    Ahora, para calcular la altura sobre el suelo del punto más alto de la esfera mayor habrá que sumar a h el radio de las esferas pequeñas (para llegar hasta la base de la pirámide) y el de la grande, para llegar desde su centro al punto más alto.

    Así, la solución es 3 + 2sqrt(2)

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  8. Roberto, la apotema del triángulo equilátero formado por los centros es \frac{\sqrt{3}}{3}, teniendo en cuenta que su lado es igual a 2.
    La respuesta correcta es la que ya se dio varias veces:
    3 + \frac{\sqrt{69}}{3}

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  9. También llegué a 3+\sqrt{\frac{23}{3}}

    Para resolverlo alcanza con usar el teorema de pitágoras y algún truquillo; el desafío es imaginar la situación.

    Una ayuda: no intentar con las esferas completas… imaginar sólo los radios convenientes (aquellos que van desde algún centro a algún punto de tangencia). Así solo hay que dibujar poliedros.

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  10. Ahora si las tres esferas (de radio r) no son mutuamente tangentes pero son tangentes con respecto a la esfera (de radio R) apoyada sobre ellas y las tres esferas se encuentran en posiciones fijas formando un \triangle equilátero. Entonces existe una distancia 2 \cdot d entre las tres esferas que sirven de base. Luego la distancia desde el plano horizontal hasta la parte de arriba de la esfera apoyada es:

      y=R+r+\sqrt{(R+r)^{2}-\frac{4}{3}(d+r)^{2}}

      y=3+\sqrt{9-\frac{4}{3}(d+1)^{2}}

    Y con d en el rango 0\leq d \leq \frac{3}{2}\sqrt{3} - 1

    Hay un máximo en: d=0 ; y=3+\sqrt{\frac{23}{3}}=5,76887
    Y un mínimo en: d=\frac{3}{2}\sqrt{3} - 1 = 1,59808 ; y=3???!!!

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  11. Luego si en lugar de que sean 3 esferas (de radio r) son n esferas que sostienen a otra esfera (de radio R) y las n esferas están ubicadas en las esquinas de un polígono regular de n lados, ademas existe una distancia 2d entre esferas adyacentes

    En el poligono regular de n lados formado por los centros de las n esferas, se ubican tres puntos (dos vértices adyacentes y el centro geométrico del polígono regular) para formar un triangulo isósceles.

    Aplicando la ley de senos se tiene:

      \frac{ 2(r+d) }{ \sin (\frac{2\pi }{n}) } = \frac{  \mbox{distancia vertice - centro geometrico del poligono }  }{  \sin ( \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \pi )  }

    Luego la distancia desde el plano horizontal hasta la parte de arriba de la esfera apoyada es:

      y = R + r +\sqrt{ (R+r)^{2} - \left (   \frac{  2\cdot  \sin ( \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \pi ) )  }{  \sin (\frac{2\pi }{n})  } \right )^{2}  (d+r)^{2}  }

    Y con d en el rango  0 \leq d \leq \frac{R+r}  {  \frac{  2\cdot  \sin ( \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \pi ) )  }{  \sin (\frac{2\pi }{n})  }  }  -r

    con n=3

      \left (  \frac{  2\cdot  \sin ( \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{2}{3} \right ) \pi ) )  }{  \sin (\frac{2\pi }{3})  }  \right ) ^{2}  =  \left (  \frac{  2\cdot  \sin ( \frac{\pi}{6} )  }{  \sin (\frac{2\pi }{3})  }  \right ) ^{2}  =  \left (  \frac{  2\cdot \frac{1}{2}  }{  \frac{\sqrt{3}}{2}  }  \right ) ^{2}  =  \left (  \frac{2\cdot \sqrt{3}}{3}  \right ) ^{2}  =  \frac{4}{3}

    Entonces

      y = R + r + \sqrt{ (R + r)^{2} - \frac{4}{3} (d+r)^{2} }

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  12. Ahora surge una pregunta:
    Cual es el máxima cantidad de esferas (con una distancia de 0 entre esferas adyacentes) que se pueden colocar de base de manera que la esfera superior que se apoya no caiga? tomando en cuenta que el plano horizontal donde se apoyan las n esferas es referencial con respecto de la esfera apoyada osea esta puede atravesarlo.

    Las n esferas de la base ya no sostendrán a la esfera superior a partir del momento en que la distancia desde el centro de cada una de las n esferas hasta el centro geométrico del polígono regular sea R+r (ademas el centro de la esfera apoyada coincide con el centro geométrico del polígono regular)

      \mbox{distancia(vertice, centro geometrico del poligono)} - r = R

      \mbox{distancia(vertice, centro geometrico del poligono)} - r = r \cdot  \frac{  2\cdot  \sin ( \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \pi ) )  }{  \sin (\frac{2\pi }{n})  }  -r

      =  r \cdot  \frac{  2\cdot  \sin ( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n} )  }{  \sin ( 2 \cdot \frac{\pi }{n})  }  -r  =  r \cdot  \frac{  2\cdot  \cos ( \frac{\pi}{n} )  }{  2 \cdot \sin ( \frac{\pi }{n}) \cdot \cos ( \frac{\pi}{n} )  }  -r

      =  r \cdot  \frac{  1  }{  \sin ( \frac{\pi }{n}) )  }  -r  =  \left (  \frac{  1  }{  \sin ( \frac{\pi }{n}) )  }  -1  \right ) r = R

    Entonces

      n = \frac{\pi}{\arcsin (\frac{r}{R+r})}

    con r=1 y  R=2

      n = \frac{\pi}{\arcsin (\frac{1}{3})} = 9,24

    Luego, con n = 9

      \mbox{distancia(vertice, centro geometrico del poligono)} - 1 =  \frac{  1  }{  \sin (\frac{\pi }{ 9 })  }  -1

      =  2,92-1  =  1,92

    Y como 1,92 es menor que  2 la esfera superior aun se sostiene

    Luego, con n = 10

      \mbox{distancia(vertice, centro geometrico del poligono)} - 1 =  \frac{  1  }{  \sin (\frac{\pi }{ 10})  }  -1

      =  3,24-1  =  2,24

    Y como 2,24>2 la esfera superior ya no se se sostiene

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