Una magnífica aproximación pandigital del número e

Hace un par de días publicaba un tuit en el que mostraba una magnífica aproximación pandigital del número e:

Hoy voy a explicar un poquito el porqué de esta buenísima aproximación.

Os dejo también la imagen que aparece en el tuit:

Para comenzar, podríamos intentar calcular ese número directamente para ver cómo de cerca está del número e. Yo he intentado hacerlo con Mathematica, pero las potencias tan grandes que aparecen en esa expresión hacen que se salga de la capacidad de cálculo del programa.

Acudamos a nuestro amigo WolframAlpha. Aquí sí obtenemos un resultado:

Veamos lo que dice el propio WolframAlpha sobre el número e:

Aunque es complicado de ver (a partir de la segunda línea de decimales no salen el mismo número de decimales en ambas imágenes), podéis comprobar que coinciden en todos esos decimales. Pero el tuit dice que coincide en más de 10^{25} decimales, que, evidentemente, son muchísimos más de los que aparecen aquí. ¿Cómo podríamos ver que esto es cierto?

Bien, antes de nada vamos a explicar por qué este número es tan cercano al número e. Si nos fijamos un poco, podemos ver que:

  • 3^{2^{85}}=3^{2 \cdot 2^{84}}=(3^2)^{2^{84}}=9^{2^{84}}
  • 9^{-4^{7 \cdot 6}}=\cfrac{1}{9^{4^{7 \cdot 6}}}=\cfrac{1}{9^{4^{42}}}=\cfrac{1}{9^{(2^2)^{42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{2 \cdot 42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{84}}}

Vaya, uno es el inverso del otro. Coloquemos esto en la expresión de la aproximación:

\left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )^{9^{2^{84}}}

¿Os suena de algo? Seguro que sí: es (1+\frac{1}{n})^n para n=9^{2^{84}}, y ya sabemos que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( 1+\cfrac{1}{n} \right )^n=e}

Teniendo en cuenta que n=9^{2^{84}} es un número enoooooorme, es normal que esta aproximación se acerque tanto al valor del número e.

¿Pero tanto como 10^{25} decimales? Veamos. Si este número está muy cerca del número e, entonces su logaritmo neperiano estará muy cerca de 1. Aplicando logaritmo neperiano a ambos lados (y usando una de las propiedades de los logaritmos) nos quedaría lo siguiente:

9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right ) \approx 1

Si en el término de la izquierda usamos el desarrollo en serie de Taylor de orden 1 de ln(1+x) en torno al cero, obtenemos (después de algunos cálculos) lo siguiente:

9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )=9^{2^{84}} \cdot \left ( \cfrac{1}{9^{2^{84}}}-\cfrac{1}{2c^2} \right )

Este último número, \frac{1}{2c^2}, es el error cometido, y es un número menor que \frac{1}{9^{2^{84}}}. Si calculamos el logaritmo decimal de este número, obtenemos lo siguiente (también he usado WolframAlpha):

El resultado, -1'8 \ldots \cdot 10^{25} nos indica que dicho número comienza con, como mínimo, 10^{25} ceros en su expresión decimal. Esto significa que el error, \frac{1}{2c^2}, tendrá al menos esos ceros, y todo esto nos lleva a que la diferencia entre nuestro número y el número e será tan pequeña como este error. O sea que sí, sí tiene sentido que esta magnífica aproximación coincida con el número e en, al menos, los primeros 10^{25} decimales.


Fuente: Amazing approximation to e.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. no he podido replicar en Wolfrang Alpha, colocando la expresión balanceada en paréntesis , me podría decir como lo logra? Wolfrang da Overflow ! gracias!

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  2. Carlos, marca con el ratón esta expresión:

    (1+9^(-4^(7*6)))^(3^(2^(85)))

    Con el botón de la derecha del ratón haz “Copiar”
    Y en la ventana de WolframAlpha, otra vez con el botón de la derecha del ratón, haz “Pegar como texto sin formato”
    Haz “Enter” ya está.
    Saludos.

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    • ¿Podríamos decir que e es el limite de uno elevado al infinito?

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      • e es el límite de una función que tiende a uno de una forma particular, elevado a otra función que tiende a infinito de una forma también particular.

        Si las funciones tienden de forma arbitraria a uno e infinito respectivamente, el límite no se puede determinar, hay que estudiar cada caso concreto.

        Hablando mal (muy mal), uno elevado a infinito es indeterminado.

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    • el último párrafo dice: “sí tiene sentido que esta magnífica aproximación coincida con el número e en, al menos, los primeros 10^{25} decimales”, si esto se pudiera probar sería fantástico, el número 10^25 es un cuatrillón o casi, interpreto por lo que dice que la aproximación a “e” coincide al menos en el primer cuatrillón de cifras , no debe haber software en el mundo (aún) que pueda demostrar esto no? claro si decimos un cuatrillón al menos queda abierto para decir porque no 10, 100 cuatrillones? ha sido un buen intento! Gracias

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      • Hay software capaz de calcular esto y más, el mismo Wolfram Alpha puede (igual no en la versión gratuita, pero sí en la versión de pago). El cálculo no sale con 10^25 decimales exactos porque la fórmula aproximada usa un 85 mientras que la fórmula que el autor usa para calcular los decimales se pone un 84.

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        • No, no lo hay. No hay software ni hardware capaz de verificar 10^25 decimales de e en un tiempo razonable.

          A duras penas hay hardware en el mundo suficiente para guardar semejante monstruo (más de 4 mil millones de terabytes, así a ojo).

          Ni falta que hace.

          Para eso están las matemáticas.

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    • Excepto que no explica por qué si la aproximación es correcta a 10^25 decimales, Wolfram Alpha dice que es correcta sólo a unas pocas decenas.

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  3. La aproximación es correcta en 18457734525360901453873570 decimales.

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    • No, no lo es. Es correcta en unas decenas de decimales, como el autor comprueba con Wolfram Alpha. La aproximación usa un 85 mientras que el cálculo de los decimales exactos usa un 84.

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  4. Sin embargo, el cálculo de la fórmula no coincide con n=9^(2^(84)) porque el término fuera del exponente es 85, no 84. Por eso realmente la aproximación no es a 10^25 decimales, sino a unas decenas.

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    • No insistas Pablo, porque 9^(2^84) es lo mismo que 3^(2^85)
      que es la primera línea del razonamiento expuesto

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      • Primero de todo, Diamond, ya que soy seguidor habitual de Gaussianos desde hace años, aunque casi nunca he comentado nada, decirte que no dejas de sorprenderme. Pero me sorprende también tu silencio desde el día en que publicaste esta entrada, ante las discrepancias entre los comentarios. No me interesan las comprobaciones por ordenador. Como dice alguien por ahí, para eso están las matemáticas. Y desde luego que, realmente, ese comentario de “Por eso realmente la aproximación no es a 10^25 decimales, sino a unas decenas” no me parece para nada digna de tener en cuenta (disculpa, Pablo). El problema me surge al llegar a “El resultado, -1’8 …. x 10^{25} nos indica que dicho número comienza con, como mínimo, 10^{25} ceros en su expresión decimal”. Ahí ya me pierdo, porque eso sería un menos uno seguido de otras 25 cifras enteras. Pero será que hoy estoy especialmente torpe. Te agradecería alguna aclaración. Un saludo, y sigue sorprendiéndonos.

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        • Ese “menos 1 seguido de 25 cifras ” es el Logaritmo Decimal del error.
          Si sigues la lectura verás que es cierto lo que digo…

          Si el Logaritmo Decimal es eso… entonces el error es menos que 10 elevado a menos 18000000000000000000000000
          Pero 10 elevado a “menos” algo es lo mismo que 1/”10 elevado a algo”
          y ese algo es el número de decimales, que son 10^25 (y no 25)

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