Vamos con el problema semanal. Ahí va:
Sean
los lados de un triángulo de área
. Probar que:
Que se os dé bien.
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Supongo que usando la fórmula
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n
y operando y simplificando, se podrá llegar, pero no lo he probado.
Por ahora tengo que
Me da pereza ponerme, pero parece claro que en un triángulo equilátero se cumpliría que una parte es igual a la otra.
para un triangulo rectangulo tambien es facil de probar pero para el caso general se eterniza uno…
Alguna demostracion ingeniosa?
Yo llegue a la siguiente desigualdad ocupando transformación de Ravi, desigualdad entre la media geométrica y aritmética y escribiendo el inradio en términos del semiperímetro
Si a=x+y, b=y+z, c=z+x
El comentario anterior no quedó bien publicado, pero ocupando eso que puse llegué a que
Una disculpa por mi uso del LaTeX, pero aun no sé manejarlo bien
es mas sencillo esto…
((a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2)^(1/2)<= ((a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2)
<= ((b+c)/b)^2+((b+a)/a)^2+((a+c)/c)^2
<=(b/(b+c))^2+(a/(b+a))^2+(c/(a+c))^2
<=b^2/4A+c^2/4A+a^2/4A
<=(a^2+b^2+c^2)/4A
y ya…. es facil
yo tambn pense por la formula de Heron pero no….
lo use para comprovar la desigualdad 4A<=el cuadrado de la suma de dos lados cualquiera del triangulo
disculpa no saber usar LATEX (aprendere ;))
YA APRENDÍ jejejejeje
Rene: Dudo que (a+b)/a sea < ó = a/(a+b)
Saludos
Rene, el paso entre las lineas 3 y 4 no me parece correcto.
Por ejemplo en un triangulo equilatero tal que a=b=c=1 tu linea 3 da 2^2+2^2+2^2=12
mientras que tu linea 4 da 1/2^2+1/2^2+1/2^2=3/4 asi que claramente la linea 4 es menor
o igual que la linea 3, y no al reves…
rtomas, de acuerdo contigo, para equilátero sale igualdad, para rectángulo sale fácil, para el caso general no sé cómo. Ya nos dirán la solución.
mis disculpas el paso tres está de mas se puede llegar al paso 4 directamente. gracias por corregirme lo traspase mal del papel :s realmente se los agradezco… de los errores se aprende :9
no se, Rene, pero de 2 a 4 tampoco lo veo….
bueno rtomas , ya no diré que fue lo que hice porque el proceso ya está correcto, solo te daré una pista (un mago no revela todos sus secretos ;))
tenemos que a<=b+c despues sumo y resto de ambos lados y hago un truco con los semiperimetros y valido las desigualdades que establezco
Reitero que 0<=a<=b<=c. ya me dirán…
Rene: perdona no he tenido tiempo de terminar las comprobaciones de LaTeX, intento ahora
me juego las bolas que es por heron pero la verdad q se hace muy pero muy largo!!!
Sebas, hombre, esque Rene es un mago y puede hacer que 3/4>3
nunca he probado una desigualdad, puedo trabajar con ambos lados simultáneamente? puedo pasar términos de un lado de la desigualdad a otro? apenas estoy entrando a la uni 🙂
Buenos días. La propiedad se puede deducir teniendo en cuenta que si
son los ángulos interiores del triángulo entonces para cualesquiera números reales 
se cumple que
Desarrollando:
O bien, usando el teorema del seno:
siendo
el circunradio y 
los lados del triángulo.
Esta última desigualdad es bastante interesante de por sí, y en particular eligiendo
rtomas y sebas…. tienen razón, me equivoqué a la hora de sustraer b en el semiperimetro y eso desencadeno mi fatal error… realmente disculpa.
Gracias por la correccion
Voy por otro intento
Bueno terminé una demostración larguísima, me he equivocado infinidad de veces, los pasos son los siguientes.
Sustituir A en función de 1/2ab*sinC y los lados por el teorema de senos, despues de simplificar queda
1/2((SinA)^2+(SinB)^2+(SinC)^2)>=
sqrt((SinA)^4*(SinC)^2+(SinB)^4*(SinA)^2+(SinC)^4*(SinB)^2)
Sustuiendo los senos en función de la tangente, simplificando teniendo en cuenta que en todo triángulo la suma de tangentes es igual a su producto, despues de equivocarme como he dicho infinidad de veces y horas de ensuciar papel creo que llegué a demostrarlo
No se puede comparar con la de M, ni siquiera se me ocurre pasarla a limpio, si me atreviera a pasarla a LaTeX al final sería especialista en código LaTeX
Tengo una demostración que abarca todo tipo de triángulo. Mi conocimiento en Latex es aún muy rudimentario de modo que el documento está en Word y no sé como subirlo.
Yesid, si quieres me la puedes enviar al correo electrónico
gaussianos (at) gmail (dot) com
y cuando pueda le echo un vistazo.