Seguro que más de uno se ha asustado un poco al ver el título de esta entrada. Si la famosa conjetura de Goldbach es conocida por una carta que éste envió a Leonhard Euler, ¿será entonces que se ha encontrado una demostración de la misma y, por tanto, ha pasado a denominarse así? Tranquilos, no es así.
El título es el nombre que se le suele dar a otro resultado de Goldbach que no tiene nada que ver con su famosa conjetura, sino con potencias de números de enteros y sus inversos.
Aunque también es conocido como teorema de Goldbach, la razón por la que se le suele llamar teorema de Goldbach-Euler es que fue el genio suizo quien lo dio a conocer en Variae observationes circa series infinitas, trabajo que os recomiendo que leáis por el gran interés de todo lo que contiene.
Bueno, al tema. El resultado del que hablamos hoy fue comunicado por Goldbach a Euler en una carta que, según parece, actualmente permanece perdida. En ella, Goldbach le comunicaba que había demostrado el siguiente resultado:
Consideremos la siguiente serie, infinitamente continuada:
\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\frac{1}{35}+\dots \]
cuyos denominadores, incrementados en 1, son todas las potencias de los enteros, ya sean cuadrados o de cualquier otro grado. Entonces, la suma de esta serie es 1.
No me digáis que no es un resultado bastante inesperado: la suma de esas fracciones, en cuyos denominadores restamos 1 a todas las potencias posibles de enteros, da exactamente 1. A mí se me abrieron los ojos como platos la primera vez que la vi.
Es necesario hacer un par de precisiones antes de seguir. La primera, es que, evidentemente, no se puede tomar la potencia de base 1, ya que el denominador de la fracción sería cero. Y la segunda, que debemos eliminar las fracciones repetidas, considerándolas una única vez (por ejemplo, \( 2^4 \) y \( 4^2 \) darían lugar a la misma fracción \( 1/16 \), que solamente aparecerá una vez en la serie). Con esto, y escribiéndolo en notación moderna, la cosa quedaría así:
Hemos dicho que Goldbach había demostrado este resultado, y así se lo hizo saber a Euler en su comunicación. Reproduzco a continuación dicha demostración, en la que también dejaré anotaciones mías entre paréntesis para ayudar a que queden claras algunas partes:
Preciosa demostración, la verdad…pero incorrecta. Más bien, incorrecta según los estándares actuales, teniendo en cuenta el uso que en ella se hace de las series divergentes.
Porque, recordemos, la demostración comienza dando un «valor» a la serie armónica, que sabemos que es divergente, y en el transcurso de la misma se opera con dicho valor sumando y/o restando términos, lo que es un procedimiento habitual y correcto para series convergentes pero no está tan claro con las divergentes. De hecho, un argumento similar fue utilizado por Jakob Bernoulli en 1689 alcanzando una contradicción de la que se puede concluir que el método, en general, no es válido (ver The Bernoullis and the Harmonic Series, de William Dunham, para más información).
Bueno, ¿es entonces correcto el resultado obtenido por Goldbach o no lo es? Pues la realidad es que sí que es correcto, aunque la demostración flojee en lo relativo al rigor matemático. Se podría formalizar tomando sumas parciales y pasando al límite después, pero hay más formas de demostrarlo. Os recomiendo el trabajo On a Series of Goldbach and Euler, de Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader y Jaume Paradís, en el cual encontraréis mucha más información al respecto.
Otras fuentes y enlaces relacionados:
- Variae observationes circa series infinitas, en The Euler Archive.
- Teorema de Goldbach-Euler en la Wikipedia en español.
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