Aunque en internet se puede encontrar mucha información sobre este tema y en Gaussianos ha sido nombrado alguna vez, todavía no tenía artículo propio. Hoy es el día.
Introducción
Seguro que a muchos de vosotros os ha ocurrido que ha aparecido en vuestra cabeza alguna posible relación entre números naturales que no sabíais si era cierta o no, si había sido estudiada ya o era totalmente nueva. A veces esto ocurre porque nos paramos a pensar a partir de algún resultado obtenido o al desarrollo de algún problema que consultamos; otras la propiedad surge de pronto, sin previo aviso, sin motivo aparente.
Por desgracia la mayoría de las veces la relación entre números que se nos ocurre está estudiada ya, por lo que se sabe si es cierta o no. Pero hay ocasiones en las que no ocurre ninguna de estas dos cosas, es decir, hemos encontrado una relación entre números que no se ha estudiado con anterioridad, por lo que no se sabe nada sobre la certeza o falsedad de la misma.
Bajo mi punto de vista esa es la forma en la que surgen las conjeturas en matemáticas. Todas ellas son resultados que quien formula cree ciertos, aunque no tiene una demostración formal del mismo. Para algunas se desveló su resultado con cierta facilidad, otras exigieron más esfuerzo y en otros casos todavía no sabemos nada, ni hacia un lado ni hacia el otro. La conjetura de Goldbach es una de ellas.
La conjetura de Goldbach
El resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una carta (que podéis ver aquí) enviada a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Enunciado enormemente sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones (por ejemplo, el UTF), nos llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):
En esta página podemos obtener la representación de un número par como suma de dos números primos simplemente introduciendo el mismo (no he encontrado qué límite de cifras tiene el programa).
El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni refutar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración formal totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ningún contraejemplo (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).
En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que 
Y es poco probable por una razón muy sencilla: se cree firmemente que la conjetura es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello? Pues sí, uno muy simple: cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números. Por tanto mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos. No nos sirve de demostración, pero puede servirnos de idea para enfocar nuestros estudios sobre el tema.
Si hemos dicho que sería más acertado llamar conjetura fuerte a este resultado será por algo, ¿no? Pues sí. La razón es que hay otra conjetura de Goldbach, denominada débil, que dice lo siguiente:
Todo número impar mayor que
puede escribirse como suma de 3 números primos impares.
Esta conjetura tampoco está resuelta, pero se ha avanzado mucho en su demostración. En la actualidad (hasta donde sé), se ha conseguido demostrar que para todo número impar mayor que 
Para terminar os comento que para darle algo más de interés al tema se sabe que esta conjetura está relacionada en cierta forma tanto con la conjetura de los primos gemelos (aquí podéis consultar un artículo sobre el tema) y la hipótesis de Riemann. No podía ser de otra forma con un resultado como éste.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Para la Conjetura débil, según Terry Tao en su conferencia en Sevilla (2ª parte del resumen de su conferencia) en 1998, Saouter comprobó que también es cierto si
, con lo que nos quitamos unos cuantos primos a comprobar 😉
Hola Gausssianos, Esta es una de las hípótesis clasicas por demostrar. Efectivamente esta intimamente relacionada con los numeros primos. Lo de que sea improbable para números aún mayores no esta nada claro. Según probaron Hardy y Littlewood los numeros primos cambian su personalidad a distancias inimaginables para nuestra capacidad, el número de ellos esta siempre por debajo del logaritmo integral hasta donde se habia comprobado (y Gauss creía que sólo quedaba demostrarlo). Ellos probaron que el número de números primos (función pi) cruza esa función y la sobrepasa para un número al menos 10^10^512 (un número completamente fuera d enuestro… Lee más »
También me parece interesante la siguiente conjetura, relacionada con la de Goldbach: «Todo número mayor que 3 tiene al menos 2 primos equidistantes» Por ejemplo: 4 = (3+5)/2 5 = (3+7)/2 6 = (5+7)/2 7 = (3+11)/2 8 = (5+11)/2 9 = (7+11)/2 … Su representación es: . . . . . 3 4 5 . . . . 3 . 5 . 7 . . . . . 5 6 7 . . . . 3 . . . 7 . . . 11 . . . 5 . . 8 . . 11. . . . . .… Lee más »
Eso lo puedes encontrar en cualquier material serio que explique en qué consiste la Conjetura de Goldbach. Es una forma básica para ilustrarla. Por ejemplo tomamos el 22 y para explicar la conjetura se divide para 2 que da 11 y se arreglan los demás números de forma consecutiva: 11 + 11 Goldbach 12 + 10 13 + 9 14 + 8 15 + 7 16 + 6 17 + 5 Goldbach 18 + 4 19 + 3 Goldbach 20 + 2 21 + 1 Por eso son equidistantes a x/2 que es parte de la versión actual del enunciado… Lee más »
El termino directamente inplica que se ahce sin tramites intermedios , que no se descartan posibles sumas descsrtando posibles primos y luegi calculando por estadistica ya que esto es un paso intermedio , se descarta directamente de las posibles sumas d enumerosnprimos descartando las que nonlo son descartando 2 de cada X siendo X el numeronprimos , descartando el numeronprimo mas cercano oor debajo a la raiz del numero par y siempre empezando a descartar hasta que llega a si mismo , se descartan 2 tercios de las sumas y de lo que queda 2 septimos y de lo que… Lee más »
Eso que acabas de describir es el algoritmo de Eratótenes para ubicar los números primos en un rango dado sin más ni menos y lo que te queda es la cantidad de números primos hasta ese número par. Pero eso no significa que demuestre que la suma de dos de todos esos números primos resulte el número par. Tu famoso método directo fue descrito hace más de dos mil años y no sirve para demostrar la CG porque para demostrarla debes ubicar dos números primos que estén equidistantes a la mitad del número par para que al ser sumados resulten… Lee más »
Que no que no lo es ¿puedes leerlo antes de escribir? El de erastoteles es con ek 5 y con los posibkes numeros primos el mio es xon el 5 y con las posibkes sumas de numeros primos ¿entiendes la diferencia?
Y cómo sabes de antemano que tienes primos que sumados dan el número par? Cómo lo sabes si eso es precisamente lo que la CG pide demostrar? Cómo puedes proceder con tu cálculo sin demostrar primero que la CG es cierta? Cómo puedes con un simple cálculo acertarle a las sumas de impares con primos que no dan el número par? Cómo sabes que los impares que no son primos, que son más que los primos, no se emparejaron con todos los primos y no quedó ninguna suma que demuestre la CG? Y cómo haces para emparejar cuando a la… Lee más »
Le entendiste a Antonio?
acaso eres de aquellos de los que en un lugar publico y ruidoso, se escucha un inaudible aviso por altavoces, nadie entiende pero Granfernado sí ?
El aviso ya terminó.
Lo que comenta Omar-P me parece la misma conjetura fuerte de Goldbach pero expresada de otra forma. La conjetura de Goldbach es una de mis favoritas. Más que nada es que no se ve por donde abordar el problema. Sería muy interesante que alguien que conozca el tema nos hablara un poco de los métodos que se han usado para demostrar la conjetura. En el libro «La matemática: su contenido, métodos y significado» de Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y otros, Tomo 2, Alianza Universidad, hay un método de Vinogradov basado en una integral de funciones exponenciales con el que se demuestra… Lee más »
Esto es asumiendo que la hipótesis de Riemann es cierta el problema es que la Hipótesis de Riemann que tampoco está demostrada tampoco es suficiente para comprobar la conjetura de Goldbach.
Parece ser la misma conjetura, pero ¿Hay una demostración de que es la misma?
Es esta página me publicaron una equivalencia que obtuve para la conjetura de Goldbach. Quien la pruebe habrá probado la conjetura.
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_033.htm
Bueno, si pasas multiplicando el dos de cada igualdad al otro lado queda que cada número par mayor que 3 es la suma (como mínimo) de 2 primos. Naturalmente, añadiendo a la lista el caso 2=(2+2)/2, si se permite que se repita el mismo número en la suma, o 2=(1+3)/2 si se diera por válido que 1 fuera primo, aunque esto último me parece que no está en general aceptado. De todos modos hay mucha discusión al respecto: http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html No se si me he perdido algún detalle, o no acabo de entender lo que intentas decir, pero veo sencillo que… Lee más »
alguien me puede señalar si es correcto o incorrecto decir que en la siguiente transformacion està implicado el concepto de homeomorfismo(s)?
Gracias Toro Sentado,
A principios del siglo 20 todavía se consideraba que el 1 era primo porque es un número divisible por si mismo y por la unidad. Pero ese criterio fue abandonado. La definición moderna de los números primos podemos resumirla en que son los números que tienen 2 divisores. Entonces el 1 no es primo pues solo tiene 1 divisor.
El conjunto formado por el 1 y los números primos se llama conjunto de los números no compuestos (Non-composite numbers).
Saludos.
¿Habeis leido el libro «El tío Petros y la Conjetura de Goldbach», es una novela de Apostolos Doxiadis sobre la vida de un chico cuyo tío dedicó su toda vida a intentar resolver esta conjetura.
Para Toro Sentado, es cierto y además Vinogradov demostró que «casi todos» los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1)… curioso ese casi en matemáticas en el sentido de probable estadísticamente, ¿eso vale en matematicas?
Un abrazo
Fran
Omar-P y el resto:
yo también he gastado muchas horas buscando referencias a los «primos equidistantes» y no pude encontrar nada. Consulté a algunos «doctores» en matemática y tampoco me supieron referenciar literatura sobre el tema.
Lo que me extraña es que esta propiedad no sea mencionada al hablar de la Conjetura de Golbach, principalmente en escritos de divulgación: para el lego es más atractivo hablar de «primos equidistantes» que de «Conjetura Fuerte de Golbach»
Bien, tal vez estos comentarios sean los primeros en aparecer en Google al buscar «primos equidistantes»
el pez por la boca muere: terminé de hacer el comentario, busco en Google y encuentro 6520 resultados con «números primos equidistantes»
Creo que no son tantas Gustavo, me parece que tu has buscado en Google pero ingresando las 3 palabras sueltas. Por eso aparecen 6520. En cambio si las pones entre comillas sólo aparece una página. Probando con dos palabras, «primos equidistantes», aparecen 31 páginas.
Primero felicidades por la página, la conocí por unos compañeros de la facultad de matemáticas y la visitó a diario. Leyendo la entrada me he percatado de que si suponemos cierta la conjetura fuerte de Goldbach entonces la conjetura débil de Goldbach es consecuencía directa de ésta. Es decir, para cualquier número impar m=2n+1 con n un número natural, 2n-2 es par, por lo que suponiendo cierta la conjetura fuerte de Goldbach, podemos expresarlo como suma de 2 números primos p y q. Tendríamos así que 2n-2= p + q, y en consecuencia 2n+1=p+q+3, por lo que podríamos expresar cualquier… Lee más »
El que no haya referencias a los «primos equidistantes» es perfectamente explicable, ya que no aporta nada nuevo a la conjetura de Goldbach… como ya ha dicho Toro Sentado, se trata de la misma conjetura. La doble implicación es evidente, muy fácil de demostrar.
Otra cuestión, sobre la que no tengo una opinión definida, es si se trata de un enfoque mejor o peor que el habitual en la conjetura de Goldbach.
Con respecto al enunciado de la conjetura de los primos equidistantes vemos que el mismo no discrimina entre números pares e impares, ya que se refiere a «todo número mayor que 3». Además, la palabra «equidistante» aporta un concepto de simetría que en la conjetura de Goldbach no aparece en forma explícita.
Ah, ya veo cual es el problema para esa doble implicación. En la conjetura de los primos equidistantes no se puede considerar que un número primos equidista de si mismo por la izquierda y por la derecha… no sé si me explico. En tal caso la conjetura de los primos equidistantes es más fuerte que la conjetura de Goldbach, porque de ser cierta, entonces cualquier número par mayor que 6 se podría expresar como suma de dos números primos diferentes. De todos modos a mí me suena que está demostrado que cualquier primo mayor que 3 equidista de otros dos… Lee más »
No entendí del todo lo quieres decir Sive aunque si coincido en que parece más fuerte. Resulta claro que si se probara la conjetura de los primos equidistantes quedaría probada también la conjetura de Goldbach, pero en el caso inverso ¿Ocurriría lo mismo?
Es que tengo la manía de irme a las conclusiones directamente (eso me pasa por leer a Poe). Te respondo a esa pregunta, Omar-P y de paso aclaro el mensaje anterior. Si la conjetura de Goldbach fuera correcta, entonces cualquier número par n se podría expresar como suma de p1 y p2, ambos primos. Si expresamos n como 2x, tendríamos que: Es decir, que cualquier número natural mayor que 2, se puede expresar como la media aritmética de dos primos, o lo que es lo mismo, equidista de dos primos p1 y p2. Ese fue mi razonamiento inicial, y di… Lee más »
Gracias Sive, es muy interesante lo que comentas. Por otra parte está claro que cuando hablamos del par del primos (p,q) que equista de n, no debe considerarse el caso en que p,q y n sean el mismo número.
Veamos otra conjetura relacionada:
«Todo número mayor que 1 tiene al menos un par de números no compuestos equidistantes».
Por ejemplo:
2 = (1+3)/2
3 = (1+5)/2
4 = (3+5)/2
5 = (3+7)/2
…
Su representación es:
. . . 1 2 3
. . 1 . 3 . 5
. . . 3 4 5 . .
. . 3 . 5 . 7 . .
luigi, es homeomorfismos si se cumple que
(la inversa de f) es continua.
* f es una biyección
* f es continua
*
f: R → S1, f(x) = exp(2πix)
es un recubrimiento del círculo y homeomorfismo local, pero no homeomorfismo pues no es inyectivo.
Una vez se demuestre (si se consigue demostrar) la conjetura de Goldbach, quedaría saber si dado
existe un 
tal que todo número par mayor o igual que 
se puede expresar como suma de dos números primos en al menos 
formas, ¿no?
Si la solución da como resultado un valor que es igual o al menos converge a 1 podría ser una demostración válida. No puede ser mayor y la razón de esto es que la manera cómo se plantea la conjetura presenta números pares que sólo tienen una combinación de dos números primos como el 6 = 3+3 o el 8 = 5+3
A mi me parece una generalización factible, otro. Sería interesante hacer alguna cosilla por ordenador que calcule por fuerza bruta el valor probable de N, para los valores pequeños de k.
Sive, pero si aún no se ha demostrado para k=1, N=4 (que sería la conjetura de Goldbach)…
Hola Gaussianos
Que tal esto!
2n = suma de dos nùmeros primos
3n = suma de tres nùmeros primos
4n = suma de cuatro nùmeros primos
5n = suma de cinco nùmeros primo
Esto es lo que yo creo es «La Conjetura General de Goldbach»:
Si n, k son dos nùmeros enteros mayores que 1, entonces nk es expresable como la suma de n nùmeros primos.
Saludos.
phimilenario@hotmail.com
Ya otro pero a veces es más fácil dar con la clave de un problema, si tienes una imagen más amplia. Imagina que se encuentra una pauta en el crecimiento de N, podría ser una buena pista.
[…] 4 en La conjetura de Goldbach […]
Volviendo a lo de los primos equidistantes, no he podido encontrar referencias acerca de si está probada para los números primos… pero si he visto un trabajo, dedicado a la conjetura de Goldbach, en la que parece que se da por probado que a partir de 10 si un número es el doble de un primo p, existe una suma diferente de p+p que satisface la conjetura de Goldbach.
De estar fundada, significaría que la conjetura de los primos equidistantes estaría probada para los números primos. Lamentablemente no he encontrado referencias en ese trabajo a la demostración de ese ¿hecho?.
Hace unos pocos años un profesor de instituto, español, aseguraba que habia demostrado esta conjetura. Algo puso incluso en internet. Le perdí el rastro pero tras leeros me imagino que finalmente debía haber algun error en la demostracion. Pues se habia tirado unos años con ello, ha debido dejarle hundido…
Yo creo que casi todos los aficionados a las matemáticas tenemos una buena colección de «demostraciones» maravillosas que resultaron tener un error. O de demostraciones que ya estaban demostradas desde hacía años y años.
Algunos también nos hemos obsesionado durante meses con un problema abierto concreto. A mí me pasó con el del logaritmo discreto con base prima, porque estaba convencido (y aún lo estoy) de que los algoritmos de criptogafía asimétrica basados en la factorización, son más fuertes que los que se basan en el problema del logaritmo discreto.
Hay algo que me da curiosidad desde hace tiempo. Las posibles sumas de números solo se pueden sacar de la combinación par-par; impar-impar o par-impar. Si las posibilidades son tres y en dos de ellas el número será par ¿no deberian ser dos tercios de los números pares y el tercio restante impar?
antonio si tras un razonamiento llegas a una conclusión que sabes que es errónea puedes hacer dos cosas: – Escribir un libro llamado «Crítica a la razón pura», hablando de las contradicciones a las que se llega a veces usando correctamente la razón. Con un poco de suerte ganarás fama mundial, y un sitio en la historia. – Dar por hecho que hay un error en tu razonamiento, y buscarlo. Dado que para la primera opción ya se te adelantaron, sólo te queda la segunda. Creo que es mejor para tí dejar que tú mismo busques el error. Por ejemplo,… Lee más »
Creo que para este caso habría que tener en cuenta la combinación impar-par, con lo que serían 4. No es lo mismo par-impar que impar-par, porque suponiendo que cada número natural tiene las mismas posibilidades de aparecer puede ocurrir lo siguiente: 1º caso: el primero es par. 2º caso: el primero es impar. Después se vuelve a buscar otro número y tenemos otras dos posibilidades por cada una de las anteriores: 1º caso: primero par, segundo par. 2º caso: primero par, segundo impar. 3º caso: primero impar, segundo par. 4º caso: primero impar, segundo impar. Al hacer la suma de… Lee más »
Hay una parte del artículo que no entiendo. «se cree firmemente que la conjetura es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello? Pues sí, uno muy simple: cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números. Por tanto mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos.» Estoy de acuerdo en que cuanto mayor es el número mas probable es que se cumpla la conjetura, pero si, por poner un ejemplo inventado, 10^20 tiene un… Lee más »
Perdón, en la penúltima linea quería decir hacer lo mismo con todos los números pares.
Hola!
Gracias a este artículo he podido hacer un trabajo del instituto 🙂
Me han puesto un 9!
Gracias!! 🙂
Raquel, me alegro mucho de que este artículo te haya ayudado a sacar tan buena nota en tu trabajo. Enhorabuena :).
Genial la entrada, ^DiAmOnD^
No conocía esta página, pero gracias a San Taylor me apareció Gaussianos en el buscador…así que una visitante más a partir de ahora :]
Salud, matemáticos!
Me alegro de que te haya gustado el blog María. Espero verte por aquí a partir de ahora.
Si eres nueva lectora igual te interesa echarle un ojo al archivo del blog. Después de casi 3 años hay muchas cosas para poder ver :).
🙂
aquí tenéis a una visitante más
🙂
gracias!
Guao son unos matematicos espectaculares todos(as) yo lei el tio Petros y la conjetura de goldbach, por medio de esta pagina pude aclarar varias dudas. soy una estudiante y son mi ejemplo a seguir….
en especial tu Omar-P
Youlisbeth mendoza, en la pestaña «Archivo» encontrarás muchos otros temas de matemática que se han visto en Gaussianos. Te recomiendo que leas en especial los comentarios escritos por M, (Domingo H.A.), Fede, Asier, Tito Eliatron y DiAmOnD. Saludos.
Me encanta la conjetura de Golbach, y tengo algo hecho al respecto, pero no me animo a publicarlo, creo que debe tener algún error, porque no puede ser que nadie se haya dado cuenta antes de eso, siendo tan sencillo.
¿Existe alguna forma de hacer revisar antes un trabajo, sin que te lo roben, si llegara a estar bien?
Bueno, creo que ya es suficiente.
Voy a borrar todos los comentarios que hay en este post a partir del primero de Marcos (espero que no os molestéis Andor y Omar).
Marcos, ya te he dicho por mail lo que tenía que decirte. Si quieres continuar la comunicación con Gaussianos hazlo por esa vía.
Y ya de paso pido perdón a todos los lectores de Gaussianos por no haber cortado de raíz esto antes y por haberme involucrado en la historia de la manera que lo he hecho. Intentaré que no vuelva a pasar.
Por mi parte no hay problema. Debo aclarar que en estos casos siempre interpreto los agravios como proyecciones (Puedes borrar este comentario también, DiAmOnD). Gracias.
De acuerdo Omar.
Prefiero que dejemos ya este tema, como dije en uno de los comentarios borrados no es la primera vez que ocurre y la verdad es que termina cansando.
M, gracias por abrirme los ojos, aunque haya sido con un comentario en otro post :).
Por cierto, el próximo jueves en Barcelona hay una conferencia titulada «Goldbach y las sumas infinitas», a cargo del profesor Carlos Sánchez Fernández, autor de varios libros de divulgación. En particular, acaba de publicar el libro «Goldbach. Una conjetura indomable». No puedo opinar sobre el mismo porque no ha caído en mis manos aún, pero conociendo las otras publicaciones de Carlos Sánchez Fernández debe tener muy buena pinta.