Aunque en internet se puede encontrar mucha información sobre este tema y en Gaussianos ha sido nombrado alguna vez, todavía no tenía artículo propio. Hoy es el día.


Introducción

Seguro que a muchos de vosotros os ha ocurrido que ha aparecido en vuestra cabeza alguna posible relación entre números naturales que no sabíais si era cierta o no, si había sido estudiada ya o era totalmente nueva. A veces esto ocurre porque nos paramos a pensar a partir de algún resultado obtenido o al desarrollo de algún problema que consultamos; otras la propiedad surge de pronto, sin previo aviso, sin motivo aparente.

Por desgracia la mayoría de las veces la relación entre números que se nos ocurre está estudiada ya, por lo que se sabe si es cierta o no. Pero hay ocasiones en las que no ocurre ninguna de estas dos cosas, es decir, hemos encontrado una relación entre números que no se ha estudiado con anterioridad, por lo que no se sabe nada sobre la certeza o falsedad de la misma.

Bajo mi punto de vista esa es la forma en la que surgen las conjeturas en matemáticas. Todas ellas son resultados que quien formula cree ciertos, aunque no tiene una demostración formal del mismo. Para algunas se desveló su resultado con cierta facilidad, otras exigieron más esfuerzo y en otros casos todavía no sabemos nada, ni hacia un lado ni hacia el otro. La conjetura de Goldbach es una de ellas.

La conjetura de Goldbach

Comienzo de la carta de Goldbach a EulerEl resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una carta (que podéis ver aquí) enviada a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Enunciado enormemente sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones (por ejemplo, el UTF), nos llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):

  • 4=2+2
  • 6=3+3
  • 10=3+7
  • 20=7+13
  • 30=7+23
  • 100=3+97
  • 1000=3+997
  • 1000000=17+999983

En esta página podemos obtener la representación de un número par como suma de dos números primos simplemente introduciendo el mismo (no he encontrado qué límite de cifras tiene el programa).

El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni refutar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración formal totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ningún contraejemplo (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).

En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que 10^{18}. Es decir, se sabe con total seguridad que todo números par menor que un 1 seguido de 18 ceros puede escribirse como suma de dos números primos. Pero ya sabemos que eso no nos sirve como demostración (recuerdo el artículo sobre la conjetura de Polya, donde también se comentaba algo de la conjetura de Goldbach). Utilizando la tecnología podremos continuar con las comprobaciones, aumentaremos la cantidad de números pares comprobados, pero no podremos concluir que el resultado es cierto (no podemos llegar al final de los números). Sí podríamos determinar que la conjetura es falsa si se encontrara un contraejemplo con este método, pero según los expertos es poco probable que este hecho ocurra.

Y es poco probable por una razón muy sencilla: se cree firmemente que la conjetura es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello? Pues sí, uno muy simple: cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números. Por tanto mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos. No nos sirve de demostración, pero puede servirnos de idea para enfocar nuestros estudios sobre el tema.

Si hemos dicho que sería más acertado llamar conjetura fuerte a este resultado será por algo, ¿no? Pues sí. La razón es que hay otra conjetura de Goldbach, denominada débil, que dice lo siguiente:

Todo número impar mayor que 7 puede escribirse como suma de 3 números primos impares.

Esta conjetura tampoco está resuelta, pero se ha avanzado mucho en su demostración. En la actualidad (hasta donde sé), se ha conseguido demostrar que para todo número impar mayor que 10^{1346} la conjetura es cierta. Por tanto sólo tendríamos que comprobar número a número que todo impar menor que 10^{1346} puede ponerse como suma de 3 números primos impares. El problema es que esa cota todavía es demasiado grande para nuestra tecnología. Tendremos que esperar algún avance de la misma o que se pueda rebajar formalmente ese número.

Para terminar os comento que para darle algo más de interés al tema se sabe que esta conjetura está relacionada en cierta forma tanto con la conjetura de los primos gemelos (aquí podéis consultar un artículo sobre el tema) y la hipótesis de Riemann. No podía ser de otra forma con un resultado como éste.

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