La conjetura de Collatz es uno de esos resultados atrayentes para muchos (me incluyo entre ellos) por tener un enunciado simple a la par que original. Un enunciado donde se describe una operación sencilla de realizar, convirtiendo esto a la conjetura en algo fácil de comprobar para cantidades pequeñas, que además tiene ese regusto a hecho difícil de demostrar en el caso general.

Los fractales también tienen esa capacidad de encandilar a cualquiera que le de dedique al tema unos minutos de atención. Porque no me negaréis que los fractales tipo el fractal de Fibonacci, que Mati nos cedió amablemente hace unos días, o los fractales tipo el conjunto de Mandelbrot, rezuman belleza por los cuatro costados.

En esta ocasión nos vamos a quedar con estos últimos, los fractales tipo el conjunto de Mandelbrot. Y los vamos a relacionar con la conjetura de Collatz. ¿Cómo? Enseguida lo veréis.

La idea de los fractales tipo Mandelbrot es representar, generalmente en color negro, los puntos del plano complejo cuya órbita generada por un método iterativo es convergente. También se suelen representar los puntos cuyas órbitas son divergentes, dando distintos colores en función de la velocidad a la que divergen. Por ejemplo, para el conjunto de Mandelbrot el método iterativo es:

\begin{matrix} z_0=0 \\z_{n+1}=z_n^2+c \end{matrix}

Los números complejos c para los cuales la órbita generada por ese método iterativo es convergente pertenecen al conjunto de Mandelbrot. No me extiendo más con esto, ya que está explicado en este post. Lo que sí quiero es dejaros de nuevo una imagen del conjunto de Mandelbrot que seguro habréis visto muchos:

Conjunto de Mandelbrot

¿Cómo relacionar esto con la conjetura de Collatz? A mí no se me había ocurrido hasta que hace unos días vi este post en el blog Rhapsody in Numbers, donde explican una forma de hacerlo. Y eso es lo que voy a hacer yo: explicaros cómo representar en un fractal la conjetura de Collatz.

Recordemos que la conjetura de Collatz dice lo siguiente:

Tomemos un número entero positivo k. Si es par lo dividimos entre 2 y si es impar lo multiplicamos por 3 y le restamos 1. Continuemos realizando las mismas operaciones con los resultados obtenidos en cada paso. Entonces toda sucesión de resultados terminará en la secuencia 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1, que a partir de ahí se repetirá indefinidamente.

La frase en negrita es la propia conjetura: no se sabe si eso es cierto para todo entero positivo. El carácter especial de la misma, junto con que todavía no se haya resuelto, hace que con cierta regularidad aparezcan intentos de demostración, como éste que comentamos en Gaussianos a mediados del año pasado.

Bien dejemos todo esto para fijarnos en algo que seguro muchos de vosotros ya habréis apreciado: las operaciones que pide realizar la conjetura de Collatz son un método iterativo, en el que el valor inicial será un número entero positivo en cada caso. Para cada número entero positivo se generaría una órbita (esto es, una secuencia de resultados generada por la sucesiva aplicación de las operaciones de Collatz), por lo que podríamos representar los números para los cuales la órbita llega a 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 (que serían las convergentes). Esto tiene el problema de que no se sabe qué ocurre con las órbitas de todos los números enteros positivos (ya que la conjetura no está resuelta). Pero tiene uno mayor: el conjunto de puntos que quedaría dibujado no tendría demasiado interés, ya que simplemente serían puntos aislados (en los enteros positivos cuya órbita llegue a 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1).

Por ello vamos a intentar generalizar un poco las operaciones Collatz. En principio, la que podríamos llamar función de Collatz es la siguiente:

f(x)= \begin{cases} x/2 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo par} \\ 3x+1 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo impar} \end{cases}

El problema que tiene esta función es que está definida solamente en los enteros positivos. La idea es intentar extender esta función a todos los números complejos, es decir, buscar una función definida en todo el plano complejo tal que en los números enteros positivos coincida con ésta. Una posibilidad es la siguiente:

g(x)= \begin{cases} x/2 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo par} \\ 3x+1 & \mbox{, si } x \mbox{ es un entero positivo impar} \\ 0 & \mbox{, para cualquier otro } x \in \mathbb{C} \end{cases}

Esta función g(x) está definida para todo el plano complejo \mathbb{C} y además coincide con f(x) en los enteros positivos. Cumple las condiciones que hemos pedido antes, pero no nos va a servir. ¿Por qué? Si os fijáis, la función no es derivable en los enteros positivos, de hecho no es ni continua, y la verdad es que lo interesante sería que una candidata a función de Collatz se comportara bien en el sentido de la derivabilidad. Por ello vamos a construir una función, que llamaremos C(x), que cumpla lo anterior (definida en todo el plano complejo e igual que f(x) en los enteros positivos) y que además sea derivable en todo punto.

Comenzamos definiendo dos funciones que usaremos en el desarrollo. Son \chi _p (x), que valdrá 1 si x es par y 0 si x es impar, y \chi _i (x), que valdrá 1 si x es impar y 0 si x es par. Entonces la función que buscamos podría tener la siguiente expresión:

C(x)=\chi _p (x) \; \cfrac{x}{2} + \chi _i (x) \; (3x+1)

Si las funciones \chi _p y \chi _i fueran derivables, ya tendríamos que C(x) también lo es (por ser una combinación de sumas y productos de funciones derivables). Por tanto, tenemos que encontrar una manera de definir estas funciones para que sean derivables en todo número complejo.

Pero eso es sencillo. Basta tomar

\chi _p(x)=\cfrac{1+(-1)^x}{2} y \chi _i (x)=\cfrac{1-(-1)^x}{2}

para que las dos estén definidas en todo número complejo, sean derivables también en todo complejo y además cumplan las condiciones pedidas en su definición inicial. Por tanto, nuestra función C(x) realizaría su función con los enteros positivos, y además estaría definida en todo el plano complejo y sería derivable en él. Escribiendo z en vez de x, como es habitual al trabajar con complejos, nuestra función quedaría así:

C(z)= \cfrac{1+(-1)^z}{2} \; \cfrac{z}{2} + \cfrac{1-(-1)^z}{2} \; (3z+1)

Por otra parte, estaréis de acuerdo conmigo en que operar con el término (-1)^z no es demasiado cómodo. Bien, pues lo vamos a cambiar por \cos{ (\pi z)}, que tiene exactamente ese valor en los números enteros (que en realidad son los que más nos interesan) y es mucho más amigable. Con todo esto, y después de unos sencillos cálculos, llegamos a que nuestra función de Collatz va a ser la siguiente:

C(z)=\cfrac{1}{4} \, (2+7z-(2+5z)\cos{(\pi z)})

Esta es la función con la que vamos a trabajar, la función C: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} definida por:

C(z)=\cfrac{1}{4} \, (2+7z-(2+5z)\cos{(\pi z)})

Es evidente que la función es continua y derivable en todo \mathbb{C} y además en los enteros positivos coincide con f(x), que es lo que queríamos para que nuestra función pudiera llamarse función de Collatz.

Vamos, por fin, a utilizar nuestra función de Collatz como método iterativo. Es decir, calculamos la órbita de cada número complejo bajo la función C(x) y representamos de negro los puntos cuya órbita sea convergente. Nos queda la siguiente representación, denominada fractal de Collatz:

Se ve un conjunto central, alrededor de z=0, de puntos cuya órbita es convergente, y después se aprecian ramificaciones en varias direcciones. También destaca algo que era esperable: alrededor de cada número entero nos aparece un pequeño conjunto de puntos que pertenecen al fractal de Collatz.

Vamos a darle un poco de color, tipo del fractal de Mandelbrot que os enseñaba antes. Nos quedaría algo así:

Precioso, ¿verdad?

Pero, ¿es un fractal en el sentido del conjunto de Mandelbrot? Pues eso parece. Analizando la imagen anterior vemos que tiene ciertas similitudes al fractal de Mandelbrot, pero además si hacemos zoom en varias partes (principalmente en las cercanas al borde del conjunto) encontraremos autosimilitud como se encuentra en el conjunto M. Por ejemplo, aquí tenemos una imagen después de hacer zoom cerca del borde del conjunto central:

Y aquí en el punto (2,0), donde se aprecia cierta autosimilitud con el propio conjunto central:

Esto es lo que obtenemos al hacer zoom varias veces cerca del punto (-4,0):

Y esto al adentrarnos algo más alrededor del punto (1,0):

Y podríamos seguir acercándonos al borde del conjunto, obteniendo en todo momento preciosas imágenes autosimilares a partes del conjunto inicial. Os dejo a vosotros que continuéis esa tarea hasta donde la curiosidad os quiera llevar.

Como podéis ver, este fractal de Collatz, como la mayoría de los fractales de su tipo, es un mundo donde a cada paso nos encontramos con algo nuevo a la vez que conocido. Una auténtica maravilla de la geometría que el señor Mandelbrot nos terminó de enseñar.

Las imágenes están hechas con Ultra Fractal, introduciendo manualmente la función C(z) y modificando algunos parámetros para que los dibujos queden mejor.

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