Y, por fin, aquí tenemos la solución del Desafío GaussianosyGuijarro nº 4 – El recorrido de la hormiga y, por tanto, del ganador de Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo.

Se han recibido 58 respuestas, de las cuales 46 eran correctas. A continuación recordamos el enunciado del problema y dejamos la solución de Marta Macho-Stadler, que fue quien lo propuso:

Unas hormigas se desplazan en línea recta a velocidad constante, formando una columna de insectos de 50 cm.

La última hormiguita (que es la que carga con las provisiones) decide ir hasta la cabeza de la hilera para abastecer de alimento a la hormiga “jefe”. Se desplaza hasta el principio de la columna, y sin perder tiempo regresa a su posición al final.

Sabiendo que durante esta ida y vuelta la velocidad de la hormiga obrera ha sido constante y que la columna ha recorrido 50 cm, ¿cuál es la distancia total recorrida por esta hormiga?

Y aquí va la solución propuesta por Marta:

Llamamos v a la velocidad de la columna de hormigas y v_0 a la velocidad de la hormiga obrera, ambas medidas en cm por segundo.

1) La distancia recorrida desde la cola hasta la cabeza de la columna es

d_1= v t_1 + 50 = v_0 t_1,

donde t_1 es el tiempo usado en realizar este recorrido.

2) La distancia recorrida desde la cabeza hasta la cola de la columna es

d_2= 50 - v t_2 = v_0 t_2,

donde t_2 es el tiempo usado en realizar este recorrido. Despejando

t_1= {{50}\over { v_0 - v}} y t_2= {{50}\over { v_0 + v}}

Además, la distancia recorrida por la columna de hormigas es

50 = (t_1 + t_2) v (*)

Reemplazando los valores de t_1 + t_2 en (*), queda

50 = \left( {{50}\over { v_0 - v}} + {{50}\over { v_0 + v}}\right) v,

y haciendo una sencilla simplificación, queda:

v_0^2 - v^2 - 2v v_0 = 0

Si dividimos por v^2 y llamamos x a {{v_0}\over v}, queda por resolver la ecuación de segundo grado x^2 - 2x - 1 = 0.

Su solución única es x = 1+\sqrt{2}, y, por lo tanto, la distancia recorrida por la hormiga obrera es de

50 \left(1+\sqrt{2}\right)

En esta ocasión destacamos dos de las soluciones enviadas:

  • La de Antonio Galán, que envió dos soluciones, una usando cinemática y otra geométrica, acompañadas de gráficos explicativos.
  • La de Rogelio Tomás, cuya solución constaba de una gráfica que muestra la distancia recorrida por las hormigas frente al tiempo y usa equivalencia de triángulos.

El ganador de este desafío ha sido Rubén Arranz, que pronto recibirá Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Enhorabuena.

Muy pronto tendremos el próximo desafío. Espero vuestra participación, como siempre. Muchas gracias a todos.

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