Encontrado un contraejemplo de la conjetura jacobiana con Claude Fable 5

Ayer, día 19 de julio de 2026, fue un día grandioso para España en lo que a fútbol se refiere, ya que el combinado español consiguió su segundo mundial al derrotar a Argentina por 1-0. Pero también parece que va a ser recordado como un día grandioso para las matemáticas y la inteligencia artificial, ya que es el día en el que la famosa conjetura jacobiana saltó por los aires al encontrarse un contraejemplo de la misma.

Pero comencemos por el principio. El enunciado de la conjetura jacobiana es el siguiente:

El caso \( n=2 \) lo planteó Ludwig Kraus en 1884. La versión general de la misma, que además forma parte de la famosa lista de Smale, fue propuesta por el matemático alemán Ott-Heinrich Keller en 1939 y, hasta ahora, era uno de los resultados más importantes en su campo que seguía sin respuesta… hasta ayer, 19 de julio de 2026. Y fue Levent Alpöge, con la ayuda del modelo Fable 5 de Claude, quien, ya de madrugada en España, lo publicó en X:

hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final

((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x – 3 x^2 y – x^3 z): \C^3\to \C^3,…

— levent (@__alpoge__) July 20, 2026

Por cierto, Levent no es ningún cualquiera, es doctorado por la Universidad de Harvard y la tesis se la llevó nada menos que Manjul Bhargava. Casi nada.

Al ser un contraejemplo (además, relativamente sencillo de manejar), podemos nosotros mismos confirmar que, efectivamente, no cumple la conjetura. Vamos con ello.

El cuerpo escogido es \( \mathbb{C} \) (los complejos) y \( n=3 \). La función vectorial \( F : \mathbb{C}^3 \longrightarrow \mathbb{C}^3 \) es \( F(x,y,z)=(F_1,F_2,F_3) \), siendo:
\[ \begin{array}{l} F_1(x,y,z)=(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) \\
F_2(x,y,z)= y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) \\
F_3(x,y,z)= 2 x – 3 x^2 y – x^3 z \end{array} \]
La matriz jacobiana de \( F \) se define como la matriz cuyas filas son las derivadas parciales de cada una de sus componentes respecto de todas las variable de \( F\). En este caso, se definiría así:
\[ JF(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_1}{\partial y} & \frac{\partial F_1}{\partial z} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial y} & \frac{\partial F_2}{\partial z} \\ \frac{\partial F_3}{\partial x} & \frac{\partial F_3}{\partial y} & \frac{\partial F_3}{\partial z} \end{pmatrix} \]

Para esta \( F \), es sencillo calcular tanto la matriz jacobiana como su determinante, aunque ciertamente es bastante tedioso. Por ello, podemos acudir, por ejemplo, a WolframAlpha para que nos haga dichos cálculos: Matriz jacobiana de \( F \) y su determinante.

No vamos a reproducir aquí dicha matriz, pero sí vamos a tomar el valor del determinante: se tiene que, para esta \( F \),
\[ det(JF(x,y,z))=-2, \, \forall (x,y,z) \in \mathbb{C}^3 \]
Es decir, el determinante de la matriz jacobiana de \( F \) es constante, para todo \( (x,y,z) \in \mathbb{C}^3 \).

Si la conjetura jacobiana fuera cierta, tendríamos que \( F \) sería biyectiva (y que las componentes de su inversa serían también polinomios), pero resulta que ocurre lo siguiente:
\[ \begin{array}{l} F(0,0,-\frac{1}{4})=(-\frac{1}{4},0,0) \\
F(1,-\frac{3}{2},\frac{13}{2})=(-\frac{1}{4},0,0) \\
F(-1,\frac{3}{2},\frac{13}{2})=(-\frac{1}{4},0,0) \end{array} \]

Esto es, existen al menos tres puntos \( (x,y,z) \) distintos que tienen la misma imagen. Esto significa que \( F \) no es inyectiva, por lo que \( F \) no es biyectiva, lo que refuta la conjetura jacobiana.

La noticia ha corrido como la pólvora en redes sociales y foros especializados, lo que ha llevado, por ejemplo, a que ya se hayan publicado familias de contraejemplos (vía Przemek Chojecki).

En relación con el uso de IA, Levent indica que se ha ayudado de Claude Fable 5, que es el modelo de Claude más potente que hay actualmente. El cómo lo ha utilizado exactamente (vamos, los prompts utilizados y la conversación completa con el modelo) no se ha publicado todavía, hasta donde yo sé. Si alguien la ve publicada por ahí, se agradece que nos la deje en comentarios.

Siendo una conjetura tan conocida, ha sido muy estudiada hasta ahora, lo que ha hecho, entre otras cosas, que se hayan encontrado un buen número de resultados equivalentes a ella (parece que el más conocido es la llamada conjetura de Dixmier). Tras la aparición de este contraejemplo, todas ellas quedan también automáticamente refutadas.

Seguiremos pendientes de todas las novedades que vayan saliendo relacionadas con este descubrimiento, por lo que esta nota puede ser actualizada en los próximos días. De nuevo, se agradece que dejéis en los comentarios cualquier cuestión que encontréis sobre ella.