Introducción

En algún post de Gaussianos se ha hablado ya de la serie armónica:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}}

En este post vamos a ver una sencilla demostración de la divergencia de esta serie1. Además veremos también una demostración (algo más complicada) de la divergencia de la serie de los inversos de los números primos, hecho que además del interés que tiene por sí mismo sirve de demostración (una más) de la infinitud del conjunto de los números primos.

Demostración de la divergencia de la serie armónica

La demostración que vamos a ver sobre la divergencia de la serie armónica es bastante sencilla y al parecer se la debemos a Nicolás Oresme:

\begin{matrix} \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}=1+\left [ \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ] + \left [ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right ]+ \cdots >} \\ \displaystyle{> 1+ \left [ \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac {1}{4} + \frac{1}{4} \right ] + \left [ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right ] + \cdots=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots} \end{matrix}

Hemos obtenido que la serie armónica es mayor que una serie que es claramente divergente. Por tanto la misma serie armónica debe ser también divergente.

Divergencia de la suma de los inversos de los números primos

Aclarando desde este momento que si una suma o producto tiene como índice p nos referiremos al conjunto de los números primos vamos a demostrar que \displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}} es divergente. Como se tiene que:

\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p} < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}

no podemos utilizar de forma tan directa la divergencia de la serie armónica para comprobar este resultado, aunque este hecho será importante para dicha demostración. Otro resultado fundamental para la misma es lo que se conoce como fórmula del producto de Euler, que establece lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}}

La demostración de este hecho podéis verla aquí.

Tomando s=1 en esta fórmula obtenemos la igualdad que vamos a utilizar en nuestra demostración:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}}

Vamos ya con nuestra demostración:

\displaystyle{\ln \left (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \right )=\ln \left (\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}} \right )=\sum_p \ln \left ( \frac{1}{1-p^{-1}} \right )=\sum_p -\ln(1-p^{-1})=*}

Utilizando ahora que Taylor y sus desarrollos en serie nos dicen que \displaystyle{\ln(1-x) = -\sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n} para |x| < 1:

\begin{matrix} \displaystyle{*=\sum_p \left (\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots \right)=\sum_p \left (\frac{1}{p} \right )+\sum_p \frac{1}{p^2} \left (\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\cdots \right ) <} \\ \displaystyle{< \sum_p \left (\frac{1}{p} \right ) +\sum_p \frac{1}{p^2} \left ( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right )=\sum_p \left ( \frac{1}{p} \right )+\sum_p \frac{1}{p(p-1)}=\sum_p \left ( \frac{1}{p} \right )+C} \end{matrix}

siendo C < 1 una cierta constante ya que esa serie sí es convergente (en este último desarrollo hemos sustituido 2,3, \ldots por 1 y hemos utilizado la fórmula de la suma de una progresión geométrica).

Tomando límite ahora obtenemos el resultado perseguido:

\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}=+\infty}

Es decir, la suma de los inversos de los números primos es divergente.

Extra

Como dijimos anteriormente este resultado nos sirve como demostración de la infinitud de los números primos. ¿Por qué? Pues muy sencillo. Si esa serie tiene cómo límite +\infty significa, entre otras cosas, que está formada por infinitos términos. Como cada término corresponde a números primos distintos obtenemos que existen infinitos números primos.

Fuentes:

1: Una serie numérica infinita se dice divergente si el límite de su sucesión de sumas parciales es \infty.

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