Quién no ha jugado al Juego de la Oca en alguna ocasión, ¿verdad? Típico juego de mesa para dos o más jugadores en el que la ficha de un jugador avanza en función de la puntuación que marca el dado que él mismo tira, y en el que podíamos encontrar casillas que nos hacían avanzar y casillas que nos obligaban a retroceder. Por él, la frase «de oca a oca, y tiro porque me toca» forma parte de la jerga popular.

¿Y qué decir del Tres en Raya? Seguro que muchos de vosotros habéis jugado con algún amigo en un pequeño rato libre al famosísimo juego del los círculos y las equis. En este juego para dos jugadores, donde uno de ellos lleva el círculo y el otro la equis, cada uno de ellos coloca, de forma alternativa, su símbolo (círculo o equis) en una casilla de un tablero cuadrado 3×3 con el objetivo de conseguir que una fila, una columna o una diagonal esté formada por tres de sus símbolos.

Y digo yo, ¿son los dos juegos del mismo tipo? Voy a afinar un poco más: ¿son los dos juegos del mismo tipo a la hora de buscar una forma de ganar en ellos?

Pues claramente la respuesta es no. Mientras que en el Juego de la Oca el azar es fundamental (de hecho es el juego entero), en el Tres en Raya el azar no tiene presencia alguna, ya que las partidas se desarrollan en función de cómo cada jugador coloca sus símbolos libremente.

Esta es una manera de clasificar los juegos: juegos de azar (donde, como su propio nombre indica, el azar es lo que decanta la partida a un lado o a otro) y juegos de información completa, en los cuales uno puede conocer en todo momento todas las jugadas posibles y las consecuencias de las mismas dentro del propio juego y el azar no aparece en ningún momento.

Bien, pues en estos últimos es donde siempre se puede encontrar una estrategia ganadora, o al menos no perdedora si el juego puede terminare en tablas. Concretamente, si un juego en el que participan dos jugadores tiene las siguientes condiciones

  • Cada jugador tiene en todo momento toda la información para decidir la jugada a realizar.
  • Los dos jugadores realizan las jugadas alternativamente, cada uno en su turno.
  • Ningún elemento de azar interviene en el juego.
  • Toda partida finaliza después de un número finito de jugadas con la victoria de uno de los dos jugadores

entonces seguro que es posible encontrar una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores (estrategia no perdedora en el caso de que en el juego se permita el empate). Con estrategia ganadora queremos decir «estrategia mediante la cual uno de los jugadores, el primero o el segundo, se asegura ganar todas las partidas» (siempre que los dos jugadores jueguen de forma ideal, es decir, en todo momento realicen movimientos lógicos encaminados a ganar la partida).

La demostración de este hecho es bien sencilla:

Supongamos que los jugadores A y B juegan a un juego como el que se ha descrito antes. Si A tiene una estrategia ganadora, entonces ya hemos terminado. Si no la tiene, significa que en todos los casos posibles existirá una jugada de B a la que A no podrá responder de manera conveniente. Y precisamente esto es lo que nos indica que en este caso sería B quien tiene esa estrategia ganadora.

Por tanto, en estos juegos siempre existe una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores (estrategia no perdedora si se permite empate). Ahora, eso no quiere decir que dicha estrategia sea sencilla de encontrar, ni mucho menos. Dependerá principalmente de la complejidad del juego. Por ejemplo, encontrar una estrategia ganadora para los típicos juegos de retirada de palillos o una estrategia no perdedora para el Tres en Raya es tarea sencilla, pero ¿y si os propongo el ajedrez? Técnicamente, formalmente, es posible encontrar una estrategia para uno de los dos jugadores tal que dicho jugador no perdería partida alguna, pero la cantidad de jugadas posibles es tan grande, y la cantidad de variantes que produce el juego a casa paso tan enoooorme, que resulta físicamente imposible embarcarse en ese proyecto en la actualidad.

Y, por otra parte, es interesante hacer notar que el hecho de que se obligue al juego a finalizar en un número finito de pasos es fundamental, ya que si no es así en principio no podemos asegurar que exista dicha estrategia ganadora. En 1930, Stefan Banach y Stanislaw Mazur desarrollaron un juego topológico, el juego de Banach-Mazur, que se convirtió en el primer juego infinito de información completa para dos jugadores que fue estudiado. Se demostró que para este juego en general no se puede encontrar una estrategia ganadora para ninguno de los jugadores. Como curiosidad, comentar que al parecer dicha demostración hace uso del famoso a la par que controvertido axioma de elección.

Y para terminar una reflexión. Si lo pensáis, todas las partidas de ajedrez que se han jugado hasta ahora (y las que se jugarán de aquí en adelante durante mucho tiempo), ya sean jugadas por aficionados o por los mejores jugadores de la historia (por ejemplo, Emanuel Lasker), se han desarrollado mediante la aplicación por parte de los jugadores de ciertas tácticas que posiblemente ni siquiera puedan considerarse acercamientos a la estrategia. ¿No os parece tremendamente emocionante que teóricamente se sepa que existe una estrategia no perdedora para alguno de los dos jugadores que se enfrentan en una partida de ajedrez (blancas o negras), pero todavía no se conozca ni de lejos la estructura de dicha estrategia? ¿No os entra un cosquilleo por las piernas si pensáis que con la suficiente capacidad de cálculo podríamos cargarnos el noble juego del ajedrez? Debo confesar que a mí sí.


Fuentes:

  • Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, ISBN: 978-84-473-6631-6, de Jordi Deulofeu.
  • La imagen sobre el Juego de la Oca la he tomado de aquí.
  • La imagen sobre el Tres en Raya la he tomado de aquí.
  • La imagen sobre el Ajedrez la he tomado de aquí.

Esta entrada es mi segunda contribución con la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

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