En el conocidísimo triángulo de Pascal pueden encontrarse multitud de tesoros matemáticos (recopilé unos cuantos aquí). Algunos de ellos son fáciles de localizar, pero otros están algo más escondidos. Hoy hablaremos de cómo encontrar la sucesión de Fibonacci y los ¡¡números primos!! en este interesante triángulo numérico.
¿Que no sabes qué es el triángulo de Pascal? Pues aquí lo tienes. Cada fila tiene unos a izquierda y derecha, y cada posición intermedia se calcula sumando los dos números que tiene justo encima:
En este blog ya hemos tratado algunos de estos tesoros de los que hablábamos al principio. Hemos visto su relación con los números de Catalan; vimos cómo encontrar el número e y el número Pique aparecen relacionados con el número 89 y el número 109; presentamos una interesante conjetura sobre sus elementos y también enseñamos una forma de relacionar el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci…
…y por ahí vamos a comenzar. La relación que vimos en aquella entrada es la que se puede ver en la siguiente imagen:
Pues hace poco me encontré una anotación en Futility Closet en la que daban otra forma de encontrar los números de Fibonacci en el triángulo de Pascal. La cuestión es como sigue:
Coloca la primera fila, el 1, y luego coloca el resto de filas desplazadas una posición hacia la derecha respecto de la fila justo anterior. Si ahora sumamos las columnas que nos quedan, obtenemos los números de la sucesión de Fibonacci:
Precioso, ¿verdad? Pues sí…pero si le echamos un nuevo vistazo a la tabla con las filas desplazadas y a la imagen que puse antes sobre los números de Fibonacci…¿lo veis? Exacto: son la misma cosa. Por lo que, por ahora, esto no aporta mucho más que lo que ya teníamos.
La cosa es que, al final de aquel post de Futility Closet, aparecía un enlace a otro post del mismo blog en el que se hablaba de números primos y el triángulo de Pascal (concretamente éste). Y de ello vamos a hablar ahora.
Lo que nos enseñaba Greg Ross en aquella entrada era una forma de detectar números primos usando los elementos del triángulo de Pascal de una manera cuando menos curiosa, y vamos a explicarla. Creamos una tabla en la que colocamos los enteros mayores o iguales que cero en la primera fila y en la primera columna, y dentro colocamos las filas del triángulo de Pascal de manera que la fila 
¿Cómo podemos ahora detectar números primos? Pues así:
Un número de la fila superior es primo si cada uno de los elementos de su columna es divisible por su correspondiente número de fila.
Podéis ver que este resultado se cumple en la tabla que hemos visto justo antes. Se puede ver que los números primos, recuadrados en rojo, cumplen que todos los elementos de su columna son divisibles entre los de la fila a la que pertenecen:
Este curioso resultado data de 1971 y fue demostrado por Henry B. Mann y Daniel Shanks. Podéis ver la demostración (bastante corta y sencilla) en A necessary and sufficient condition for primality, and its source.
Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro querido amigo Tito Eliatron.
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Del tri{angulo de Pascal también se puede deducir un caso del Pequeño Teorema de Fermat: «Cuando 2 elevado a la n menos 2 es igual a m, si m es multiplo de n, entonces n es primo.»
Es falso lo que dices, el enunciado correcto es el recíproco. Por ejemplo, es fácil ver que
por lo que tendríamos que 2 elevado a la 2047 menos 2 es múltiplo de 2047 pero 2047 no es primo, de hecho 2047=23*89 . Saludos
Hola Cristhuk, no entiendo cómo dices que 2^2047 es congruente con 2 en módulo 2047 si ninguna potencia de 2 es impar.
No se que tiene que ver.
4096 es congruente con 2 modulo 2047 y es par..
4096 = 2047 * 2 + 2
Cristhuk tienen razon, los primos cumplen que 2^(n-1) es congruente con 1 modulo n.
Pero hay números no primos que también cumplen esa propiedad.
Hola Nilton, yo también he llegado a esa conclusión y acortando un poquito más, sería (2^(n-1)-1)/n
Al observar el triangulo puedo ver que el segundo numero de la n-esima fila es el mismo que el n-esimo elemento de la serie de fibonacci. Por lo menos viendo los del grafico de arriba, el 5 esta en la 5ta fila, como segundo numero. Y el 8 esta en la octava fila, segundo numero. ¿Saben si se cumple para todo elemento de la serie?
La deducción es general para todas las filas con n número natural {1,2,3,..}, y no solo para la serie de Fibonacci, sino para todas las series de naturales: Ej, para los primos, en la 7ma fila el segundo número es el 7…
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primos (con un numero primo de digits) sueltos:
1111111111111111111 – 19d
22333555557777777111111111111111111111113131313131313131313131313171717171717171717171717171717171737 – 101d(un primo mayor de Google)
23571113171923293137414347535961677173798389971011031071091131271311371391491511571631671731791811951 – 101d
11111111111111111111111 – 23d
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000267 – 101d(el primer primo mayor de Google)
primos procesados en numberempire.com
lo mismo que 100.000! : https://magicterra.blogspot.com/2017/07/factorial-de-100mil.html
Uhhh, comentario tan sencillo pero hay que hincarle el diente con cuidado! Tu comentario esta divido en dos partes que son diferentes: PRIMERA. «Al observar el triángulo puedo ver que el segundo número de la n-ésima fila es el mismo que el n-ésimo elemento de la serie de fibonacci» Así dicho, la conclusión es equivocada: por contraejemplo, en la 4-ésima fila del Triángulo, el segundo número es el 4 (y 4 no es el 4-ésimo elemento de la serie de Fibonacci >>> el 4-ésimo elemento de esa serie es el 3). SEGUNDA. «Por lo menos viendo los del gráfico de… Lee más »
Gracias Miguel Angel… estoy sorprendido!. Qué bellas son las mates!!!
Hay algo más en el triángulo de Pascal con relación a los primos. El primer número después del 1 cuando es primo, todos los demás de su fila son múltiplos de él a excepción del 1, con el resto de los números no ocurre, así por ejemplo en la fila del 9 hay un 84 que no es múltiplo de 9. Voy a probar un poco más.
Donde no hay patrón, no hay patrón. Se rompe en el 19.
Me equivoqué en las sumas, hasta el 23 se sigue cumpliendo que los números de su fila en el triángulo son múltiplos. Como hacer todas las sumas es muy pesado y muy fácil equivocarse, también he observado que el tercer número, sin contar el 1, solo es múltiplo cuando la fila es de un primo.
7-35 11-165 13-286 17-680 19-969 23-1771
Sigo avanzando, ahora ya se aplicar el binomio de Newton, y cuando m=primo da lo mismo n que utilice que el resultado siempre es múltiplo de m. Sin embargo, con los impares compuestos, el resultado no es múltiplo de m cuando n es un divisor de m.
Por ejemplo para m=77 ,no he calculado todo el desarrollo, pero n=7 y n=11 no dan múltiplos de 77. Con m=21 pasa igual, falla n=3 y n=7.
En mi hoja de calculo (de IBM lotus symphony) se cumple hasta el 61 y empieza a fallar en el 67 { 7 trillones886 597 962 249 170 000/67 no da entero}[pero no se si es por capacidad de calculo con numeros grandes? (me refiero a que después de cierto número la hoja de calculo cambia los dígitos finales de un número por ceros)]
En mi hoja de calculo (de IBM lotus symphony) se cumple hasta el 61 y empieza a fallar en el 67 { 7 trillones886 597 962 249 170 000/67 no da entero}[pero no se si es por capacidad de calculo con numeros grandes? (me refiero a que después de cierto número la hoja de calculo cambia los dígitos finales de un número por ceros)] ( …. continuación) correspondiente a la fila 67-ésima y la columna 29-ésima y por lo tanto su valor es el del coeficiente binomial = 7886597962249166160 por contraposición al = 7886597962249170000 que dio mi hoja de calculo… Lee más »
No
…»para CUALQUIER c, (natural entre 0 y f exclusivamente), se tiene que:»….
Sino
…»para TODO c, (natural entre 0 y f exclusivamente), se tiene que:» …
…
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O, enunciado alternativo de la CONJETURA de Y.G (en lenguaje odioso*):
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…o más bien ???:
que.. entre otras, te tengo noticias Y.G., no es tu conjetura. Aquí [http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo/triangulo.html] lo nombran como una propiedad del Triángulo de Pas¿cual? y al final de la pagina encontraras un generador on line de TdP tipo hoja de calculo.
Editar código Latex on line
http://rinconmatematico.com/mathjax/
ecelente parrse!
[…] quieres saber las muchas utilidades que tiene este maravilloso triángulo, pincha en el siguiente enlace. Seguro que te […]
Esto sí es teoría de números.