El otro día me encontré en Shurmáticos (el canal de Telegram de Juan Medina) un bonito ejercicio relacionado con el producto de matrices que no recordaba haber visto antes. Se me ocurrió publicarlo en Twitter a modo de encuesta y tanto el resultado de la misma como muchas de las respuestas recibidas me han parecido tan interesantes que me he animado a hablar sobre ello en el blog.


El mundo de las matrices posee multitud de curiosidades, tanto sobre propiedades que son ciertas como sobre cuestiones que son falsas. Quizás la más conocida, y la más complicada de asimilar al principio (por ser tan distinta a lo que pasa en los números reales), es que el producto de matrices no es conmutativo. Por poner un ejemplo, tomad las matrices A y B siguientes y realizad los productos A \cdot B y B \cdot A:

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Ésa es la razón por la que, en general, (A+B)^2 no es igual que A^2+2AB+B^2 cuando hablamos de matrices. De hecho hay más: no siempre se puede realizar el producto de dos matrices. Para que se pueda, debe cumplirse que el número de columnas de la primera de ellas sea igual al número de filas de la segunda.

Bueno, vamos al tema de hoy. El ejercicio en cuestión es el siguiente:

Si A es una matriz 3 \times 2 (esto es, con tres filas y dos columnas) y B es una matrix 2 \times 3, entonces det(A \cdot B)=0 (como es habitual, det simboliza «determinante»).

Lo propuse en Twitter a modo de encuesta con las opciones «Verdadero (se cumple para todas las matrices A y B de esos órdenes)» y «Falso (sólo cierto en algunos casos)» en este tuit, y pedí que la gente respondiera primero según su intuición y después se pusiera a intentar demostrarlo. Tras casi 2000 votos, el resultado de la encuesta fue el siguiente:

Casi el 70% de los que votaron se decataron por «Falso». Sin escribir nada y sin pensarlo mucho, ¿cuál crees tú que es la respuesta correcta? Vamos a darle una vuelta al problema.

El producto de una 3 \times 2 por una 2 \times 3 da como resultado una matriz 3 \times 3, por lo que (como comentaron algunas personas) da la sensación de que este problema dice que toda matriz 3 \times 3 tiene determinante 0, lo cual es evidentemente falso (por ejemplo, la matriz identidad tiene determinante igual a 1). Por otro lado, por las características singulares de las matrices, hay muchas supuestas propiedades que en un principio pueden parecer verdaderas pero para las que, de pronto, aparecen contraejemplos por todos lados, por lo que en realidad son falsas. Ésta podría ser una de ellas…

…pero no es así: la propiedad es cierta, hecho que sorprendió a mucha gente (no hace falta más que mirar el resultado de la encuesta).

Hay varias formas de plantear la demostración de esta propiedad. Por ejemplo, bastaba con conocer la siguiente propiedad del rango de una matriz:

rango(A \cdot B) \leq \mbox{m\'in} \{rango(A),rango(B) \}

Como tanto A como B tienen, como mucho, rango 2, el rango de A \cdot B es también como mucho 2. Y una matriz 3 \times 3 con rango máximo 2 tiene, obligatoriamente, determinante igual a 0.

Pero sin conocer esta propiedad del rango escrita de esta forma se podía haber demostrado de manera relativamente sencilla la validez de este enunciado. Si escribimos las matrices destacando los elementos de A y las filas de B, obtenemos las siguientes filas al multiplicar:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \, F_1 \, \dots \\ \dots \, F_2 \, \dots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a F_1+b F_2 \\ c F_1+d F_2 \\ e F_1+f F_2 \end{pmatrix}

Esto es, las filas de A \cdot B son combinaciones lineales de las filas de B. Como dos filas (vectores), sean o no independientes, no pueden generar tres filas (vectores) que sí sean independientes, el rango de A \cdot B es, seguro, menor que 3, y por tanto el determinante de ese producto es 0.

De forma análoga puede verse que las columnas de A \cdot B son combinaciones lineales de las columnas de A, por lo que podemos usar el mismo razonamiento que antes para demostrar la veracidad de nuestro enunciado.

En las respuestas a mi tuit-encuesta se plantearon más opciones, todas variantes de la que acabamos de comentar. Pero no quiero dejar de citar la que dejó @Cesar_Rellan en este tuit, con la que demuestra nuestro enunciado viendo las matrices como aplicaciones lineales y usando una propiedad de las aplicaciones biyectivas:

Por cierto, alguna persona comentó que sería interesante estudiar también el problema que aparece al multiplicar al revés. Esto es, ver qué ocurre con este problema:

Si A es una matriz 3 \times 2 y B es una matrix 2 \times 3, ¿es siempre det(B \cdot A)=0?

  • En caso afirmativo, ¿por qué?
  • En caso negativo, ¿se puede decir algo sobre cuándo es cero y cuándo no lo es?

Os invito a que investiguéis estos dos problemas y planteéis en los comentarios todas las demostraciones que se os ocurran para este curioso resultado y para su contrario. Y si conocéis más propiedades interesantes y curiosas sobre las matrices, no dudéis en comentárnoslas.

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