Se denomina fracción egipcia a la expresión de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.

Se puede demostrar que cualquier número racional positivo puede escribirse como fracción egipcia. Esta demostración está relacionada con la divergencia de la serie armónica.

Vamos a ver un algoritmo mediante el cual podemos representar cualquier número racional R entre 0 y 1 como fracción egipcia. Supongamos que tenemos una fracción así:

Fracción R

El algoritmo consiste en lo siguiente:

1.- Encontrar la fracción unitaria más cercana a R pero menor que él. El numerador será siempre 1 y el denominador será el cociente de la división de b entre a más 1. Si en alguna de esas divisiones no hay resto R es que hemos llegado a una fracción unitaria y por tanto hemos terminado.
2.- Calcular la resta R menos esa fracción unitaria y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como el nuevo R.

Vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo de fracción egipcia

La representación de un número racional entre 0 y 1 no es única. De hecho, por ejemplo, esta misma fracción se puede representar de una manera más sencilla:

Fracción más sencilla

Otro ejemplo de esta falta de unicidad es el siguiente:

– Mediante este método obtenemos

Otro ejemplo con el método

– Pero de otras formas podemos obtener una expresión más sencilla de esta fracción

El otro ejemplo más sencillo

Las fracciones unitarias ya aparecían en el Papiro de Rhind. Por ello se le denominan fracciones egipcias.

Y para terminar un reto: encontrar una fracción con una expresión sencilla como suma de fracciones unitarias pero que tenga una expresión ciertamente complicada con el método que hemos expuesto. Esto es, un ejemplo del estilo al último que hemos puesto.

Fuentes:

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