Ir a Construcciones con regla y compás (II)
Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.
La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos y
:
Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero
Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es muy sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en
y radio
y otra con centro en
y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos
. Trazando los segmentos
y
obtenemos el triángulo equilátero
.
Polígono regular de 4 lados: Cuadrado
La construcción del cuadrado también es sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en
y radio
. Esa circunferencia corta al eje
en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos
. Trazamos la recta paralela al eje
que pasa por
y la recta paralela al eje
que pasa por
. El punto de corte de las mismas, digamos
, es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos
,
y
obtenemos nuestro cuadrado.
Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular
La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:
Trazamos la paralela al eje
que pasa por
, digamos
. Se traza la mediatriz del segmento
obteniendo el punto
como corte con el eje
. Trazamos la circunferencia de centro
y radio
, digamos
. Obtenemos el punto
como corte de
con la recta
. Con centro en
trazamos la circunferencia de radio
,
, obteniendo el punto
de corte con el eje
. Trazamos ahora la circunferencia de centro
y radio
,
. Obtenemos el punto
al cortar con
y el punto
como corte con la mediatriz del segmento
. Para obtener el vértice que nos falta,
, simplemente construimos el punto simétrico a
respecto de la mediatriz del segmento
. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado.
Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular
La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:
Con radio
trazamos circunferencias con centro
y
. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos
. Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro
y radio
. Obtenemos los puntos
y
como cortes con las circunferencias anteriores y
como corte con el eje
. Trazando la paralela al eje
que pasa por
obtenemos el último vértice,
, como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.
Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular
El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué:
Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la relación de los puntos del plano con los números complejos, para construir un polígono regular de
lados debe ser construible el número complejo
. En el caso del heptágono debería ser construible el punto
. Tenemos que el polinomio
tiene a
como raíz. La descomposición en polinomios irreducibles en
queda así:
. Como
no es raíz de
debe serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es
, y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mínimo irreducible en
debía ser una potencia de
. Por tanto no podemos construir el número complejo
y en consecuencia tampoco el heptágono regular.
Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte sí. Y nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables, probablemente el que más. Vamos con el resultado:
Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)
Un polígono regular de
lados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos de
es de la forma
![]()
siendo
y los
primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma
).
Es decir, que un polígono regular es construible si el número de lados del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o producto de una cierta potencia de 2 (pudiendo ser ) y varios primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos regulares que podemos construir con regla y compás. Así el triángulo (
), el cuadrado (
), el pentágono (
) y el hexágono (
) son construibles con regla y compás pero el heptágono regular (
) no lo es. Continuando, el octógono regular (
) sí es construible pero el eneágono regular (
) no lo es.
Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y la otra fue demostrada por Pierre Wantzel.
Una de las construcciones de polígonos regulares con regla y compás más conocidas es la del heptadecágono (polígono regular de lados). La primera demostración de que esta construcción es posible se debe también a Gauss que la encontró cuando contaba con 19 años de edad, aunque parece ser que la primera construcción física de este polígono se debe a Johannes Erchinger. Parece ser que el hecho de encontrar la solución a este problema (que aparece en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae) hizo que Gauss se decantara por las Matemáticas en vez de por la Filosofía. Puede ser que sea ésta la razón por la que mandó que se grabara un heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encargado del asunto, al ver la dificultad de la construcción y que apenas se distinguiría de un círculo, terminó grabando una estrella de 17 picos (Fuente: Dios creó los números, de Stephen Hawking). Al final del artículo tenéis un enlace a una página donde, entre otros, podéis ver cómo construir un heptadecágono con regla y compás.
De hecho es el tercer primo de Fermat. Los cinco primeros (y los únicos que se conocen) son
y
, del cual ya hablamos hace unos días. La primera construcción que se conoce de este monstruo de polígono se debe a Johann Hermes y data de 1894, después de 10 años de trabajo. Si la construcción es correcta valió la pena tanto esfuerzo.
Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó Domingo en este comentario del primer post de la serie:
Fuentes de los 3 artículos
- Mis apuntes de Álgebra II
- Regla y compás en la Wikipedia
- Construcción de polígonos regulares
- Regla y Compás: Zirkel.jar: Programa hecho en Java perfecto para las construcciones con regla y compás. Es el que he usado para este artículo. Muy recomendable y libre. Lo encontré en el blog de Concepción: Muchas gracias.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
[…] Ir a Construcciones con regla y compás (III) Escrito por ^DiAmOnD^, 8 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Geometría […]
Me ha encantado el post. Está muy bien escrito y se lee y entiende fácilmente. Sólo dos comentarios que me gustaría que alguien más leído en historia confirmase: 1) el heptadecágono no fue construído por Gauss. Gauss demostró (en 1796) que podría construirse con regla y compás (en sentido abstracto), pero hubo que esperar a 1825 a que Johannes Erchinger lo construyera «físicamente» por primera vez (en 64 pasos). http://de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck 2) El heptadecágono no fue finalmente representado en la tumba de Gauss, pues el encargado de hacerlo hizo notar que la dificultad de su construcción no compensaba el esfuerzo necesario… Lee más »
Domingo buenas consideraciones. Eran dos detalles que yo creía ciertos. Supongo que las fuentes de donde los saqué (hace tiempo ya) no era lo suficientemente fiables. Para la comprobación de los dos detalles cito ahora las fuentes consultadas: –Construcción del heptadecágono: Al parecer Gauss sólo demostró que es posible construirlo con regla y compás. Puede verse esa demostración en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae. –Inscripción en la tumba: Gauss mandó construir el heptadecágono en su tumba. Pero al parecer el albañil encargado, vista su dificultad y que apenas se distinguiría de un círculo, acabó construyendo una estrella de 17… Lee más »
^DiAmOnD^, dado un polígono regular de n lados se puede trazar el correspondiente de 2n lados considerando la circunferencia circunscrita al primero y trazando mediatrices por cada uno de los lados (la intersección de las mediatrices con la circunferencia define los vértices restantes del polígono de 2n lados). Esto permite trazar los casos n=6,8,10,12,16 a partir de los casos n=3,4 y 5. El siguiente polígono constructible sería el de n=17. Para completar el tema, estaría bien incluir el mecanismo más simple que haya para la construcción de este polígono , no crees??? Hay por ahí sitios donde se indica Este… Lee más »
Domingo el primer tema que planteas es bastante claro. No lo incluí por eso, aunque ahora que lo pienso igual hubiese sido interesante.
Sobre el polígono de 17 lados…pues tienes razón. He dejado por ahí un enlace donde explica una construcción, pero es cierto que sería interesante explicarlo en un artículo. Por la exigencia del asunto igual es mejor hacerlo en un artículo aparte. ¿Qué os parece?
De nada, ^DiAmOnD^. Gracias a ti también por tus interesantes aportaciones.
[…] En Gaussianos, ^DiAmOnD^ acaba de publicar los posts Construcciones con Regla y Compás (III): los polígonos regulares. La parte II de la serie fue también publicado ya, con el interesante tema Los problemas délicos: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo utilizando solamente regla y compás, problemas irresolubles, tal como demuestran en el post citado. Estas construcciones con regla y compás y otras cuestiones sobre matemáticas interesantes, también pueden verse en Hispaciencia. […]
[…] Os polígonos regulares. […]
Quería saber si conoces el planímetro: este instrumento se utiliza para el calculo de áreas irregulares. teniendo en cuenta que tiene su error al medir por una rodadura, pero me gustaría que existiera un post sobre «planímetro ideal» y por qué tiene esta particularidad. Agrego lo que encontré en Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Plan%C3%ADmetro » Metodo de medición Se tiene un origen O, dos longitudes constantes conocidas R y L, y los ángulos variables y respectivamente, que se forman con la horizontal. Para poder calcular el área A de la sección irregular, según la teoría del cálculo, se emplea una integral… Lee más »
yo lo que busco es como transportar la poligonal con regla y compas
El hexágono se puede construir sin trazar ninguna paralela. Simplemente con circunferencias se obtienen los vértices.
mile grasi x lo respuesta
[…] Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre construcciones con regla y compás que recuerdo aquíaunque en Gaussianos ya lo conocemos: […]
yo quiero una rosa cromatica de dose lados ..porf ayu
me gusto MUCHO esta muy Bueno esta pagin a
esta pagina es bacana pero falta un poco mas
el mejor es el de 23 puntas
que buena pagina los felicito nuca vía visto una pagina así me ayudo mucho gracias
inteligencia quien lo diseño
siiiiiiiiii
wow, me alegro que haya gente que se interese en ayudar, a mi me sirvió muchísimo para las bases de un proyecto escolar, muchas gracias, está muy comprendible, bien redactado y me ayudaron mucho los dibujos y ejemplos. Gracias DIAMOND
Hola Diamond: espero que esta página quede vigente varios años porque estoy a punto de referenciarla en un libro, espero que no te importe. Todo el crédito y referencia lo tendrás.
Me pregunto cómo se pueden trazar dos líneas paralelas con una regla. Supongo que se simplifica. Sí que se puede con regla y compás.
muy bien echo muchachos
Hola, muchas gracias por el aporte, en verdad me ha sido de gran ayuda. Saludos…
Ni e entendido la del Hectagono
Y…
…esas no son todas
Pliss Pomgan las demás
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