El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.
Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.
La Fórmula de Herón
Herón de Alejandría fue un matemático e ingeniero griego que vivió en el siglo I a.C. Aunque no nos vamos a extender en su biografía comentar que fue más ingeniero que matemático, aunque en el campo de las Matemáticas escribió una obra llamada La Métrica donde estudió áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Pero sin duda el aporte en Matemáticas más importante hecho por Herón fue la siguiente fórmula, conocida por fómula de Herón:
Teorema: (Fórmula de Herón)
Dado un triángulo cualquiera de lados , y siendo
su semiperímetro se tiene que el área
de ese triángulo puede calcularse mediante la siguiente fórmula:
Es decir, la fórmula de Herón relaciona directamente el área de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Demostración
Supongamos que las longitudes de los lados del triángulo son y los ángulos opuestos a cada uno de los lados son
respectivamente. Por el teorema del coseno tenemos que:
Por la identidad fundamental de la trigonometría () tenemos:
Teniendo en cuenta que la altura de un triángulo de base es
y desarrollando a partir de la fórmula del área de un triángulo que conocemos (
):
También podéis ver una demostración geométrica de esta fórmula en este artículo en MathForum. Probablemente para el caso que nos ocupa sea más apropiadad que la analítica al no utilizar el teorema de Pitágoras ni la identidad fundamental de la trigonometría.
Demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón
Vamos ahora con la parte importante del artículo:
Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos son y su hipotenusa es
. Entonces su área es
.
Siendo el semiperímetro del triángulo rectángulo se tiene que
y
. Elevando al cuadrado la fórmula de Herón, sustituyendo estos datos en ella y multiplicando por 16 a ambos lados tenemos lo siguiente:
Haciendo algunas operaciones sencillas llegamos a:
Partiendo de la fórmula conocida del área de un triángulo rectángulo, elevando al cuadrado y multiplicando por 16 a ambos lados obtenemos lo siguiente:
Igualando las dos expresiones llegamos a:
Pasando todos los términos al lado izquierdo y agrupando:
Aplicando la fórmula del cuadrado de una suma y sacando factor común:
Y aplicando ahora la fórmula del cuadrado de una diferencia:
Por tanto , quedando así demostrado el teorema de Pitágoras.
Fuentes:
- Fórmula de Herón en la Wikipedia (inglés)
- A proof of the Pythagorean Theorem from Heron’s Formula en Cut-the-Knot
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Interesante como siempre, aunque lo mata un poco el hecho que se se use la identidad fundamental de la trigonometría, que ya es el teorema de pitágoras normalizado (aunque por supuesto puede probarse de forma independiente partiendo de las series de Taylor del seno y el cose, p.ej.).
Triángulo 3 4 5.-La hipo.menos el cateto mayor es 1,(dif.menor h) y primer término de la serie (2n-1)`^ y La Hipo-cat-menor es 2(dif.mayor k) y primer termino de la serie (2n)^`.-La Notación de Cardano para la raiz cuadrada es R: Entonces a= h + R:2hk =1 + R:2.1.2 = 1 + 2 =3.- b= k +R:2.1.2 = 2+2=4 y c=h+k+R:2.1.2=1 +2+2 =5. Las seriesson 1 9 25 49 81………y 2 8 18 32 …… Utilizando simultanea e indistintamente cualquier término de ambas series se pueden obtener las soluciones exactas de cualquier triángulo.Yo a ésta Invencion mia la bautizo como Diferencias… Lee más »
He cometido un error .la serie correcta es 2n^ sin el parentesis.Perdón.
Muy buena observación, Pasotaman, ¿cómo justificas eso, ^DiAmOnD^?
Lo digo porque si aceptamos que
, entonces, para un triángulo rectángulo con lados a, b y c, siendo a la base, c la hipotenusa, y
el ángulo que forman a y c, tenemos:
y nos queda:
y por lo tanto:
, el teorema de Pitágoras.
No sé si han leído el libro «Euler. El maestro de todos los matemáticos». Aparece la demostración simplificada que da Euler a la fórmula de Herón y otras demostraciones posteriores más simples. Lectura muy recomendable.
hola
soy nuevo aquí comentando
pero ya he estado visitando la pagina desde hace mucho
me parece interesante todo lo que publican aquí
ya que me gustan las matematicas
no soy tan avanzado como ustedes
pero he aprendido un poco de aqui
jeje
saludos
Vaya, interesante cuestión Pasotaman. Vamos a ver, creo que el problema principal sería el siguiente: Con el teorema de Pitágoras probamos la validez de la identidad fundamental de la trigonometría. Después usamos ésta para demostrar la fórmula de Herón y para finalizar con ésta última probamos el teorema de Pitágoras. Evidentemente esto no sería posible. Pero el propio Pasotaman da la clave: para demostrar la identidad fundamental de la trigonometría no nos hace falta conocer el teorema de Pitágoras, podemos hacerlo por series de Taylor. Podéis verlo en la Wikipedia inglesa. De todas formas también es cierto que la demostración… Lee más »
Aquí tienes la página web de la editorial donde se presenta el libro
http://www.nivola.com/framelibro.asp?ref=12
Desde mi punto de vista el problema es que se trata de demostrar un teorema sencillo partiendo de otro más complejo que de alguna manera ya lo incluye de manera intrínseca. Por eso para demostrar el teorema de Pitágoras lo ideal en mi opinión son las demostraciones básicas y visuales como la que ya se publicó. Utilizar las series de Taylor para probar la identidad fundamental de la trigonometría me parece una ‘burrada’, pues considero que es una herramienta muy avanzada (derivadas, series infinitas…) para demostrar algo tan básico. Es decir, me parece inconcebible que se hubiera podido desarrollar toda… Lee más »
Mi opinión sobre el tema es que lo preferible para dejar el desarrollo en un nivel elemental sería una demostración puramente gráfica de la fórmula de Herón. Sé que existe (la vi hace unos años en un libro de topografía) aunque no sería capaz de reconstruirla ahora. Sin embargo, para mí me quedo claramente con la forma de introducir las funciones trigonométricas del Calculus de Apostol (introduce sus inversas como integrales). De ahí se deducen bien sus propiedades y además se conecta fácilmente con los triángulos, simplemente definiendo los ángulos como áreas. El teorema de Pitágoras es entonces un resultado… Lee más »
La prueba geométrica:
http://mathforum.org/library/drmath/view/54686.html
Es difícil saber si es necesario el teorema de Pitágoras para demostrar alguna de las relaciones de semejanza que se emplean en este desarrollo, pero en principio yo diría que no.
el libro sobre Euler es una maravilla para todos los aficionados a los malabarismos matemáticos. Perfectamente escrito a nivel divulgativo y con el rigor necesario en muchas demostraciones. Es accesible con una base sólida de conocimientos matemáticos a nivel de educación secundaria.
En el libro viene el modo en que Euler simplifica la prueba de Herón, y como apéndice da dos pruebas muy elementales basándonse en fórmulas trigonométricas usuales (tangente de la suma y teorema del coseno).
¿Creéis que vale la pena reproducir esas demostraciones de la fórmula de Herón aquí?
Asier estamos de acuerdo con que las demostraciones ideales del teorema de Pitágoras son las visuales, como la anterior que publiqué. Con este post simplemente pretendía que vierais otra manera de demostrarlo probablemente poco conocida. Puede que utilizar las series de Taylor sea excesivo, pero en principio no supone ningún problema y arregla el tema de suponer cierto lo que se comprueba después. Pasotaman vi esa demostración anoche poquito después de poner mi anterior comentario, pero no me dio tiempo a analizarla. Parece que no utiliza el teorema de Pitágoras y que por tanto nos serviría. Domingo a mí sí… Lee más »
Pasotaman, efectivamente, en la demostración que has enlazado no se usa Pitágoras para nada. Solo se hace uso de semejanza de triángulos y de la fórmula base por altura entre 2.
A mí me parece que esa demostración es más simple que las que aparecen en el libro de Dunham sobre Euler.
Pues nada, enlazo esa en el post como demostración geométrica alternativa a la analítica que puse yo y más apropiada por el hecho de no usar la identidad fundamental de la trigonometría.
q saben d la ley de tangentessssssss ????
Algo elemental: La fórmula de Herón también se aplica en el cálculo de la superficie de cualquier polígono irregular. Bastará con diseccionar el polígono en triángulos y luego sumar las áreas. Por extensión entonces, también es aplicable en el cálculo de la superficie de cualquier poliedro irregular.
Me ha surgido una duda relacionada con el teorema de Pitágoras (o al menos relacionada con su ecuación).
Sabemos que la ecuación
se cumple con ciertos enteros , a los cuales se les denomina ternas pitagóricas.
Estoy interesado en saber si la ecuación
tiene soluciones para números enteros. El caso general sería
.
Para el ejemplo se me ha ocurrido escribirlo como
, tenemos así la ecuación pitagórica, pero no parece que esto implica que la ecuación no tenga soluciones enteras. ¿Sabeis algo acerca de estas ecuaciones?
Es decir,
tienen que ser cuadrados perfectos para que existan soluciones enteras?
Aquí hay un sitio muy interesante de Ron Knott sobre ternas pitagóricas:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html
Asier, puedes hacer un estudio totalmente análogo al de las ternas pitagóricas para resolver la ecuación diofántica
. En particular, las ternas
resuelven la ecuación que indicas.
Por otro lado un cálculo rápido e informal que he hecho indica que si el cociente
es un cuadrado entonces
resuelven la ecuación más general
.
Aunque no he mirado con detenimiento, puede ser que para que la ecuación sea resoluble (con solución no trivial) al menos uno de los cocientes
y
debe ser positivo (esto es obvio) y cuadrado perfecto. Habrá que mirarlo con tiempo.
Con las prisas pasé por alto una cosa:
las soluciones se expresan en familia biparamétrica como
y
respectivamente, con
enteros arbitrarios.
Gracias Omar-P por el link, parece muy completo aunque parece que se centra exclusivamente en las ternas de la ecuación clásica. Gracias también Domingo por ese análisis que has hecho. No es mi intención plantear aquí la solución general de estas ecuaciones pues parece que tiene mucha miga. Esto ha venido a cuento de un problema que he visto y me ha llamado la atención. Parece que no debería ser complicado aunque no he conseguido resolverlo. Se trata de saber si este sistema de ecuaciones tiene alguna solución para enteros que no sea la trivial: Sí, son dos ecuaciones y… Lee más »
De todos modos, la condición de que algunos de los dos cocientes sea cuadrado parece necesaria, ya que he visto por reducción al absurdo que la ecuación
no tiene soluciones enteras (con mcd igual a 1). Basta tomar congruencias módulo 3 para verlo.
Asier, en respuesta a tu sistema de ecuaciones diofánticas, hay que decir que no existen soluciones cuyas componentes sean todas no nulas. Es fácil ver que si entonces . Y si entonces las soluciones cumplen (las barras indican valor absoluto). Para ver que no hay soluciones cuyas componentes sean todas no nulas, elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y las restamos, para obtener la relación . Pero resulta que la ecuación diofántica no tiene soluciones en los enteros positivos (o no nulos). Por tanto, el sistema que planteas no puede tener soluciones con todas las incógnitas no nulas. La ecuación diofántica… Lee más »
Muchísimas gracias por esta respuesta, Domingo!
La acabo de ver y la estudiaré con algo más de detenimiento.
Me había parecido interesante debido a que si os fijais bien, la interpretación geométrica del sistema de ecuaciones es la construcción de dos triángulos rectángulos en los que la hipotenusa de uno de ellos (a) es un cateto de la otra y además el otro cateto (b) lo tienen ambos de igual longitud. Por lo visto no es posible la construcción de dicha figura siendo los lados números enteros.
olla me da gusto k puedan aportar sus puntos de opinion esta muy interesante k podamos aprender un poco de odos para asi aser mas extenso nuestro punto de vista
Hola, tengo una duda acerca el teorema funda-mental de la trigonometria… ¿¿como se demuestra??
hola, soy una gran fanatica de las matematicas y e estudiado mucho el teorema de pitagoras.
Me parese muy bueno el prosedimiento…
y respondieron a barias de mis dudas…
muchas gracias
yo busco las formulas de teorema
me encanta que pongan todos esos ejemplos del teorem pero…y los resultados?¿
jajaj
hola, soy un gran fanatico de las matematicas y e estudiado mucho el teorema de pitagoras,
gracias a ustedes repondi muchas de mis dudas
muchas gracias
olaa! soy una niña de 14 años i el juves 23 d abril tengo un examen muy importante d matematicas i debo aprovarlo o sino suspendere matematicas. trata sobre el teorema de pitagoras pero los ejercicios son con ecuaciones i no tengo ni idea,tambi es del teorema d tales i de semejanza d triangulos. porfavor necesito q medigais algunos trucos o formulas faciles y que me lo expliqueis un poco. la verdad esque no entiendo de matematicas no soy la tipica lista d la clase i no me entero d nada en clase y bueno necesito aprovar de verdad. agradeceria… Lee más »
ola soy la de antes porfavor si podeis ponerme un ejemplo me vendria perfecto.
gracias!
besos!
camara por ayudar alos nesecitados gracias a toda la vandera
[…] encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este […]
muy bueno y entendi por fin
me parece chido
Lo interesante es que mediante el teorema de Pitágoras los estudiantes pueden resolver problemas cotidianos, aplicado a su vida real como es encontrar la longitud de una escalera, el alto de una pared. etc.