El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.

Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.

La Fórmula de Herón

Herón de Alejandría fue un matemático e ingeniero griego que vivió en el siglo I a.C. Aunque no nos vamos a extender en su biografía comentar que fue más ingeniero que matemático, aunque en el campo de las Matemáticas escribió una obra llamada La Métrica donde estudió áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Pero sin duda el aporte en Matemáticas más importante hecho por Herón fue la siguiente fórmula, conocida por fómula de Herón:

Teorema: (Fórmula de Herón)

Dado un triángulo cualquiera de lados a,b,c, y siendo s=\frac{a+b+c}{2} su semiperímetro se tiene que el área A de ese triángulo puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Es decir, la fórmula de Herón relaciona directamente el área de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Demostración

Supongamos que las longitudes de los lados del triángulo son a,b,c y los ángulos opuestos a cada uno de los lados son A,B,C respectivamente. Por el teorema del coseno tenemos que:

cos(C)=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Por la identidad fundamental de la trigonometría (sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1) tenemos:

sen(C)=\sqrt{1-cos^2(C)}=\cfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ab}

Teniendo en cuenta que la altura de un triángulo de base a es bsen(C) y desarrollando a partir de la fórmula del área de un triángulo que conocemos (A=\frac{1}{2}(base)(altura)):

\begin{matrix} A=\cfrac{1}{2}(base)(altura)=\cfrac{1}{2}absen(C)=\cfrac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}= \\ =\cfrac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}=\frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}= \\ =\frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{matrix}

También podéis ver una demostración geométrica de esta fórmula en este artículo en MathForum. Probablemente para el caso que nos ocupa sea más apropiadad que la analítica al no utilizar el teorema de Pitágoras ni la identidad fundamental de la trigonometría.

Demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón

Vamos ahora con la parte importante del artículo:

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos son a,b y su hipotenusa es c. Entonces su área es A=\cfrac{1}{2}ab.

Siendo s=\cfrac{a+b+c}{2} el semiperímetro del triángulo rectángulo se tiene que s-a=\cfrac{-a+b+c}{2},s-b=\cfrac{a-b+c}{2} y s-c=\cfrac{a+b-c}{2}. Elevando al cuadrado la fórmula de Herón, sustituyendo estos datos en ella y multiplicando por 16 a ambos lados tenemos lo siguiente:

16A^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

Haciendo algunas operaciones sencillas llegamos a:

16A^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4)

Partiendo de la fórmula conocida del área de un triángulo rectángulo, elevando al cuadrado y multiplicando por 16 a ambos lados obtenemos lo siguiente:

16A^2=4a^2b^2

Igualando las dos expresiones llegamos a:

4a^2b^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4)

Pasando todos los términos al lado izquierdo y agrupando:

(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 + c^4 = 0

Aplicando la fórmula del cuadrado de una suma y sacando 2c^2 factor común:

(a^2+b^2)^2 - 2c^2(a^2+b^2)+ c^4 = 0

Y aplicando ahora la fórmula del cuadrado de una diferencia:

((a^2+b^2)-c^2)^2=0

Por tanto (a^2+b^2)-c^2=0 \rightarrow a^2+b^2=c^2, quedando así demostrado el teorema de Pitágoras.

Fuentes:

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