A continuación, os propongo el problema de esta semana. Ahí va:
Para
, calcula cuántos valores distintos toma la expresión
No pongo todavía de dónde lo he sacado para que todo el que quiera pueda intentarlo. Si sabéis de dónde proviene, os agradecería que no dijerais nada. Muchas gracias.
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Toma 97 valores. p(n)=n^2-2 q(n)=n^2-n+2 r(n)=p(n)/q(n) La funcion q de denominador es continua en R, pues alcanza el minimo en x=0.5, y decrece desde -inf a 0.5 y crece de 0.5 a inf, por tanto, jamas se hace 0, y siempre es positiva q(n) en N. Si aplicamos la derivada a p(x)/q(x) vemos que sus 0 son en x1=4-raiz(14) y en x2=4+raiz(14), el 1º es menor que 1, y el 2 mayor que 7 y menor que 8. p(x)/q(x) es decreciente hasta x1, crece entre x1 y x2 y decrece a partir de x2 El limite cuando n-> inf de… Lee más »
Javier,
Si tienes una ecuación de 2º grado con coeficientes enteros, o racionales, y sabes que una solución es entera, o racional, solo puedes asegurar que la otra es racional. Y para n = 7 resulta que la otra solución es racional si, pero no entera: 26/3. Por tanto solo hay dos repeticiones y 98 valores diferentes.
Cierto, lo que he dicho yo solo se puede asegurar en las ecuaciones ax^2+bx+c=0 si |a|=1
La función
es creciente desde 
hasta 
y decreciente a partir de aquí, con límite 1. Como f(4) = 1, los valores que se pueden repetir son 
. Y efectivamente lo hacen dos de ellos:
Por lo tanto, como hay dos repeticiones en {1, 2, .., 100}, tenemos 98 valores distintos.
NaClU2,
Bien, el resultado de Ignacio Larrosa es correcto. Y como el problema ya está resuelto, os planteo lo siguiente: ¿cómo podríamos dar respuesta al problema sin utilizar funciones?
Este problema lo conozco jaja. Os pondré la solución que hallé durante la competición que puede que no sea la mejor, pero aun no vi a nadie que lo hiciera de la misma forma: Supongamos que para dos naturales y la expresión del enunciado da un mismo resultado . Por lo tanto, y son soluciones de la siguiente ecuación: Podemos asumir ya que la ecuación sería de primer grado. Por las formulas de Vieta tenemos Pero como podemos sustituirlo en la fórmula anterior Por lo tanto debe ser divisor de 14. Y como y son enteros positivos, los únicos pares… Lee más »
Coincido en que la mejor vía es la que argumenta Santi llegando a la condición sobre la búsqueda de divisores de . Se puede hacer de modo más simplón (con algunas cuentas más), quizá con la ventaja de que no hace falta saber siquiera las fórmulas de Cardano-Vieta. Si uno supone que tiene dos números para los cuales la expresión coincide, tiene una condición tipo Haciendo los productos cruzados y moviendo todo para un lado se deduce Dividiendo entre ya que e eran distintos se concluye Despejando la deducimos y, como es entero, debemos tener que divide a . Se… Lee más »
En esta bonita solución de Santiago Velázquez, hay dos fases importantes. Una es la de pensar que conocemos cual es la suma de la dos soluciones de una ecuación de segundo grado y que esta suma es un cociente sencillo. Y la segunda, (la que más me extrañó a mí; que soy un neófito a la hora de conocer los truquillos varios para la resolución de los problemas matemáticos de tipo sencillo) es la de pensar en transformar la expresión de b en un cociente fértil, es decir con un valor del numerador definido (14/ (a-4)); por el que pasamos… Lee más »
Muy buena solución, Santiago.
[…] Número de valores distintos […]
Lo mismo:
Si pasamos “y=f(x)” a “x=g(y)” fácilmente vemos que los valores de “y” pueden oscilar entre “-raíz(8/7)” y “+raíz(8/7)”
Por el doble signo de la raíz podemos afirmar que por cada “y” existen dos “x” salvo en el caso del discriminante “0” que corresponde a “y=raíz(8/7)”
Si hacemos “x=g[raíz(8/7)]” acotamos por una parte la “x” y por otra haciendo “x=g[f(100)] tenemos la otra cota.
Saludos
Vaya, llevaba unos días sin abrir feedly y no sabía que habías compartido el problema de la Olimpiada.
En mi solución uso un enfoque semejante al de Santiago Vázquez:
http://matematicasnarua.blogspot.com.es/2017/03/liii-olimpiada-matematica-espanola.html
Si en la sucesión de término general \( a_{n}=\frac{n^2-2}{n^2-n+2} \) existen términos cuyos valores están repetidos, entonces debe haber al menos un \( n \) para el cual se cumpla lo siguiente: $$a_{n}=\frac{n^2-2}{n^2-n+2}=a_{n+m}=\frac{(n+m)^2-2}{(n+m)^2-(n+m)+2}$$ Aislando \( m \) en la expresión de arriba, nos queda que: $$m=\frac{-n^2+8n-2}{n-4}$$ Ahora, podríamos empezar a sustituir \( n \) por los números naturales que nos pide considerar el ejercicio y ver si para alguno de ellos \( n+m\in\{2,3,4,\ldots100\} \). Sin embargo, esto no es necesario si examinamos la fracción \( m=\frac{-n^2+8n-2}{n-4} \). Por un lado, tenemos que \( -n^2+8n-2 \) representa a una parábola invertida… Lee más »
Muy buena solución. Viéndola se me ocurre también otra:
divide a 
y el resto ya es probar.
Empezando de la misma forma, $$m=\frac{-n^2+8n-2}{n-4} \Rightarrow m-8=\frac{-n^2+8n-2}{n-4}-8 = \frac{30-n^2}{n-4}=\frac{(4+n)(4-n)+14}{n-4}$$
De esto se deduce que
Gracias. Tienes toda la razón, al restar 8 a m se llega más rápidamente a la solución. No me di cuenta de ese detalle. Muy buena. Además, me gusta mucho la condición a la que llegaste con tu desarrollo, ya que a través de ella (me refiero a que un (n-4) divide a 14) se deducen las dos soluciones sin tener que calcular a(7). Muy elegante, si señor.
Pasaba por aquí. Al ver que sigue el interés por este problemita, me he puesto a indagar un poco. Sea, de una manera algo más general, una función x^2+c / (x^2+bx+d), que deseamos conocer cuantas veces repite sus valores. Por el método sencillo de Santiago, obtenemos que si las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, son x1 y x2; entonces x2 – (c-d)/b = (bc + ((d-c)^2 /b)) / (bx1-c+d), en el que vemos que b debe de ser divisor de (c-d) y después (bx1-c+d) debe de dividir al entero bc + ((d-c)^2 /b). Para iniciar el estudio… Lee más »
Llama al atención que los menores números «c», sean , de una manera tan dominante, 2^2 o 3^2. Pero lo más raro de todo, es que el menor (valor absoluto) del número c, para las difíciles 19 repeticiones (en el caso de repeticiones en número primo p, el menor (d-c)^2 + c posible ha de ser de la forma 2^(p-1)*q; siendo q otro primo; el menor posible) ;es el número primo 337. Será el azar, esta vez.
Como lo relatado en comentario anterior, es deuda, a veces; he aquí, después de varias horas largas de ordenador y de mucho espacio memorífico ocupado; La sucesión de los menores n números consecutivos que generan repeticiones para este tipo de funciones : 23, 33, 93, 242, 11605, 157493, 171893, … El séptimo término es 171893 porque (171893, 171894, 171895, 171896, 171897, 171898, 171899) son 7 números consecutivos, todos ellos de la forma (d-c)^2 + c, para algún valor del par (c,d) en cada caso; y cumpliendo todos ellos, que para este tipo de funciones, existirán 4 repeticiones en cada uno… Lee más »
***Función (x^2 + c)/(x^2 – x + d); m = (d-c)^2 + c ha sido elegido de manera que tenga el doble de divisores (8 en este caso) que el número de las repeticiones de los valores de la función, para dos valores distintos de su variable x. Y además, m = 171893 es el menor número m, m+1, …, m+k-1, de k = 7 números consecutivos con tal propiedad; t^2 = 4(m-d) + 1 *** * t = 837; (d-c)^2 + c = 171893 = m; primer valor de «c» * n=-417;for(x=n,n,print((x^2-2831)/(x^2-x-3249))) 171058/171057 n=171475;for(x=n,n,print((x^2-2831)/(x^2-x-3249))) 171058/171057 n=-399;for(x=n,n,print((x^2-2831)/(x^2-x-3249))) 8230/8229 n=8629;for(x=n,n,print((x^2-2831)/(x^2-x-3249))) 8230/8229… Lee más »
n=31;for(x=n,n,print((x^2-60)/(x^2+13*x-450))) 901/914 n=870;for(x=n,n,print((x^2-60)/(x^2+13*x-450))) 901/914 Y otras 15 repeticiones de valores tomando los otros 15 divisores dos a dos de 840. … n=25;for(x=n,n,print((x^2+264)/(x^2+23*x-288))) 889/912 n=864;for(x=n,n,print((x^2+264)/(x^2+23*x-288))) 889/912 Y otras 15 repeticiones de valores tomando los otros 15 divisores dos a dos de 840. … n=22;for(x=n,n,print((x^2+399)/(x^2+37*x-378))) 883/920 n=861;for(x=n,n,print((x^2+399)/(x^2+37*x-378))) 883/920 Y otras 15 repeticiones de valores tomando los otros 15 divisores dos a dos de 840 … n=37;for(x=n,n,print((x^2+384)/(x^2+19*x-300))) 1753/1772 n=1716;for(x=n,n,print((x^2+384)/(x^2+19*x-300))) 1753/1772 Y otras 19 repeticiones de valores tomando los otros 19 divisores dos a dos de 1680 … n=48;for(x=n,n,print((x^2+311)/(x^2+13*x-300))) 2615/2628 n=2567;for(x=n,n,print((x^2+311)/(x^2+13*x-300))) 2615/2628 Y otras 23 repeticiones de valores tomando los otros 23 divisores dos… Lee más »
n=112;for(x=n,n,print((x^2+279)/(x^2+7*x-498)))
12823/12830
n=12711;for(x=n,n,print((x^2+279)/(x^2+7*x-498)))
12823/12830
Y otras 35 repeticiones de valores tomando los otros 35 divisores dos a dos de 12600
…
n=121;for(x=n,n,print((x^2+720)/(x^2+11*x-600)))
15361/15372
n=15240;for(x=n,n,print((x^2+720)/(x^2+11*x-600)))
15361/15372
Y otras 39 repeticiones de valores tomando los otros 39 divisores dos a dos de 15120
…
n=157;for(x=n,n,print((x^2+864)/(x^2+11*x-852)))
25513/25524
n=25356;for(x=n,n,print((x^2+864)/(x^2+11*x-852)))
25513/25524
Y otras 44 repeticiones de valores tomando los otros 44 divisores dos a dos de 25200
…
n=165;for(x=n,n,print((x^2+824)/(x^2+10*x-816)))
28049/28059
n=27884;for(x=n,n,print((x^2+824)/(x^2+10*x-816)))
28049/28059
Y otras 47 repeticiones de valores tomando los otros 47 divisores dos a dos de 27720
Este sencillito programilla escrito en Pari gp, permite hallar estos resultados de más abajo : m=-2100;forprime(a=2,-m,forprime(c=2,-m,forprime(d=2,-m,forprime(b=2,100,if((a*c+d)%b==0,n=c+((a*c+d)/b)^2;if(numdiv(n)==2048,print([a,b,c,d,a*c+d,(a*c+d)/b,n,factor(n),numdiv(n),1+(a*c+d)/b,n+(a*c+d)/b]))))))) n=20;for(x=n,n,print((x^2+47)/(61*x^2+151*x-2))) 447/27418 n=427;for(x=n,n,print((x^2+47)/(61*x^2+151*x-2))) 447/27418 Y 7 coincidencias más; divisores dos a dos de 408. … n=185;for(x=n,n,print((x^2+59)/(71*x^2+23*x-43))) 34284/2434187 n=34099;for(x=n,n,print((x^2+59)/(71*x^2+23*x-43))) 34284/2434187 Y 15 coincidencias más; divisores dos a dos de 33915. … n=1089;for(x=n,n,print((x^2+131)/(191*x^2+23*x-3))) 1186052/226535955 n=1184963;for(x=n,n,print((x^2+131)/(191*x^2+23*x-3))) 1186052/226535955 Y 31 coincidencias más; divisores dos a dos de 1183875. … n=9687;for(x=n,n,print((x^2+269)/(251*x^2+7*x-283))) 93838238/23553397745 n=93828551;for(x=n,n,print((x^2+269)/(251*x^2+7*x-283))) 93838238/23553397745 Y 63 coincidencias más; divisores dos a dos de 93818865. … n=7892;for(x=n,n,print((x^2+479)/(313*x^2+19*x-2))) 62284143/19494936778 n=62276251;for(x=n,n,print((x^2+479)/(313*x^2+19*x-2))) 62284143/19494936778 Y 127 coincidencias más; divisores dos a dos de 62268360. … n=172883;for(x=n,n,print((x^2+701)/(739*x^2+3*x-607))) 9962844130/7362541812071 n=29888359507;for(x=n,n,print((x^2+701)/(739*x^2+3*x-607))) 9962844130/7362541812071 Y 255 coincidencias más; divisores… Lee más »
n=273390;for(x=n,n,print((x^2+1559)/(349*x^2+2*x-2687)))
74742093659/26084990686993
n=74741820269;for(x=n,n,print((x^2+1559)/(349*x^2+2*x-2687)))
74742093659/26084990686993
Y 1023 coincidencias más; divisores dos a dos de 74741546880 .