Comenzamos la primera semana de este mes de agosto con algo que hacía tiempo que no proponía por aquí: un problema. Dejo el enunciado del mismo y me guardo de dónde lo he sacado para cuando ya lo hayáis resuelto:
Sea \( m \) un entero y \( a_1,a_2, \ldots ,a_{4m+2} \) una progresión aritmética con diferencia distinta de cero.
Si borramos dos términos \( a_i \) y \( a_j \) (con \( i < j \)) y los \( 4m \) términos restantes pueden separarse en \( m \) grupos de igual tamaño donde los cuatro términos de cada grupo forman de nuevo una progresión aritmética, entonces decimos que la sucesión \( a_1,a_2, \ldots ,a_{4m+2} \) es \( \mathbf{(i,j)} \)-separable.
Con todo ello, responde razonadamente a los siguientes apartados:
- Escribe todas las parejas \( (i,j) \), con \( 1 \leq i < j \leq 6 \), para las cuales \( a_1,a_2,\ldots ,a_6 \) es una sucesión \( (i,j) \)-separable.
- Para \( m \geq 3 \), prueba que \( a_1,a_2, \ldots ,a_{4m+2} \) es una sucesión \( (2,13) \)-separable.
- Si escogemos al azar dos números \( i, j \) (con \( 1 \leq i < j \leq 4m+2 \)), sea \( P_m \) la probabilidad de que \( a_1,a_2, \ldots ,a_{4m+2} \) sea una sucesión \( (i,j) \)-separable. Demuestra que \( P_m > \frac{1}{8} \).
Que se os dé bien.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Para contestar al primer apartado basta observar que corresponde al caso
, es decir, la sucesión tiene 6 términos con lo que al quitar 2 de ellos deben quedar 4 que sigan formando una progresión aritmética.
Eso sólo es posible si eliminamos los dos primeros términos, los dos últimos o el primero y el último.
Esto es, las parejas
son las únicas que hacen la sucesión separable.
Cualquier otra eliminación de dos términos provocará necesariamente un «salto» entre algunos de los términos que queden, impidiendo así que sigan una progresión aritmética.
Para contestar al segundo apartado, empezaremos con el caso
. Es decir, tenemos 14 términos y debemos conseguir que, al eliminar los términos 2 y 13, podamos agrupar los términos en 3 progresiones aritméticas.
No es difícil encontrar la forma de hacerlo, en concreto:
Primera p.a: la formada por los términos 1, 4, 7 y 10
Segunda p.a: la formada por los términos 3, 6, 9 y 12
Tercera p.a: la formada por los términos 5, 8, 11 y 14
Una vez conocida la forma de hacer (2,13)-separable una sucesión de 14 términos en progresión aritmética, es inmediato construir los casos
ya que los 
grupos deseados de progresiones aritméticas serán los tres señalados anteriormente para los primeros 14 términos más los formados por los términos 15, 16, 17 y 18; por los términos 19 al 22; por los términos 23 al 26, etc.
Contestando al tercer apartado.
El número total de parejas
es 
.
A continuación demostraré que el número de parejas
tal que 
es 
-separable es al menos 
.
Observemos que existen al menos dos familias de parejas
tal que 
es 
-separable:
Por un lado, las parejas
tales que 
y 
. En este caso, las p.a. serían las formadas por los términos:
¿Cuántas parejas hay en esta familia?
vale 
con 
y 
, 
con 
. Esto son 
parejas.
Por otro lado, las parejas
tales que 
y 
, con 
. Sean 
y 
.
En este caso, las p.a. serían las formadas por los términos:
¿Cuántas parejas hay en esta familia?
vale 
con 
y 
, 
con 
. Esto son 
parejas.
Si sumamos el número de parejas en las dos familias, nos da
parejas.
Y la probabilidad es
.
Creo que ya lo hemos resuelto.
¿De dónde lo has sacado?
Correcto, sorry por tardar.
Es un problema del Gao Kao, el equivalente chino a nuestra selectividad. Concretamente, lo vi aquí.