Os dejo el problema de esta semana:
Un rectángulo
se subvidide en una serie de rectangulos
de tal modo que cada uno de los rectángulos
posee al menos un lado de longitud natural. Demostrar que entonces el rectángulo original
El problema me lo ha enviado Domingo, que lo vio en este post del blog de J.H.S., donde no encontró respuesta. A ver si aquí se la damos.
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[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Daniel Flores. Daniel Flores said: RT @gaussianos: Gaussianos.com: Rectángulo con lado natural http://bit.ly/9XiUWk […]
Pues para un solo rectángulo (n=1) está claro. Ahora hay que demostrar que si se cumple para n rectángulos también se cumple para n+1. Siempre que añadimos un rectángulo a la serie tenemos que dividir mediante una línea a otro preexistente. Entonces el problema se reduce a demostrar que si un rectángulo se divide en dos de lado natural, este también tiene un lado natural. Hay dos casos: 1) Que el lado natural de uno de los rectángulos sea el lado común a los dos o uno paralelo a este. Entonces, el rectángulo original tiene los lados paralelos a la… Lee más »
Se cumple para n=1 y para n=2 de forma trivial. A bote pronto parece que quizás se pueda probar por inducción… habrá que pensar.
¡Vaya! acabo de ver que OnyxIonVortex y yo hemos publicado a la vez y ambos con la idea de la inducción.
Te equivocas OnyxlonVortex, no es tan sencillo como lo planteas. Estás suponiendo que la única forma de subdividir un rectángulo en rectángulos más pequeños es añadiendo líneas sucesivamente, pero esto no es así. Por poner un contraejemplo, a ver si se aprecia: _ _ _ _ _ _ _ | | | |_ _ _ _ _| | | | | | | | | | | |_ _ _|_ _ | | | | |_ _|_ _ _ _ _ | A este cuadrado que he dibujado no le puedes quitar ninguna línea de forma que te quede subdividido… Lee más »
Vaya, no ha quedado el cuadrado como yo quería… con lo que me ha costado dibujarlo 🙁 Espero que aún así se entienda la idea.
No estoy de acuerdo con OnyxIonVortex, ya que existen otras particiones de un rectángulo además de las que se forman a base de dividir los existentes. Por ejemplo, tómese una cuadrícula de 3×3 y numérense los cuadrados del 1 al 9 en el sentido de lectura, de izquierda a derecha y de arriba abajo. Tómese ahora la siguiente partición en 5 rectángulos: uno que corresponda a la unión de los cuadrados 1 y 2, otro que sea la unión de 3 y 6, la unión de 4 y 7, la unión de 8 y 9 y finalmente otro que consista… Lee más »
Bueno, Osukaru, parece que queremos expresar la misma idea, no sé cuál lo habrá explicado peor xD Para intentar buscar la inducción habría que contemplar que para añadir un rectángulo puede hacerse de otras formas además de dividiendo, que implican redimensionar algunos rectángulos existentes… Lo veo complejo. Otra idea puede ser reducción al absurdo: suponer que existe un rectángulo de lados no naturales, dividido en rectángulos que cumplen que al menos un lado es natural… y llegar a una contradicción, probablemente por la vía de sumar perímetros, o trazar líneas transversales y sumar los recorridos por cada rectángulo interior, …… Lee más »
Otra vía es probar directamente que, si los lados no son enteros, entonces forzosamente algún rectángulo interior tiene ambos lados no enteros.
Tomando esta idea con cada lado independiente se ve que forzosamente existe (al menos) una franja (vertical) de ancho no natural y (al menos) otra franja (horizontal) de alto no natural.
La intersección de ¿todas?, ¿alguna? de los pares de franjas (tomados verticales X horizontales) nos da (al menos) un rectángulo con ambos lados no naturales.
Ummmpprrfff…..
He aquí una sugerencia: integre una función en dos variables sobre el rectángulo completo de tal manera que sobre cada
el resultado sea cero. Por aditividad se tendría que la integral doble sobre el rectángulo 
también es cero. Claramente, esto dice que la función elegida debe ser tal que la integral doble nos de una expresión en términos de los vértices del rectángulo sobre el que se integra y más aún que la expresión esa se anule si y sólo si los vértices son enteros.
P.D. Gracias por considerar mi blog una vez más, Diamond.
Creo que he encontrado una forma de solventar las particiones y reducir al absurdo suponiendo que el rectángiulo original tiene sus lados no naturales. Tomemos el rectángulito que esté en la parte superior derecha. Supongamos que sus lados naturales (n) son los horizontales (el razonamiento es simétrico si son los verticales). Tomemos el lado vertical donde termina y lo «alargamos» hasta abajo del todo, dejando el rectángulo grande en dos «trozos»: uno tendrá el lado natural del rectangulito (n) y el otro el resto (L-n) Este resto (L-n) deber ser no natural (de lo contrario L sería natural y llegaríamos… Lee más »
El argumento anterior es algo más sencillo de entender si antes de nada se dividen los rectangulitos en «n» rectangulitos de lado 1 por su lado natural.
El caso es el mismo, pero con lados naturales cualesquiera siempre hay que ir mirando cómo se subdividen: al ser de lado 1 toda subdivisión posterior ya no obtiene naturales.
Rober, creo haber entendido tu propuesta, y me parece que tu frase «Hay que tomar entonces el otro resto: es decir, el que está “debajo” del primer rectangulito (sin incluirlo) y que tiene lado horizontal “n” y partirlo por la vertical del trocito A.» requiere algo más de precisión. Cuando tomas «el otro resto» te queda el trozo A, que no tiene ninguno de sus lados naturales. Puede que esté algo torpe, pero no veo que ese «otro resto» vaya a tener una subdivisión como la del rectángulo original. Por otra parte, comentar que este problema es un clásico para… Lee más »
Jo, pues explicarlo para «cajitas de n-dimensionitas» es para volverse loco 😉 Precisemos: Tenemos el rectángulo original (L x H) dividido en tres: el rectangulito (n x h), el primer resto (L-n x H) y el segundo resto (n x H-h). Si hay rectangulitos de horizontal-naturales (m x J) que son partidos en dos trozos A+B=m no-naturales (A+B x J), el trozo (B x J) queda en el primer resto (e invalida ese resto) y otro (A x J) en el segundo resto. Ahora hay que tomar ese segundo resto (n x H-h) y dividirlo en dos por la vertical… Lee más »
La demostración que se me ocurre consiste en observar que cada se puede descomponer siempre en rectángulos donde algún lado mide 1. Éstos a su vez, también pueden descomponerse en rectángulos de lado más pequeño (como deseemos) manteniendo uno de los lados con el valor 1. Siendo esto así, con estas ‘piezas atómicas’ reconstruimos por franjas, con los rectángulos de altura 1, hasta que nos quede una franja de altura menor que 1 (si no queda franja es porque ya hemos terminado y la altura sería un número entero). Ahora, con las piezas que nos quedan (siempre podemos hacerlas más… Lee más »
A ver quien me puede ayudar con este problemita, por favor: A una varilla de metal le practicamos dos cortes (una tras otro), ¿cuál es la probabilidad de que con los tres trozos obtenidos podamos formar un triángulo?
FIDELERNESTO, tienes dos variables aleatorias independientes X e Y que son los cortes, por tanto, tienes un espacio bidimensional, un cuadrado vaya. En ese cuadrado, habrá puntos (zonas, áreas, …) que permitirán formar un triángulo y otras que no. Integra las áreas que sí lo permiten y ya lo tienes.
[OFF TOPIC]
Fidelernesto, yo diría que la probabilidad es 1. Con tres trozos siempre puedes formar un triángulo.
FIDELERNESTO, la probabilidad es 1/4. Dibuja un triángulo equilátero de altura la longitud de tu varilla. Cada punto en el interior y en el borde del triángulo corresponde a un estado posible de tu problema, tomando como «coordenadas» de dicho punto las distancias a cada lado del triángulo. Dentro de ese espacio de coordenadas, la zona «válida» es aquella en la que cada coordenada es menor de 1/2 de la longitud de la varilla (para que se verifique la desigualdad triangular), y dicha zona viene siendo un triángulo de área 1/4 del original. No lo expliqué muy bien, pero espero… Lee más »
[OFF TOPIC]
Oops tuve un lapsus en mi comentario anterior.
Rober | 25 de Mayo de 2010 | 23:28 : no veo la cosa muy clara cuando dices «y tomamos el primero de ellos (n-A x H-h) para seguir iterando el cual tiene sus lados no naturales». Tal como yo lo veo sí que podría ser natural, lo cual invalida la inducción que propones. Sin embargo, mi mayor duda es que cuando consideras la vertical, ¿por qué ha de tenerse que el nuevo rectángulo que consideras para la iteración sigue descomponiéndose en rectángulos con algún lado natural? Esta vertical podría dividir a la subdivisión del rectángulo original en nuevos rectángulos… Lee más »
Ja, ja, … pero hombre, no le hagáis la tarea a FIDELERNESTO.
;-D
La prueba que más me gusta es la siguiente: pongamos el rectángulo en la posición , consideremos en el plano una cuadrícula de dimensiones , y coloreemos de negro y blanco las casillas (como en un tablero de ajedrez). Entonces, un rectángulo cualquiera con lados paralelos a los ejes (e independientemente de su posición respecto a la red) tiene al menos un lado entero si y sólo si el número de regiones negras y blancas es el mismo. Como esta propiedad se da para los subrectángulos , también se da para el rectángulo de partida, por la misma aditividad que… Lee más »
M, tampoco está mal la del grafo bipartito: Situamos el origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda del rectángulo . Formamos un grafo bipartito entre el conjunto de vértices y el conjunto de vértices . colocando una arista entre un vértice (x,y) de A y uno de B si y solo si (x,y) es una esquina de . Si cada tiene un lado entero, el grado de cada vértice de B es 0, 2 ó 4. Por tanto el número total de aristas es par. El grado de un vértice de A de 0, 1, 2 ó 4, pero… Lee más »
sólo conocía la que sugirió J.H.S. fantástica la del grafo, fede!
En los siguientes enlaces hay más de una decena de pruebas adicionales a las expuestas:
http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2927
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/IntRectGraph.shtml
1. Otra opción sería considerar la función
. Si integramos sobre el rectángulo de vértices 
se tiene que
de donde se sigue que la integral es cero si y sólo si al menos uno de los lados del rectángulo en cuestión es un número entero.
2. Cuentan por ahí que en alguna conferencia el célebre matemático francés Alain Connes mencionó que «no puede decirse que uno comprende a los números enteros a menos que uno entienda este problema». ¿Qué opinan ustedes al respecto?
En este pdf:
http://ommcolima.ucol.mx/guias/TallerdeResolucionproblemas.pdf
a partir de la página 37, hay 6 demostraciones en español.