El método que utilizamos para calcular el cuadrado de un número natural es multiplicar dicho número por sí mismo, esto es, la propia definición de cuadrado. Esto es bien sencillo y corto de calcular con números pequeños, pero puede resultar largo y tedioso conforme el número va creciendo. Hoy os voy a hablar de un método para el cálculo del cuadrado de un número natural proveniente de las matemáticas védicas: el método Yavadunam.

Partimos del número 10 y todas sus potencias, que serán nuestras bases. Es conveniente dividir el método Yavadunam en dos casos: calcular el cuadrado de números naturales cercanos a 10 o a alguna potencia de 10 y calcular el cuadrado de números naturales que no cumplan esa condición. ¿Qué significa cercano en este caso? Pues yo entiendo que, en esta situación, un número natural N es cercano a una de las bases, b, cuando el cálculo del cuadrado de N-b es esencialmente más sencillo que el cálculo del cuadrado de N. Por ejemplo, 14 es cercano a 10, ya que calcular el cuadrado de 14-10=4 es mucho más sencillo de calcular que el cuadrado de 14. Lo mismo ocurre con 98 respecto a la base 100. Sin embargo, 37 no es un número cercano a 10, ya que calcular el cuadrado de 37-10=27 tiene básicamente la misma dificultad que calcular el cuadrado del propio 37. Pasa lo mismo, por poner otro ejemplo, con 452 respecto de la base 100.

Cuidado, el método en sí es el que vamos a ver en primer lugar, el de los números cercanos a una base, pero también funciona para los lejanos. Con esta separación no estamos diciendo que el método no funcione en el segundo caso, simplemente que es mucho más complicado usarlo en ese caso, por lo que es conveniente una modificación.

Bien, dicho esto expliquemos cómo actuar en cada uno de los casos.

Método Yavadunam para números cercanos a las bases

Supongamos que tenemos un número natural N cercano a una base b. Nuestro objetivo es calcular N^2. Vamos a calcular ahora dos números, que llamaremos parte izquierda, PI, y parte derecha, PD,. El resultado de N^2 será el número formado por la concatenación de PI y PD.

Calculamos primero la desviación, DES, de N respecto de b restando estos dos números. Es decir:

DES=N-b

Y ahora calculamos PI y PD así:

PD=(DES)^2

Del valor de PD nos debemos quedar exactamente con tantos dígitos como ceros tenga la base b. Si PD tiene más dígitos que ceros tiene b, entonces los que nos sobran los sumaremos a PI, y si tiene menos completamos con ceros.

PI=N+DES, si PD tiene tantos dígitos como ceros tiene b (o menos), y PI=N+DES+(Exceso), si PD tiene más dígitos que el número de ceros de b

Entonces se tiene que

N^2=PIPD

entendiéndose esta expresión como concatenación de los dos resultados obtenidos para PI y PD.

Vamos a ver un par de ejemplos:

Cálculo de 98^2

Tenemos que 98 es un número cercano a 100, por lo que ésta será nuestra base. Calculamos la desviación:

DES=98-100=-2

Ahora calculamos PD:

PD=(DES)^2=(-2)^2=4

Como PD debe tener tantos dígitos como ceros tiene la base, que es 100 en este caso, en este caso tenemos que PD=04. Calculemos ahora PI:

PI=N+DES=98+(-2)=96

Por tanto, este método nos dice que 98^2=9604, que es el resultado real.

Cálculo de 115^2

En este caso, 115 es también cercano a 100, que por ello será nuestra base. Calculamos la desviación:

115-100=15

Calculamos ahora PD:

PD=(DES)^2=15^2=225

Para calcular 15^2 podíamos haber usado el mismo método con 10 como base. Como 100 tiene dos ceros, nos quedamos con PD=25 y dejamos el 2 inicial, que es el exceso, para el cálculo de PI, que queda así:

PI=N+DES+(Exceso)=115+15+2=132

El método asegura entonces que 115^2=13225, que es lo que ocurre en realidad.

Podéis probar con otros números más grandes y veréis como siempre obtenemos el resultado verdadero.

Método Yavadunam modificado para números lejanos a las bases

Hemos visto que este método es muy interesante y efectivo para números naturales cercanos a alguna base. Pero, ¿qué ocurre con los que están lejos? Pues que el método también funciona, pero en realidad no es demasiado efectivo ya que nos obligaría a calcular en el desarrollo a calcular el cuadrado de un número que entraña más o menos la misma dificultad que calcular el cuadrado del número inicial directamente. Por tanto el método tal cual lo hemos descrito no conviene en estos casos.

Pero se puede hacer una modificación del método para ajustarlo a estos números. Partimos de un número natural N (lejano a las bases anteriores) del que queremos calcular su cuadrado. Tomamos como b la mayor base de las anteriores (potencias de 10) que sea menor que N y elegimos como subbase, sb el múltiplo de b más cercano a N. Por ejemplo, si N=746, tomaremos b=100 y sb=700. Con estos dos valores calcularemos un nuevo parámetro, que denominamos ratio, R, que es el cociente entre sb y b.

A partir de aquí las operaciones son análogas al caso anterior, cambiando únicamente que ahora sb hace el papel que antes hacía b y que para calcular PI habrá que multiplicar la suma N+DES por R. Vamos a ver otros dos ejemplos:

Cálculo de 746^2

Nuestro N=746 está claramente lejos de cualquier potencia de 10, por lo que tenemos que usar la modificación del método. Tomamos b=100 y sb=700. Entonces:

R=\cfrac{sb}{b}=\cfrac{700}{100}=7

Calculamos la desviación, para lo que, como hemos dicho, usamos sb:

DES=N-sb=746-700=46

Calculamos ahora PD como siempre:

PD=(DES)^2=46^2=2116

Para calcular 46^2 podíamos haber utilizado el mismo método que estamos usando ahora. Como la subbase tiene dos ceros, nos quedamos con PD=16 y dejamos como exceso el 21 para el cálculo de PI, en el que entra también el ratio:

PI=R \cdot (N+DES) + (Exceso)=7 \cdot (746+46)+21=5565

Con todo esto obtenemos que 746^2=556516, como realmente ocurre.

Cálculo de 4483^2

Nuestro N=4483 vuelve a estar lejos de cualquier potencia de 10, por lo que conviene utilizar el método modificado también en este caso. Tomamos b=1000 y sb=4000. Tenemos entonces que R=4 y que DES=4483-4000=483. Entonces:

PD=483^2=233289

cálculo que podíamos haber hecho con este mismo método. Como la subbase tiene tres ceros, nos quedamos con PD=289 y el 233 lo dejamos para PI:

PI=4 \cdot (4483+483)+233=20097

Obtenemos entonces que 4483^2=20097289, resultado que, como podéis comprobar, es cierto.

Mejora del método modificado usando el sentido común

Echando un vistazo al último ejemplo podemos ver que a veces en el método necesitamos elevar al cuadrado un número que podría considerarse muy grande, teniendo en cuenta el número inicial. En ese caso hemos tenido que calcular 483^2, cuando la pregunta inicial involucraba a un número con solamente una cifra más que éste. Aunque esto es una rebaja importante, podríamos pedir una aún mayor. Bien, pues aquí va a entrar en juego el sentido común.

¿Qué quiero decir con sentido común? Voy a utilizar como ejemplo éste que comentamos. En vez de utilizar 4000 como subbase, ¿no habría sido mejor usar 4400? Así solamente tendríamos que haber calculado el cuadrado de 83, mucho más corto y sencillo que el de 483. Bien, esto se puede hacer, pero entonces tenemos que cambiar también la base. Ahora no nos servirá 1000 como base, sino 100 (porque 4400 tiene dos ceros). Por tanto el ratio será {44}, en el cálculo de PD solamente nos quedaremos con sus dos últimos dígitos…Vamos a realizar todos los cálculos:

  • Subbase: 4400
  • Base: 100
  • Ratio: R=\textstyle{\frac{4400}{100}}=44
  • Desviación: DES=4483-4400=83
  • Parte derecha: 83^2=6889 \rightarrow PD=89
  • Parte izquierda: PI=44 \cdot (4483+83)+68=200972

llegando entonces a que 4489^2=20097289, como habíamos visto antes.

¿Cómo saber qué subbase tomar? Pues…con sentido común. Debemos elegir una subbase con la que el cuadrado que tenemos que calcular sea de un número relativamente pequeño, pero que a la vez nos deje un producto no muy largo en el cálculo de PI. Será decisión vuestra en cada caso.

Como podéis ver, este método puede ser interesante en muchas ocasiones, aunque en otras parece que ofrece más o menos la misma dificultad y el mismo esfuerzo que la multiplicación normal. Lo que no sé es cuál es mejor en lo que se refiere a programación. Quizás alguno de los informáticos que suelen visitar el blog nos puede arrojar algo de luz sobre este aspecto.

Fuente:

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