Sive, en este comentario, ha dado una demostración informática de que un número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto. En este post voy a dar yo una más matemática.

Definición

Un número de Mersenne es un número M de la forma M=2^n-1, con n\in\mathbb{N}.

Teorema

Todo número de Mersenne M=2^n-1 con n compuesto es también compuesto.

Demostración

Si n es compuesto se puede descomponer como producto de al menos dos factores mayores que 1. Supongamos entonces n=p \; q, con p,q > 1.

Sabemos que a^m-b^m=(a-b) \; (a^{m-1}+a^{m-2} \; b+ \ldots +a \; b^{m-2}+b^{m-1}). Además 2^n=2^{p \;q}=(2^p)^q. Tomando a=2^p y m=q en la igualdad anterior se tiene el resultado:

(2^p)^q-1=(2^p)^q-1^q=(2^p-1) \; ((2^p)^{q-1}+(2^p)^{q-2}+ \ldots +2^p+1)

Es decir, 2^{pq}-1 tiene al menos dos factores mayores que 1 y, por tanto, es compuesto.

¿Qué pasa si n es primo? Pues que sus únicos divisores son 1 y el propio n. Por tanto, utilizando la igualdad anterior obtendríamos:

2^n-1=2^n-1^n=(2-1) \; (2^{n-1}+2^{n-2}+ \ldots +2+1)=2^{n-1}+2^{n-2}+ \ldots +2+1

número éste que podría ser primo o no. Por eso 2^n-1 sólo puede ser primo si n lo es.

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