Supongo que much@s de vosotr@s habréis visto en alguna ocasión este ejercicio de un supuesto examen:

(Aquí podéis ver alguna barbaridad más de ese estilo)

Evidentemente la cancelación que se ha efectuado en ese caso es un error, no podemos cancelar números de esa forma. Pero lo curioso del caso es que si cancelamos el resultado es 1/4, pero si realizamos la operación obtenemos que 16/64 = 1/4. Algo así como que no podemos cancelar el 6 de arriba con el 6 de abajo pero si lo hacemos obtenemos el mismo resultado.

Y lo que un@ puede preguntarse ahora es si esta fracción es la única en la que ocurre eso siendo tanto el numerador como el denominador números naturales de 2 cifras. Este es el problema que os propongo:

¿Cuántas fracciones con numerador y denominador números naturales de 2 cifras existen con la propiedad de que si cancelamos la cifra de las unidades del numerador y la de las decenas del denominador obtenemos el mismo número? ¿Cuáles son esas fracciones?

Un último apunte: se puede ir probando con números y sacar alguna de ellas (o todas), pero lo interesante es encontrarlas a través de un proceso matemático. A ver qué ideas se os ocurren. Suerte.

Solución:

En los comentarios se ha hablado de programas que calculan las fracciones que cumplen lo indicado en el post. Yo voy a dar aquí una demostración algo más matemática del problema. Voy a obviar las fracciones triviales (es decir, las fracciones en las que el numerador y el denominador son iguales):

Partiendo de la situación inicial y haciendo cuentas obtenemos:

A partir de aquí vamos a hacer discusión de casos. Para empezar a no puede ser cero ya que es la cifra de las decenas del numerador. Si c = 0 tenemos que b = 0 y por tanto el denominador sería cero, lo cual es imposible. Por tanto ninguna de las cifras es cero. Esto implica que el rango en el que se mueve b es 1, … , 9. Veamos qué pasa en cada uno de los casos:

  • b = 1: Despejamos a y le damos valores a c (evidentemente entre 1 y 9). En todos los casos obtenemos a fraccionario o negativo. Las dos opciones son imposibles. Por tanto en este caso no obtenemos ninguna fracción que cumpla el enunciado del problema.
  • b = 2: Igual que el caso anterior.
  • b = 3: Igual que los anteriores.
  • b = 4: Igual que los anteriores.
  • b = 5: Igual que los anteriores.
  • b = 7: Igual que los anteriores.
  • b = 8: Igual que los anteriores.
  • b = 6: Despejamos a y damos valores a c. Vemos que los únicos que nos dan resultados coherentes son c = 4 y c = 5, obteniendo lo siguiente:

  • b = 9: Despejamos a y damos valores a c. Vemos que los únicos que nos dan resultados coherentes son c = 5 y c = 8, obteniendo lo siguiente:

Podéis ver que los resultados obtenidos son los que se han visto en los comentarios. Sólo esas cuatro fracciones (con numerador y denominador de 2 cifras) cumplen lo pedido en el enunciado.

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