Después de unos días sin publicar (semana complicada), volvemos hoy con el problema de la semana, que me envío al correo Carlos. Ahí va:
Demostrar que el número 6 es el único número natural que es a la vez un número perfecto (la suma de sus divisores propios da de resultado el mismo número) y producto perfecto (el producto de sus divisores propios también da de resultado ese número).
A por él.
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Factorizando el número 6, salen los números 3, 2 y 1.
Si se suman: 3+2+1=6
Si se multiplican: 3*2*1=6
A ver… Sea un número con las características del enunciado. Sean los divisores propios los siguientes como dado un divisor propio distinto de 1 éste divide a , forzosamente dicha división debe dar como resultado un divisor propio, por tanto, podemos redefinir el conjunto como como por definición el producto de ellos debe ser , tenemos una restricción muy fuerte, a saber por lo tanto, los números que cumplan tal propiedad deberán forzosamente tener únicamente 3 divisores propios incluyendo el 1. Así, dichos números con dos divisores propios (y el 1) deberán cumplir pero es evidente que sólo el 2… Lee más »
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Venhost. Venhost said: El 6 es el único http://bit.ly/dH56ja […]
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josejuan, tiene buena pinta tu solución. Dejo aquí la que encontró Carlos, que fue quien me sugirió el problema:
6, número perfecto y producto perfecto
sea n un entero que cumple.
como es producto perfecto se tiene que n es de la forma p·q con p y q numeros primos. esto es claro porque si tuviese un 3er factor primo r (no necesariamente diferente a p y/o q) habria un 6to divisor (llamemoslo s) que cumple con rs=n entonces el producto de los divisores propios de n sería= 1·p·q·r·s= (p·q)·(r·s)=n^2 > n .
eso llevo se me ocurre un sistema de desigualdades para concluir p=2 q=3 … podría ser suponiendo p,q>3 … 🙂
josejuan, ¿qué pasa si n es un cuadrado? en ese caso hay un i tal que
y lo estás incluyendo dos veces en la lista
Tienes razón @lucagali.
Afortunadamente se resuelve fácil (creo, claro).
Si
es par la cosa queda como antes.
Si
es impar, entonces 
es un cuadrado.
Así, tenemos que contemplar un nuevo caso, a saber
debiéndose cumplir que
el único que podría cumplirlo es
pero como es
se hace evidente que no puede ser solución.
Mecachis! yo que me había hecho la ilusión… :'(
el numero 6 es el numero que utilizan en los pronosticos del melate son 6numerosy el adicional la clave esta en que de los numeros del melate de la revancha y del total que se juega son tres cifras de millones de esas tres cifras si los sumas o multiplicas entresi de ahi provienen los numeros que resultan ganadores investigen uds. que saben mas de matematicas y veran que tengo toda la razon la situcion esque yo ya encontre como ganar le atine a tres asi como lo hice tienes que adelantarte cuatro sorteos y saber cuanto se va jugar… Lee más »
Ayer mandé un correo pero no entró.
Sea E un número perfecto, entonces es de la forma E = (2^(n+1)-1)(2^n), (lo demostró Euclides), luego para n mayor que 1 no es libre de cuadrados y E siempre es menor que el producto de sus divisores.
Por lo tanto solo queda el caso n=1 y efectivamente E es producto perfecto.
Saludos
ferran, esa fórmula sólo explota ciertos números perfectos, por lo que no sirve como demostración del problema planteado. Quizás, si se llegara a determinar que esos números perfectos (los de la forma que comentas) son los únicos, entonces, podría valer.
Si x es un producto perfecto, $=pq$ con $p$ y $q$ primos.
factores de x: 1, p y q.
$1+p+q=pq$
por tanto
$1+p=q(p-1)$
$q=\frac{1+p}{p-1}$
Como q tiene que ser entero, las únicas soluciones son
$p=2 \Rightarrow q=3$
y
$p=3 \Rightarrow q=2$
Por tanto $x=6$
Josejuan tienes razón, sin embargo creo resulta fácil demostrarlo sabiendo que Euler demostró que todo número perfecto par es de la forma de Euclides, por lo tanto de los pares el 6 el único y que Sylvester demostró que si un número perfecto es impar entonces debe tener tres o más factores primos distintos con lo cual estos nunca pueden ser un producto perfecto, ya que el producto de sus divisores propios siempre es mayor que ellos mismos. Así es que debo concluir que el seis es el único. (Te remito al entretenido libro de Duham)
un saludo
ferran, el problema que dices creo resulta fácil demostrarlo es un problema actualmente abierto en matemáticas (Wiki, Wolfram), esto significa que:
1. dicho problema a acaparado la atención de un buen número de matemáticos.
2. el problema no ha sido resuelto (completamente).
3. la solución se ha escurrido a la habilidad de buenos matemáticos.
si crees tener un buen resultado, creo que sería fantástico compartirlo ¿no?.
No no, digo que es fácil demostrar que 6 es el único sabiendo todo eso…Euclides encontró dicha fórmula y entonces era suficiente aplicarla para encontrar un numero perfecto PAR. Luego, según explica Dunham, Euler demostró que esa fórmula era necesaria y suficiente, es decir, que todos los numeros perfectos PARES son de esa forma (de ahí la importancia de los primos de Mersenne: si existen infinitos de estos, existen infinitos numeros perfectos pares, problema abierto). Lo que también es un problema abierto hoy en dia y entiendo que es esto lo que tu quieres decir, es el relativo a la… Lee más »
«…y entiendo que es esto lo que tu quieres decir…»
Efectivamente ferran.
Por otro lado, fascinante la forma en la que hilas teoremas (debes tener muy buena memoria).
Sea d(n) la cantidad de todos los divisores del número natural n -incluyendo a n-. Entonces el producto p(n) de todos esos divisores será: p(n) = n^(d(n)/2) -cómo se puede ver en Wolfram, en el artículo sobre divisores-. Si n es un número producto perfecto, entonces se cumple que: n^2 = p(n) = n^(d(n)/2), y por lo tanto d(n) = 4 =(a+1)(b+1)(c+1)… -donde a, b, c… son los exponentes de los primos en la descomposición factorial de n-, por lo que podemos tener a=3, y todas los demás exponentes igual a 0, o bien a=1, b=1. Ahora bien, para que… Lee más »
Ahi va mi solucion es poco elegante pero se me hace clara Primero calcularemos el producto de todos los divisores de n Con algunos despejes obtenemos que Dado que tomamos en cuenta al mismo n una vez dividimos entre n la expresion y esta tiene que ser igual a n por la condicion de que el producto de todos los divisores propios es n es decir Esto implica que y solo hay 2 posibles casos o siendo p y q distintos y mayores que 1. El caso 1 nos lleva a una contradiccion ya que son divisores propios y su… Lee más »