Como ya sabemos, un número de Mersenne es un número de la forma

M_p=2^p-1

con p un número natural. También sabemos que si p es un número compuesto, entonces M_p también lo es, por lo que M_p sólo puede ser primo si el propio p lo es.

La cuestión es que esto no ocurre siempre, es decir, no siempre que p es primo se tiene que M_p lo es. Cuando esto ocurre se dice que M_p es un primo de Mersenne.

En Gaussianos ya hemos hablado sobre los primos de Mersenne en muchas ocasiones. De hecho hemos anunciado descubrimientos de nuevos primos de Mersenne varias veces. Lo que hoy vamos a contar es una anécdota de uno de los números de Mersenne, el número M_{67}=2^{67}-1.

Cuando Marin Mersenne contaba con 56 años de edad publicó un libro titulado Cogitata Physico-Mathematica en cuyo prefacio comentaba que los primeros números de la forma 2^p-1 que resultaban ser primos eran los que correspondían a p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. las comprobaciones hasta p=19 no fueron demasiado problemáticas, pero a partir de ahí los cálculos tenían ya cierta entidad.

En 1774, Euler probó que M_{31}=2^{31}-1 era un número primo, por lo que Mersenne iba bien en su predicción. Más adelante, en 1876, Lucas demostraba que M_{127}=2^{127}-1 también era un número primo. No iba mal Marin Mersenne.

Pero poco después la predicción de Mersenne se torció un poco, ya que en 1883 Pervushin demostraba que M_{61}=2^{61}-1 era primo, hecho que significaba que Mersenne se había dejado un primo por el camino. Pero bueno, al parecer había acertado en todos los que había calificado como números primos…Un momento, faltaba el M_{67}. ¿Qué pasó con él?

Frank Nelson ColeEn 1903, en una de las reuniones de la American Mathematical Society, un matemático desconocido hasta la fecha llamado Frank Nelson Cole presentó un trabajo titulado Sobre la factorización de grandes números. Cuando el Presidente de la AMS llamó a Cole para que expusiera su trabajo, éste se colocó delante de una pizarra y comenzó a calcular a mano 2 elevado a 67 (vamos, multiplicó 2 por sí mismo 67 veces) sin pronunciar ni una palabra. Cuando terminó restó 1 al número obtenido, dejando escrito el resultado final. Después se dirigió a una zona de la pizarra que no estaba utilizada y, todavía sin decir palabra ni frase alguna, realizó a mano la siguiente operación:

193707721 \cdot 761838257287

Cuando concluyó la multiplicación se pudo comprobar que el resultado coincidía con el obtenido anteriormente. Esto es, Cole había probado que M_{67} no era un número primo. Hecho esto, Cole se volvió a sentar sin decir absolutamente nada y los asistentes a su presentación le dedicaron una calurosa ovación. No hizo falta nada más, ya que no hay manera más descriptiva de demostrar este hecho. No importa cómo encontró Cole esos dos factores (ambos primos, por cierto), simplemente importa que su producto es M_{67}. Por cierto, más adelante Cole comentó que encontrar esos dos factores le había llevado «tres años de domingos».

En honor a Frank Nelson Cole, la AMS entrega dos Premios Cole, uno para contribuciones destacables en álgebra y otro para contribuciones destacables en teoría de números, desde principios del siglo XX. El de álgebra comenzó a entregarse en 1928 y su primer galardonado fue L. E. dickson. El de teoría de números se entrego por primera vez en 1931 a H. S. Vandiver. Entre los galardonados aparecen personas muy conocidas por todos nosotros, como Paul Erdös (en 1951), John T. Tate (en 1956), premio Abel en 2010, Goro Shimura (en 1977) o Andrew Wiles en 1997. La frecuencia de ambos ha ido cambiado con el paso del tiempo.


Fuentes y enlaces para profundizar:

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