Vamos con el problema de esta semana:
Encuentra todas las funciones
tales que:
para todo
.
Suerte.
Encontremos las funciones
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Yo aporto mi granito de arena. La función identidad cumple con los requisitos. Os dejo el resto para los demás, que no quiero ser acaparador 😉
Las funciones serán de R2 en R, ¿no?.
(No uso latex).
Otro minúsculo granito de arena… la función identidad multiplicada por cualquier constante también lo cumple (incluido el caso trivial f(x) = 0).
Además, yo creo que no hay más que ésas que decís, pues si hacemos derivadas parciales respecto a una variable a un lado y otro (y me acuerdo de cómo se hacían):
cuando x
0
es una constante; si no es una constante, dado cualquier valor de x que cumpla la igualdad la dejaría de cumplir al variar y.
Esta igualdad sólo se cumple si
De aquí, que
. Pero sustituyendo en la original, d=0; es decir f(x)=cx.
A mi entender, faltaría justificar que la función debe ser derivable en
. Por la propiedad del enunciado se tiene que la función es continua (con 
) y verifica 
, 
.
Buenos Días
Es evidente a partir de la ecuación dada que se cumple
Por otra parte, esto nos permite concluir
A partir de esta última igualdad y las anteriores y con un poco más de trabajo, que me voy a ahorrar, es posible demostrar que
Cómo con unos simples cambios de variable puedo además deducir que
podemos deducir que
es una función lineal real de variable real. Con ello estaría demostrado que
La demostración que me he ahorrado se basa en demostrar que se cumple la igualdad para un parámetro
natural, luego entero, luego racional, y por último, usando límites de sucesiones, real.
Un Saludo
Re: Antonio QD
Si recordamos, la función
dada por 
es biyectiva. Por tanto, 
. Esto dice que f ha de ser un morfismo de grupos, por lo que el parámetro d ha de ser d=0.
Buenos Días
Es cierto, me quedé en la demostración de que
es una función lineal, y puse la forma general de la misma. La ecuación inicial nos lleva, también, a concluir que 
.
Mi intención, era simplemente constatar que el problema se podía resolver sin necesidad de emplear argumentos que empleasen derivadas o diferenciales, el cual fue mi primer camino de indagación; y comentar que se puede resolver hallando unas pocas condiciones necesarias, deducibles a partir de las condiciones iniciales del problema, que nos llevan a concluir que la función es lineal.
Un Saludo
Otra forma, signos aparte:
, dividiendo, obliga a que
. Para x>0 (para x<0, qué pereza):
,
da 
, con lo que se confirma la linealidad.
, no hace falta distinguir positivos de negativos:
que cuando
Me acabo de dar cuenta de que usando de la misma manera
Buenas Tardes He estado dándole algunas vueltas más al problema y me he dado cuenta que tanto la solución propuesta por mi cómo las otras dos, dan por sentado que es una función continua. Pero, ¿es posible que la función no sea continua? Si consideramos que la función no tiene porque ser continua podría haber soluciones del problema que no fueran del tipo propuesto. Así que para que cualquiera de los razonamientos sea rigurosamente valido y no haya ninguna otra función solución del problema hay que demostrar que las condiciones de la función nos llevan a deducir que la función… Lee más »
Creo que la sugerencia no va bien encaminada. Para demostrar la continuidad no puedo límitarme a un
racional. ????
Antonio QD, la continuidad (en toda la recta) es consecuencia de que
y de que 
(siendo la función 
una biyección):
Es decir que
cumple la ecuación funcional de Cauchy: 
, y como es continua, debe ser lineal (es decir que no hay lugar a casos patológicos).
M, he mirado el enlace a la Wikipedia que muestras, y entiendo que en el mismo indica que si la función es de variable real y no se impone a condiciones adicionales como el ser continua en al menos un punto, acotada o monótona, pueden existir otras soluciones aparte de la lineal que ya conocemos. De hecho, cito textualmente : «On the other hand, if no further conditions are imposed on f, then (assuming the axiom of choice) there are infinitely many other functions that satisfy the equation. This was proved in 1905 by Georg Hamel using Hamel bases. The… Lee más »
M, volviendo al tema de la continuidad de
supongamos que defino una función de la siguiente manera
Aunque esta función no cumple la condición de nuestro problema me sirve para mostrar que aunque
realmente ocurre que
precisamente por ser discontinua en
.
Antonio QD, tienes toda la razón. Inconscientemente (e imprudentemente) asumí que f era continua en el cero! (me flagelaré por ello 🙂 ). Este problema (y la ecuación funcional lineal de Cauchy) me recuerda a los comentarios del post de «dos propiedades, un valor» (https://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/). En aquel entonces nos enredamos con una cuestión bastante similar y que no fue resuelta de modo definitivo. De modo similar a lo que pasaba en aquel caso, habrá que ver si las dos condiciones junto con implican la continuidad en el origen. Y si no puede probarse la continuidad habría que ver si es… Lee más »
No te flageles M. Lo que más me gusta de estos problemas es ver como a veces las soluciones se van construyendo a partir de las pequeñas aportaciones o y reeinterpretaciones que se van realizando. Comenzamos con un problema, que en principio a mi, me pareció relacionado con el análisis de funciones en varias variables y hemos acabado en reinterpretando este problema como la ecuación funcional de Cauchy, la cual para más inri está relacionada con uno de los problemas irresueltos de Hilbert.
🙂
¡Que se flagele! ¡que se flagele! (ja, ja, … es broma, claro)
Bueno, de
igual podemos sacar algo en 0, porque o bien es
y entonces creo que por ahí se podría ver que es contínua en 0, o bien
y por tanto no es continua en 0 y se nos fastidia el tema.
(lo anterior en x=0, claro)
No hace falta usar la continuidad de la función. A ver qué os parece mi solución. Como bien decís, ha de cumplir la ecuación de Cauchy para cualesquiera . Esto implica además que . Además, sustituyendo en la ecuación del enunciado, llegamos a que para cualquier (en particular, es impar). Ahora bien, tenemos que para cualesquiera y, por otro lado, e igualando ambas expresiones llegamos a que para cualesquiera luego haciendo , podemos despejar y obtener que para cualquier lo que prueba que las únicas posibles soluciones son las lineales que, de hecho, se ha comprobado que la cumplen, luego… Lee más »
La demostración de Manzano es totalmente algebraica y no hace uso en ningún momento de la hipotesis de continuidad.
Ahora la continuidad aparece como una consecuencia y no como un requerimiento. ¡Bravo! Muy bien, Manzano.
Excelente, Manzano!
Muy bien Manzano :).
Por cierto, el problema está sacado de aquí. Allí utilizan el mismo argumento que ha utilizado Manzano.
hola. yo llegué a lo mismo que llegó Manzano pero de otro modo. (lo siento por no usar latex – y por ende algunas notaciones formales – espero que se entienda) primero hice x = 0, y = a; y luego x = a, y = 0; obteniendo: igualando ambas expresiones y asumiendo que a es distinto de cero tenemos: f(a^2) = a * f(a) cambiando de variable tenemos f(a) = a^(1/2) * f(a^(1/2)) por lo que, usando recursivamente la expresión se puede llegar a lo siguiente: f(a) = a^(1/2 + 1/4 + … + 1/2^n) * f(a^(1/2^n)) cuando n… Lee más »
uy se me pasaron un par de expresiones al inicio.
debería decir:
primero hice x = 0, y = a; y luego x = a, y = 0; obteniendo:
f(a^3) = a f(a^2)
f(a^3) = a^2 f(a)
…
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Creo que la solución puede ser mucho más sencilla:
Sea f: R—->R: x^3 + y^3 —-> x^2*f(x) + y*f(y^2)
un morfismo de Anillo (R),
La inyectivividad de f es inmediata (Sea x in Ker(f), f(x)=0), y la sobreyectividad es trivial, luego f es automorfismo de anillo de R, así ha de cumplir:
Si f in Aut(R) => para todo x,y in R f(x+y)=f(x) + f(y);(1) y tambien f(x*y)=f(x)*f(y);(2)
Así, de (1) f(x^3)=x^2*f(x); también f(x^3)=x*f(x^2);
y de (2) f(x^3)=f(x^2)*f(x)=x^2*f(x) => f(x^2)=x^2
y f(x^3)=f^(x^2)*f(x)=x*f(x^2) => f(x)=x
luego f=I_R (Automorfismo Identidad del Anillo R) c.q.d.
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