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un número natural, y 
el número de dígitos de 
iguales a 
, para 
. Demostrar que
Se puede probar por inducción sobre el número de cifras. Si no me he equivocado, la igualdad se alcanza cuando el número es de la forma a99…99, es decir, cuando todas sus cifras son nueves salvo posiblemente la primera. En particular, para los números de una sola cifra, se da la igualdad.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Ahí va: Sea un número natural, y el número de dígitos de iguales a , para . Demostrar que ¿Para qué valores de se da la igualdad? Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres ha……
Coincido con Manzano.
Pero lo podíais escribir, ¿no? 🙂
Pues en principio había escrito eso pensando en no destripar demasiado el asunto pero parece que lo he matado del todo y ya, salvo M, nadie se ha atrevido a escribir. Ahí va la demostración, pues.
Procedamos por inducción sobre el número de cifras. Está claro que para un número
de una cifra se cumple el enunciado y, de hecho, se alcanza la igualdad. Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para cualquier número natural de 
cifras y probémoslo para un número natural 
de 
cifras. Ese número lo podemos escribir como
es decir,
son las cifras del número. La desigualdad a probar se transforma, via esta expresión, en la siguiente:
Ahora bien, el resultado es cierto para el número de
cifras 
, con lo que
Operando en el último miembro de la desigualdad anterior, llegamos a que
Observemos que en la última desigualdad se ha usado que
ya que 
es el número formado por 
nueves y 
es un número de 
cifras.
Con eso queda probada la desigualdad. Ahora para que se dé la igualdad, estos dos últimos números de
cifras tienen que ser iguales y de ahí que, si para cierto número natural se alcanza la igualdad, éste tiene que ser de la forma a99…99. Se comprueba que los números de esta forma la cumplen luego son los únicos.
Otra forma: para
definimos 
. Claramente, si 
posee únicamente un dígito, entonces 
. Supongamos la desigualdad cierta para números 
de 
dígitos, y tomemos 
, siendo 
. Entonces, por definición, 
. Luego, según la hipótesis de inducción,
Además, la anterior desigualdad se satisface con igualdad sii
y 
. Por inducción, tenemos entonces que la desigualdad del enunciado se cumple con igualdad únicamente para números de la forma 
y 
, con 
.