Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Sea
un número natural, y
el número de dígitos de
iguales a
, para
. Demostrar que
¿Para qué valores de
Que se os dé bien.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Se puede probar por inducción sobre el número de cifras. Si no me he equivocado, la igualdad se alcanza cuando el número es de la forma a99…99, es decir, cuando todas sus cifras son nueves salvo posiblemente la primera. En particular, para los números de una sola cifra, se da la igualdad.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Ahí va: Sea un número natural, y el número de dígitos de iguales a , para . Demostrar que ¿Para qué valores de se da la igualdad? Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres ha……
Coincido con Manzano.
Pero lo podíais escribir, ¿no? 🙂
Pues en principio había escrito eso pensando en no destripar demasiado el asunto pero parece que lo he matado del todo y ya, salvo M, nadie se ha atrevido a escribir. Ahí va la demostración, pues. Procedamos por inducción sobre el número de cifras. Está claro que para un número de una cifra se cumple el enunciado y, de hecho, se alcanza la igualdad. Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para cualquier número natural de cifras y probémoslo para un número natural de cifras. Ese número lo podemos escribir como es decir, son las cifras del número. La desigualdad… Lee más »
Otra forma: para
definimos 
. Claramente, si 
posee únicamente un dígito, entonces 
. Supongamos la desigualdad cierta para números 
de 
dígitos, y tomemos 
, siendo 
. Entonces, por definición, 
. Luego, según la hipótesis de inducción,
Además, la anterior desigualdad se satisface con igualdad sii
y 
. Por inducción, tenemos entonces que la desigualdad del enunciado se cumple con igualdad únicamente para números de la forma 
y 
, con 
.