Después de unas semanas sin artículo propiamente (fiestas y época de exámenes de mis alumnos han tenido la culpa) volvemos a la carga con un artículo que aunque no sea excesivamente avanzado nunca está de más: vamos a (re)aprender a expresar un número decimal en forma de fracción

Introducción

Para comenzar, aunque para muchos es evidente, vamos a delimitar nuestro campo de acción, es decir, vamos a ver qué números podemos expresar en forma de fracción. Éstos son los números racionales, conjunto que se denota \mathbb{Q}. Es decir, los números decimales que podemos expresar como fracción son los números decimales exactos, como 7,3 o 0,527, y los números decimales en cuya expresión decimal se repite a partir de un cierto momento una misma cantidad de cifras, denominada período, como 23,\widehat{4} o 5,43\widehat{78}. Los números decimales que no podemos expresar como fracción son los números irracionales, que suele denotarse como \mathbb{I} o \mathbb{R-Q}. Algunos ejemplos de estos números han aparecido ya en este blog en varias ocasiones: el número \pi, el número e o el número \sqrt{2}. La expresión decimal de estos números (como la de todos los irracionales) es infinita y no periódica. Por ello no pueden expresarse como una fracción.

Como último comentario antes de comenzar decir que la fracción que vamos a obtener de cada número decimal no va a ser en general una fracción irreducible, es decir, cuando ya tengamos la fracción asociada al número decimal podremos encontrar una fracción equivalente a la obtenida que será irreducible dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos. Veremos ejemplos en el desarrollo.

Desarrollo

Para conseguir nuestro objetivo vamos a distinguir tres casos:

1.- Número decimal exacto

Este es el caso más sencillo de todos. La fracción buscada es:

-Numerador: Número completo sin coma
-Denominador: Un uno seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial

Si la fracción obtenida no es irreducible podemos simplificarla como comentamos antes dividiendo por el máximo común divisor de numerador y denominador. Expliquemos por qué con un ejemplo:

Sea x=4,1347. Multiplicamos x por 10000 y queda:

10000x=41347

Despejando x obtenemos lo buscado

x=4,1347=\cfrac{41347}{10000}

Al ser una fracción irreducible nos quedamos con ella.

Por el mismo procedimiento, para este otro número llegamos a la siguiente fracción:

0,18=\cfrac{18}{100}=\cfrac{9}{50}

Como en este caso la fracción obtenida no es irreducible la simplificamos dividiendo entre 2 numerador y denominador.

2.- Número decimal periódico puro

En este caso la fracción buscada es la siguiente:

-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período

Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:

Sea x=1,\widehat{8}. Multiplicamos x por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos x al resultado. Queda:

10x-x=18,\widehat{8}-1,\widehat{8}=17

Tenemos entonces 9x=17. Despejamos x y llegamos al resultado esperado:

x=1,\widehat{8}=\cfrac{17}{9}

Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

13,\widehat{273}=\cfrac{13273-13}{999}=\cfrac{13260}{999}=\cfrac{4420}{333}

Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por 3 numerador y denominador.

3.- Número decimal periódico mixto

En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:

-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos

Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:

Sea x=0,3\widehat{4}. Multiplicamos x por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos x:

10x-x=3,\widehat{4}-0,3\widehat{4}=3,1

Tenemos entonces que 9x=3,1. Volvemos a multiplicar por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):

90x=31

Despejando x obtenemos los buscado:

x=0,3\widehat{4}=\cfrac{31}{90}

Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.

Veamos otro ejemplo:

Sea x=12,23\widehat{7}. Multiplicamos x por 100 (un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo 100x=1223,\widehat{7}. Multiplicamos ahora por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a 1000x=12237,\widehat{7}. Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a x en el primer paso, que en este caso es 100, lo multiplicamos por x y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

1000x-100x=12237,\widehat{7}-1223,\widehat{7}=11014

Nos queda entonces:

900x=11014

De donde obtenemos el resultado despejando x:

x=12,23\widehat{7}=\cfrac{11014}{900}=\cfrac{5507}{450}

Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por 2 numerador y denominador.

Y uno más:

Sea x=31,775\widehat{5692}. Multiplicamos x por 1000 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda 1000x=31775,\widehat{5692}. Ahora multiplicamos por 10000 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos 10000000x=317755692,\widehat{5692}. Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso, 1000 en este caso, lo multiplicamos por x y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

10000000x-1000x=317755692,\widehat{5692}-31775,\widehat{5692}=317723917

Obtenemos

9999000x=317723917

Despejando x:

x=31,775\widehat{5692}=\cfrac{317723917}{9999000}

Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.

Conclusión

Como habéis podido ver la cosa no es ni mucho menos difícil, pero nunca viene mal saber cómo hacer estos cambios de decimal a fracción ya que, por norma general, es mucho más engorroso operar con varios números decimales de distintos tipos, con distinto períodos, etc, que hacerlo con fracciones. Con estos procedimientos conseguimos precisamente expresar cualquier número decimal (racional) en forma de fracción, es decir, pasar cualquier tipo de numero decimal (racional) a un único tipo de número, una fracción, para así simplificar el manejo y las operaciones entre los mismos.

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