Después de unas semanas sin artículo propiamente (fiestas y época de exámenes de mis alumnos han tenido la culpa) volvemos a la carga con un artículo que aunque no sea excesivamente avanzado nunca está de más: vamos a (re)aprender a expresar un número decimal en forma de fracción
Introducción
Para comenzar, aunque para muchos es evidente, vamos a delimitar nuestro campo de acción, es decir, vamos a ver qué números podemos expresar en forma de fracción. Éstos son los números racionales, conjunto que se denota . Es decir, los números decimales que podemos expresar como fracción son los números decimales exactos, como
o
, y los números decimales en cuya expresión decimal se repite a partir de un cierto momento una misma cantidad de cifras, denominada período, como
o
. Los números decimales que no podemos expresar como fracción son los números irracionales, que suele denotarse como
o
. Algunos ejemplos de estos números han aparecido ya en este blog en varias ocasiones: el número
, el número
o el número
. La expresión decimal de estos números (como la de todos los irracionales) es infinita y no periódica. Por ello no pueden expresarse como una fracción.
Como último comentario antes de comenzar decir que la fracción que vamos a obtener de cada número decimal no va a ser en general una fracción irreducible, es decir, cuando ya tengamos la fracción asociada al número decimal podremos encontrar una fracción equivalente a la obtenida que será irreducible dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos. Veremos ejemplos en el desarrollo.
Desarrollo
Para conseguir nuestro objetivo vamos a distinguir tres casos:
1.- Número decimal exacto
Este es el caso más sencillo de todos. La fracción buscada es:
-Numerador: Número completo sin coma
-Denominador: Un uno seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial
Si la fracción obtenida no es irreducible podemos simplificarla como comentamos antes dividiendo por el máximo común divisor de numerador y denominador. Expliquemos por qué con un ejemplo:
Sea . Multiplicamos
por
y queda:
Despejando obtenemos lo buscado
Al ser una fracción irreducible nos quedamos con ella.
Por el mismo procedimiento, para este otro número llegamos a la siguiente fracción:
Como en este caso la fracción obtenida no es irreducible la simplificamos dividiendo entre numerador y denominador.
2.- Número decimal periódico puro
En este caso la fracción buscada es la siguiente:
-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período
Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:
Sea . Multiplicamos
por
(un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos
al resultado. Queda:
Tenemos entonces . Despejamos
y llegamos al resultado esperado:
Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.
De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:
Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por numerador y denominador.
3.- Número decimal periódico mixto
En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:
-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos
Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:
Sea . Multiplicamos
por
(un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos
:
Tenemos entonces que . Volvemos a multiplicar por
(un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):
Despejando obtenemos los buscado:
Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.
Veamos otro ejemplo:
Sea . Multiplicamos
por
(un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo
. Multiplicamos ahora por
(un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a
. Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a
en el primer paso, que en este caso es
, lo multiplicamos por
y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:
Nos queda entonces:
De donde obtenemos el resultado despejando :
Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por numerador y denominador.
Y uno más:
Sea . Multiplicamos
por
(un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda
. Ahora multiplicamos por
(un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos
. Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso,
en este caso, lo multiplicamos por
y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:
Obtenemos
Despejando :
Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.
Conclusión
Como habéis podido ver la cosa no es ni mucho menos difícil, pero nunca viene mal saber cómo hacer estos cambios de decimal a fracción ya que, por norma general, es mucho más engorroso operar con varios números decimales de distintos tipos, con distinto períodos, etc, que hacerlo con fracciones. Con estos procedimientos conseguimos precisamente expresar cualquier número decimal (racional) en forma de fracción, es decir, pasar cualquier tipo de numero decimal (racional) a un único tipo de número, una fracción, para así simplificar el manejo y las operaciones entre los mismos.
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Recuerdo la clase de expresar un número en fracciones. En esa ocación le pregunté al profesor lo siguiente: cuando expreso el resultado es igual a cinco: Si los números reales forman un conjunto denso (entre dos números reales existe un número infinito de números reales). y al buscar un número entre 5 y obtendríamos que no hay ningún número entre ellos dos. ¿LA conclución que podríamos sacar es que 5 y son representaciones del mismo número? En ese momento no obtuve respuesta y quisiera que me aclararan esa interrogante. Si esta interrogante es afirmativa mi mente vuela y se pregunta:… Lee más »
en una fraccion cuyo denominador es el mayor que el denominador, sise divide el numerador se obtiene el numero mixto que represente… espero que te sirva.ç
me cago en tu puta madre
Hola me puedes ayudar con 12,46
se puede racionalizar 16,59?
Jodas jaja hiciste mal la multiplicación de 10x la respuesta es 49
Amigo Ld, no es incorrecta la multiplicación 10x = 49.9^, ya que es el producto en un número con periódico (en este caso de periodo 9)
52/10 a faccion decimal
lA RAIZ 0,36 DE FRACCIONES DECIMAL
Esa pregunta tiene una respuesta matemática y todo. Creo recordar que en Álgebra II se decía que un sistema decimal (o algo así) era aquél en que todo número tenía una única representación decimal con ciertas características (hablo muyyyyyyy de memoria) Y la inclusión de ÚNICA era para evitar duplicidad de escrituras como la del 9 periódico.
Reinaldo, el error en tus fórmulas es el siguiente:
49,999… – 4,999… no es 45 sino 44,999…
Saludos.
En este viejo post se habló un poco de que 0.999… = 1: https://gaussianos.com/igualdad-extrana/
Reinaldo: efectivamente, son dos formas de representar el mismo numero. Respecto al numero que dices al final (
), creo que no es correcto escribir digitos después del periodo, pues obviamente no puede haber nada despues de infinitos ceros, asi que, salvo error, creo que
solo puede expresarse así o como 
por cierto, se me ha olvidado comentar que recuerdo perfectamente en el instituto que el profesor comentó que no hay ningún número
menor estricto que
, tal que entre ese número
y
no haya un tercero
distinto de ambos. Sorprendido, le dije que
debería ser ese número, a lo cual el me contestó con la demostración de que son iguales (
) que aparece en el post de Reinaldo.
perdón, arriba, donce dice
, debería decir 
Se ha visto que todo decimal exacto o periódico (puro o mixto) corresponde a un número racional. ¿Alguien tiene ganas de demostrar el recíproco? Es decir, ¿Por qué podemos estar seguros de que toda fracción admite una representación decimal exacta o periódica?
Se ve muy bien con el algoritmo de la división. Los posibles restos al dividir por n son n-1. Al poner más y más decimales en el cociente, necesariamente llegaremos a repetir el resto antes de haber metido n de esos decimales. A partir de aquí se repetirán necesariamente los restos en el mismo orden. Es pues, periódico (puro o mixto, según).
Cuando se le explica este método a los alumnos de 3ºESO se les dice previamente que cálculos como 3,55…-2,11… no es riguroso hacerlos «a pelo», por lo que los pasamos primero a fracción y luego operamos con ellas. Y después en el método calculamos una resta del tipo 34,44…-3,44…
Problemas de la falta de rigor, que se subsanan con la suma de series.
Aunque «Latex no» respondió a la cuestión sobre la expresión decimal de las fracciones, me gustaría proponer una cuestión sencilla:
«Si
es un número primo distinto de 2 y 5, demostrar que entonces la fracción
admite una expresión periódica (pura), de modo que el número de cifras del periodo divide a
.»
4,999…. no es un número sino un límite
Gracias a todos por sus respuestas… Y el
fue solo una ocurrencia. Se que no es correcto agregar un uno despues de infinitos ceros. Lo siento
Pero yo si veo una buena intuicion en tu comentario (si bien formalmente no tiene sentido, pero ajustando el formalismo si lo tiene!)…
Piensa en la sucesion decreciente (5.1, 5.01, 5.001, 5.0001, …). Esta converge a 5.
Mi conclusion: no es un error tuyo, sino que acabas de inventar una notacion bien chevere!!! En matematicas pasa esto frecuentemente… los «errores» del ayer son las notaciones del hoy
saludos
Me acuerdo cuando vi esto en clases hace algunos años. Por pura curiosidad traté de ver la forma de fracción de
y resultó ser
. En ese entonces no lo entendía bien y le pregunté a mi profesora al respecto, pero no me lo pudo explicar de manera contundente. Me dijo que «el resultado se aproximaba», que era «una excepción a la fórmula», que «la aritmética no era suficiente para poder representar ese resultado sin que las leyes de la matemática se rompan» y cosas así. Mucho después supe que los números eran iguales…
Bueno, voy a responder a la cuestión planteada arriba… “Si p es un número primo distinto de 2 y 5, demostrar que entonces la fracción admite una expresión periódica (pura), de modo que el número de cifras del periodo divide a p-1.” Sabemos que admite una expresión decimal periódica pura (¿Por qué?). Sea «a» el número de cifras del periodo. Como entonces por el pequeño (gran!) teorema de Fermat podemos tomar el menor natural tal que y de hecho . Así que . De aquí que también es un «periodo» de , y puesto que es el menor natural que… Lee más »
Hola a todos gaussianos !!! , me llamo Juan David , estudio Ingenieria pero mi verdadera vocacion son las matematicas , y en la universidad el profesor de Matematicas I propone problemas, en el tema de Funciones , los problemas con Maximo Entero, los mas increibles que se puedan imaginar , lo digo en serio …..algo se de matematicas xq me gusta investigar y se cuando algo es de un nivel complicado , no se si estarian dispuestos a colaborar conmigo , necesito ayuda , pues como les digo soy alumno de 1er ciclo recien , de paso que comparto… Lee más »
necesito ke porfa me digan como escribir un decimal periodico en forma racional..les agradesco…
me pueden dar la explicacion de como se expresa un numero decmal………….. porfa
mas que decir un comentario me gustaria preguntar como puedo distinguir si un numero decimal es racional o irracional y si es racional como puedo encontrar los dos numeros que divididos lo origuinan
linda chica
¿Cual es la explicacion matematica de cuando transformamos un decimal periodico a fraccion se ponen 9 de denominador?
La explicación es la siguiente. Voy a hacerlo de forma básica, pero es extensible. Imagínate que hay un número de período p (p=1234, por ejemplo), o sea 0.ppppppp. A este número se le va a llamar q $q=0.ppppp…$.
p tiene una longitud m (en el caso 1234, pues m=4)
luego se puede afirmar que
Entonces si restamos
expresado de forma racional.
luego
En el caso 0.1234 tenemos
luego
y 
Hay que fijarte que para cualquier valor de m, esto se llena de nueves.




y así sucesivamente.
No quiero ofender a nadie, pero esto nos lo enseñó nuestra profesora el año pasado en 1ero de ESO con un planteamiento que yo creo más sencillo: cuentas las cifras que haya desde la coma y luego pones el número completo en el numerador de una fracción, poniendo como denominador un 1 seguido del número del mismo número de ceros que de las cifras que antes contaste. Perdón si ofendí a alguien.
Por cierto, Tito Eliatron, ¿eres el mismo del foro de Cálico?
Suerte.
Sergio pero no es todos los casos es así. Lee el post con detenimiento :).
¿Por que se utiliza un 9 como denominador cuando queremos pasar un numero decimal periodico a fraccion?
tengo otra formula para sacar fracciones a los decimales: la explico aquí y le doy gracias al que escribio las instruciones de arriba. bueno aqui dejo las mias. * la barra (/) es lo k dibide la fraccion porque no se escribirla como sale en los libros. SACAR LA FRACCION DE UN DECIMAL EXACTO. 7`2= 7`2 x 10/10 = 72/10. y ahora simplificamos. lo que e echo es multiplicar pero no dividir y ya consigo una fracción. esta forma de hacerlo es correcta y para algun@s es mas sencilla. SACAR LA FRACCION DE UN DECIMAL PERIODICO PURO. 1º ejemplo luego… Lee más »
alguien me podria explicar como pasar el numero 0,9999999…. a fraccion? por lógica seria 9/9, pero como sabemos eso es la unidad. gracias
Cuál es la fracción generatriz de 0,999999…. ?
Unai: Si el número que has escrito tiene infinitos nueves la respuesta es 1. Si no te cuadra échale un ojo a este post.
aaa ya entiando gracias
[…] Expresar un número decimal en forma de fracción El teorema de Morley Nuevo récord de dígitos de Pi de memoria…¿seguro? La paradoja del cumpleaños […]
me podrian decir como calcular la cantidad de cifras períodicas que tiene 2/49.
Divide y vencerás:
0’04081 63265 30612 24489 79591 83673 46938 77551 02
04081 63265 30612 24489 79591 83673 46938 77551 02….
Así que son 42 cifras.
y para acerlo mnediante series???
HOLAASS!!NECESITO CON SUMA URGENCIA QUE ME AYUDEN CON ESO!!SÉ, QUE SEGURAMENTE DEBE SER UNA TONTERÍA DE RESOLVER, PERO NO ME ACUERDO CÓMO!!Y EN CASA NADIE SE ACUERDA TAMPOCO..
..»ESCRIBA EL NÚMERO 8,3454545… COMO COCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS»..
AYUUDAAA!!porfavooooooor..:)
Gracias..si podes contestar a mi correo, mejor!!
Muchas muchas gracias!!
Saludos..Fló..
pero como pasar un periodico puro con denominador 17,2315
como encuentro la fraccion de estos decimales
9.21771
7.99853
8.40666
Hola, cuando realice todo los q indican arriba no saque la fraccion exacta a este decimal 4,151515151515 supuestamente sería 411/99 pero al final de esta division sale un 2 q no viene al número original del decimal
Completamente de acuerdo ( aún no lo he leído) pero seguro que está bien.
Necesito pasar este numero decimal periodico a fraccion…por favor que alguien me ayude…
2,0444…
Em Set 20, 2008 publiquei o seguinte artigo http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/09/20/numeros-racionais-exercicio-sobre-dizimas-periodicas-e-serie-geometrica/ pdf: ver caderno Prove que qualquer número representado por uma dízima periódica é racional. Se considerar, como exemplo, o número , em que a barra, nesta notação, significa que o grupo de dígitos se repete indefinidamente posso escrevê-lo na forma e calcular agora a soma da progessão geométrica de razão e primeiro termo . No segundo exemplo tomo o número como ilustrativo do caso em que a dízima não começa imediatamente a seguir à vírgula. Assim, usando o resultado anterior . No úlltimo exemplo, considero . Será O caso geral é… Lee más »
por lo que
sería 
o con el método del post, si
por lo que tenemos 
Gracias ^DiAmOnD^
el racional que no corresponde a un numero decimal racional es
a.-7/4
b.1/6
c.-3/10
d.1/25
el racional mayor -1/3 es
a.-1/2
b.-1/4
c.-1
d.-2/3
Usando Series Geometricas
¿hay alguna forma mas de representar la parte decimal?
no entendi nada ! -_-
de donde sacan que:
si x=4.9
10x=49.9
eso no tiene lógica
hasta donde yo se 4.9 por 10 es 49
que alguien despeje mi duda por favor
rikcher, en el caso que comentas
no es
, sino
, es decir, infinitos nueves. Por ello:
y sigue habiendo infinitos nueves.