Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.
Pappus de Alejandría
Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas
Curioso el asunto. Aquí os dejo un comentario sobre el tema que apareció hace un tiempo en Wotevaruwont (ahora está en su nuevo blog, wotevar.es, pero están en mantenimiento por lo visto) y que me envió mi preciosidad Nadym por mail:
¿Saben matemáticas las abejas?
Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?…
Y viendo ahora el texto se me ocurre una pregunta:
Al final del primer párrafo se dice que sólo se podría aprovechar el espacio al máximo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Alguien sería capaz de demostrar eso?
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Sólo valen los triángulos, cuadrados y hexágonos porque los ángulos que forman sus lados son divisores enteros de 360º. 60º para el triángulo (60*6=360), 90º para el cuadrado (90*4=360) y 120º para el hexágono (120*3=360)
Este es un problema clasiquísimo que resolví en el encerado en los viejos (y no tan buenos) tiempos en que estudiaba física del estado sólido. Hay una demostración geométrica bastante intuitiva (véase por ejemplo el libro de Kittel) pero no es fácil reproducirla en un blog y además me gusta más esta que desarrollé yo mismo, aunque sin duda lo han hecho gazillones de personas antes que yo. Una red bidimensional se caracteriza por su simetría de traslación. Como tal, se puede parametrizar como una combinación lineal con cualesquiera coeficientes enteros de dos vectores base, no necesariamente unitarios ni ortogonales,… Lee más »
No se ve el texto entero porque esta la pagina en mantenimiento, pero…
Una pompa de jabon sabe matematicas? Porque es una esfera perfecta.
No, simplemente, vivimos en un mundo donde los sistemas tieneden al equilibrio y la tendencia natural es de optimizar la energia. Tecnicas de optimizacion por coalescencia o similares, simplemente surgen intrinsecamente a los sistemas.
Las Matemáticas y las abejas…
"Pappus de Alejandría había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado …
Parece ser que las abejas son grandes geómetras. Observemos sino como construyen el fondo de las celdillas hexagonales utilizando tres rombos inclinados en la forma más conveniente.
http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm
Muy Muy Bueno.
Lo quiero enseñar en la escuela primaria. Me ayudas?
Observemos el ángulo de 70º 31´ 43.606
Como dice rmcantin, al hacer pompas de jabón con los aparatos circulares de los niños se forman esferas perfectas. Es curioso que con otras curvas cerradas simples o un triángulo, como un cuadrado, también se forman pompas esféricas. Vean este vídeo http://www.dailymotion.com/relevance/search/Matematicas/video/x2fyvh_pintando-con-numeros-fandoblaje-al_fun
Domingo, no veo yo especial que la pompa de jabón acabe teniendo la misma forma independientemente de la forma del aparato. Una vez que dejas la pompa libre en el aire, tenderá a adoptar la forma que minimice la tensión superficial, y esto se consigue cuando la superficie (que encierra un volumen fijo) tenga un perímetro mínimo, que es justamente la esfera.
El protagonista del video presentado por Domingo H.A. es Marcus du Sautoy, el autor del libro «La música de los números primos».
Una explicación evolutiva simplificada:
Imaginemos que hace mucho tiempo existían diversos tipos de abeja, que hacían diversos tipos de celdillas. Las que gastaban menos recursos tenían una clara ventaja sobre las demás.
Por eso ahora sólo hay de ese tipo.
Volviendo al problema matemático: se puede cubrir el plano utilizando no uno, sino varios tipos de polígonos. Por ejemplo, pueden emplearse pentágonos y rombos. ¿Puede encontrarse alguna forma más eficaz que usando sólo hexágonos o, por el contrario, puede probarse que no existe tal forma?
las teselaciones no periódicas del plano se conocen como teselas de (Roger) Penrose (el mismo que da nombre a la famosa inversa generalizada de matrices). Se le atribuye haber descubierto las teselaciones no periódicas del plano con más de un polígono.
http://blogs.elpais.com/formulas_mueven_el_mundo/2007/08/las-cinco-tesel.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose
Creo que lo más interesante en la construcción del panal es el fondo de las celdillas: Son tres rombos unidos, con el ángulo exacto para economizar el máximo de material.
La demostracion de Pasotaman tiene muy buena pinta pero a mi me resulta incomprensible.
Desde mi punto de vista (el desconocimiento practicamente absoluto) creo que el problema de las celdas hexagonales tiene mas que ver con que ellas lo hacen de manera circular (un cilindro) pero luego, al estar empacadas de manera hexagonal (lo cual es logico: «hagamos un tubo donde haya mas hueco») tienden a «aplastarse» de modo que al final se convierten en celdas hexagonales (como ocurre cuando hay un monton de pompas de jabon apretadas. De todos modos, dado que soy un iletrado en esto, la manera de saber esto seria observar las celdas de los bordes del panal: si son… Lee más »
A mi parecer, la pregunta a ¿Quien les enseño? es fácil. La evolución. No creo que tomen decisiones a ese respecto, es su ADN quien les dice como construir las celdillas.
Yo no tengo ni idea de ésto, te lo envié porque lo encontré «divagando» por la red. Sólo pasaba por aquí para darte las gracias por ese piropo, con personas como tú ¿para qué leer poesía? Y ya que estoy, y como no puedo aportar nada a este tema, pues decir que el libro «La Colmena» de Cela muestra una estructura casi perfecta de personajes con una distribución tipo panal de abejas. Por si alguien lo quiere leer y por si algún curioso está dispuesto a mostrar la relación entre el libro y lo que aquí se dice. Un besote… Lee más »
Respecto al comentario de pasotaman ¿Puede encontrarse alguna forma más eficaz que usando sólo hexágonos o, por el contrario, puede probarse que no existe tal forma? Si presumimos que las abejas sólo serían capaces de crear polígonos regulares (por su mayor facilidad, por ejemplo ;P) tenemos que las teselaciones con dos o más polígonos regulares se reducen a 8 combinaciones distintas de éstos. No es algo que yo haya demostrado (ni idea tendría), sino que lo he consultado a la wikipedia, supongo que podría ser interesante que alguien lo demostrase. De esas ocho descartaremos todas las que no tienen polígonos… Lee más »
Supongo que esto que viene será requeteconocido para muchos, pero yo no lo había visto nunca así. Jugando un poco con los polígonos regulares he llegado a la demostración de lo que todos sabemos: que el área del círculo es Para eso he partido de un polígono regular cualquiera de lados y me he fijado en que respecto al punto central pueden dibujarse triángulos idénticos, delimitados por rectas que van de los vértices al centro. Claramente el ángulo de los lados que dan al centro de cada triángulo es . Cada uno de estos triángulos isósceles podemos partirlo por la… Lee más »
Conocía esa demostración y usa intrínsecamente que la longitud de la circunferencia es (al deducir el valor de los ángulos centrales). También es clásico obtener la fórmula del área por medio del cálculo integral. Me gusta mucho la prueba de Arquímedes basada en construir un triángulo rectángulo cuyos catetos miden el radio de la circunferencia y su longitud, respectivamente. Esta prueba también usa que el cociente longitud/diámetro en la circunferencia es siempre constante. ¿Alguien quiere indicar una prueba elemental de que dadas dos circunferencias, la razón entre la longitud y el diámetro es siempre la misma? Es decir, ¿Porqué pi… Lee más »
No sé cuán elemental ha de ser la prueba, pero una bastante trivial es expresar la longitud de la semicircunferencia como una integral sobre el diámetro. Situando el origen de coordenadas en el centro, la semicircunferencia superior viene dada por
para ![x\in\left[-R,R\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cin%5Cleft%5B-R%2CR%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x\in\left[-R,R\right]")
, luego su longitud 
es:
y con el cambio
podemos escribir:
La integral no depende en absoluto del radio, como se quería demostrar. Por supuesto, sabemos que vale
.
Sí pasotaman, con el cánculo integral sí. Pero a lo mejor no me super explicar bien. Me refiero a que desde los tiempos de la Grecia Clásica los sabios ya conocían que la razón entre longitud y diámetro era constante. Y usando este hecho lograron demostrar la relación entre el área y el diámetro, como hace Arquímedes en su libro sobre el círculo o como recoge Euclides en la proposición 2 del libro XII. Mi cuestión es justificar en base a primeros principios de la geometría euclídea que la razón entre longitud y diámetro es constante en toda circunferencia. Por… Lee más »
Me pregunto si el mismo desarrollo que he hecho arriba no vale también para demostrar esto.
Supongamos que cada lado del polígono tiene una longitul
. El perímetro será 
. Del triángulo rectángulo al que había llegado tengo: 
. Y vemos que el cociente no depende del radio sino del número de lados. Tomando el límite a infinito es como obtenemos 
.
Asier: el argumento de la tangente depende de que la circunferencia abarque radianes, con lo cual, como ya señaló Domingo, se está usando como hipótesis lo que se quería demostrar. Supongo que la demostración griega será un tanto rollenta, como la de la proporcionalidad del área al cuadrado del radio, que leí hace tiempo del libro de Euclides que cita Domingo… a mí la integral me parece una formalización muy sencilla de la idea de que la relación entre diámetro y circunferencia ha de ser independiente de la unidad de medida empleada. Supongo, no obstante, que hay algo de deformación… Lee más »
Asier, en efecto la longitud de cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia es proporcional al radio, y en el límite se tiene entonces que tal propiedad debe satisfacerse para la longitud de la circunferencia. Pero yo me refiero a una demostración partiendo de los axiomas, del concepto de circunferencia y del concepto de longitud de una curva (entendida como supremo de longitudes de polígonos inscritos). Les dejo por aquí un link donde se prueba la existencia de pi en esta línea, donde se sustituye el paso al límite actual por una combinación entre el método de exhausción y la… Lee más »
Igual no lo he entendido bien, pero vamos a ver: creo que se trataba de demostrar que la razón entre la longitud y el diámetro es constante. Que la circunferencia abarca 360º es pura definición a mi entender, ese hecho se puede utilizar sin ningún problema. Fíjate en que yo no utilizo la definición
sino que doy una expresión general para cualquier polígono regular y digo que ese cociente, para el círculo, vale su límite cuando n tiende a infinito y que es una constante, que es lo que se quería demostrar.
Corregidme si me he equivocado.
¿te refieres a que la tangente no se puede calcular sin conocer que
?
Si se trata de eso creo que partiendo del teorema de pitágoras es fácil ver que la tangente de un ángulo es independiente de la hipotenusa (radio de la circunferencia).
La hipotenusa es la secante. El radio del círculo es el cateto adyacente. La tangente es el cateto opuesto.
Omar-P, no me refería al radio de la figura que he utilizado para el desarrollo sino en general, cuando dibujamos un triángulo rectángulo en una circunferencia centrada en el origen de coordenadas, aplicando el teorema de Pitágoras podemos deducir fácilmente que la tangente de un ángulo determinado es independiente de lo grande que sea el triángulo dibujado, es decir independiente de la hipotenusa, que coincide con el radio de la circunferencia donde está inscrito el triángulo. A ese radio me refería.
La longitud de cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia es proporcional al radio, y en el límite parece entonces que tal propiedad debe satisfacerse para la longitud de la circunferencia. Pero todo esto es a posteriori, ya que tendrías que justificar que tiene un límite. Dicho de otro modo tendrías que justificar que , para lo cual se necesita conocer que en una circunferencia el arco que abarca un ángulo dado es proporcional al radio. A lo que voy es que aunque trabajes en sexagesimal, en el fondo asocias un ángulo a una determinada longitud de arco (radián), y… Lee más »
Entiendo a lo que te refieres, pero no creo que sea necesario conocer el valor de ese límite para saber que lo tiene (que es lo que nos interesa saber). Estamos ante una indeterminación del tipo
. Está claro que la longitud de la circunferencia no puede ser cero ni infinito. Como la circunferencia es construible y le hemos asignado un radio, tiene que tener una longitud determinada, por lo tanto sabemos que esa indeterminación es una constante entre 0 e infinito, y además independiente del radio, que es lo que queríamos demostrar.
[…] Pues bien, resulta que le enseñó matemáticas a su hermano menor, Johann, quien se convirtió en un durísimo competidor. De hecho, hubo una fuerte rivalidad por la supremacía matemática. Mientras Johann no disimulaba su alegría cuando resolvió un problema con el que no había podido Jakob, éste último le llamaba “discípulo” intencionadamente. Una disputa famosa se produjo por una curva llamada catenaria, (aquella que se produce al colgar una cuerda sujeta por dos puntos). Mientras Jakob no pudo resolverlo, su hermano Johann sí y corrió a decírselo dejándolo perplejo. Jakob contraatacó con el problema isoperimétrico. Esto es: entre todas… Lee más »
Creo que aquí está explicado todo esto de lo que se habla en este post y sus correspondientes comentarios:
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm
Saludos.
Hermoso sitio LeonardoSz. Imperdible la parte que habla del palimpesto. Gracias.
Digo palimpsesto…
[…] Las matematicas y las abejas ¿Saben las abejas de matematicas? parece ser que si. Aqui os dejo un post en gaussianos.com sobre este asunto. […]
me aburro
bueno me gustaria saber el por que las abejas hacen hexagonos en sus colmenas.
[…] Más información en https://gaussianos.com/las-matematicas-y-las-abejas/ […]
Parece que hay novedades con respecto a la capacidad matemática de las abejas. Científicos alemanes han comprobado que pueden contar hasta 4.
[…] Visto en GAUSSIANOS […]
La explicación de xhaju, la menos matemática, me parece la más lógica. Habría que ir hacia atrás en la evolución para ver si el antecedente de los hexágonos (o mejor, prismas de base hexagonal) es un cilindro. La abeja posiblemente proceda de la evolución de alguna especie de avispa que se especilizó en comer de las flores convirtiéndose en una especie vegetariana. Dentro de las avispas hay especies que viven en sociedad y otras que tienen un tipo de vida más individual. Algunas de las que lo hacen de forma individual construyen el nido para una larva única de forma… Lee más »
Otro tema, entrando por panal en wikipedia (http://es.wikipedia.org/wiki/Panales_de_cera), dice algo acerca del ángulo óptimo que forman los tres rombos que forman el fondo de la celdilla y que están encastrados con las celdillas de la otra casa del panal. Este angulo óptimo ahorraría cera las abejas. ¿Alguien conoce la demostración de este ángulo óptimo? El artículo habla de un tal Koenig, que hizo mas el cálculo, equivocándose en 2 minutos de grado, mientras que las abejas siendo lo hicieron con el ángulo exacto.
jesbaq, lee los comentarios de este post e ingresa a sus enlaces.
Hola a todos. Quería expresaros mi gratitud por todo lo que he aprendido desde hace tan solo media hora que me topé con este fantástico blog. Realmente me he quedado fascinado observando los diferentes puntos de vista y comentarios a cerca de como resolver la pregunta de las abejas y la demostración matemática sobre la relación entre esfera y hexágonos. Es un tema que me lleva interesando desde hace ya mucho tiempo. Ahora bien, después de estar de acuerdo en muchas opiniones de lo que aquí se ha expuesto, mi pregunta sería cómo a partir de un segmento conocido de… Lee más »
Vista de un espectacular hexágono de nubes en el polo norte de Saturno: Aquí
Leí en algún lado que las abejas pueden contar, pero sólo hasta cuatro…
Esa información ya fue dada en este post.
hola^_^ queria expresar mi gratitud por todo lo publicado y aprendido por que las matematicas son lo maximo y lo esencial para todos gracias por pensar en grande y en la juventud
Las abejas hacen hexagonos porque es la unica manera de construir que conocen. ESO SE LLAMA EVOLUCION, Tienen muy poca o ninguna capacidad de decidir. Y si no, observar cuando se encuentran con la madera del marco el desastre que hacen, que por cierto no es economico ni en terminos de esfuerzo ni de tiempo ni de material.
El resto son divgaciones nuestras…