Las Matemáticas y las abejas

Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.

Pappus de Alejandría

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

Curioso el asunto. Aquí os dejo un comentario sobre el tema que apareció hace un tiempo en Wotevaruwont (ahora está en su nuevo blog, wotevar.es, pero están en mantenimiento por lo visto) y que me envió mi preciosidad Nadym por mail:

¿Saben matemáticas las abejas?

Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego “igual perímetro”). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?…

Y viendo ahora el texto se me ocurre una pregunta:

Al final del primer párrafo se dice que sólo se podría aprovechar el espacio al máximo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Alguien sería capaz de demostrar eso?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

49 Comentarios

  1. Sólo valen los triángulos, cuadrados y hexágonos porque los ángulos que forman sus lados son divisores enteros de 360º. 60º para el triángulo (60*6=360), 90º para el cuadrado (90*4=360) y 120º para el hexágono (120*3=360)

    Publica una respuesta
  2. Este es un problema clasiquísimo que resolví en el encerado en los viejos (y no tan buenos) tiempos en que estudiaba física del estado sólido. Hay una demostración geométrica bastante intuitiva (véase por ejemplo el libro de Kittel) pero no es fácil reproducirla en un blog y además me gusta más esta que desarrollé yo mismo, aunque sin duda lo han hecho gazillones de personas antes que yo.

    Una red bidimensional se caracteriza por su simetría de traslación. Como tal, se puede parametrizar como una combinación lineal con cualesquiera coeficientes enteros de dos vectores base, no necesariamente unitarios ni ortogonales, aunque sí linealmente independientes:

    \vec{r}_{m,n}=m\vec{u}+n\vec{v}

    Una red formada por polígonos regulares de l lados tiene además simetría de rotación \theta_l=\frac{2\pi}{l}, con l entero. Si M es la matriz de rotación representada en la base \left\{\vec{u},\vec{v}\right), esto significa que M lleva enteros a enteros. Es trivial ver, con esto y el hecho de que es antisimétrica, que su traza ha de ser entera. La traza se conserva en cambios de base, y sabemos que en la base canónica la matriz de rotación tiene la representación:

    \left(\begin{array}{c} \cos\theta_l \; -\sin\theta_l\\ \sin\theta_l \; \cos\theta_l \end{array}\right)

    De modo que su traza es un entero igual a 2\cos\frac{2\pi}{l}. Pero claro, el coseno está acotado y esto significa que \left|2\cos\frac{2\pi}{l}\right|\in\left\{0,1,2\right\}. Aparte de los casos triviales l\in\left\{0,1\right\}, esto nos da l\in\left\{3,4,6\right\}.

    Ojo, hemos deducido una condición necesaria, pero no suficiente, para que estos valores de l sean válidos. Pero ahora que los tenemos, pueden simplemente dibujarse esas redes para probar que lo son.

    Publica una respuesta
  3. No se ve el texto entero porque esta la pagina en mantenimiento, pero…

    Una pompa de jabon sabe matematicas? Porque es una esfera perfecta.

    No, simplemente, vivimos en un mundo donde los sistemas tieneden al equilibrio y la tendencia natural es de optimizar la energia. Tecnicas de optimizacion por coalescencia o similares, simplemente surgen intrinsecamente a los sistemas.

    Publica una respuesta
  4. Domingo, no veo yo especial que la pompa de jabón acabe teniendo la misma forma independientemente de la forma del aparato. Una vez que dejas la pompa libre en el aire, tenderá a adoptar la forma que minimice la tensión superficial, y esto se consigue cuando la superficie (que encierra un volumen fijo) tenga un perímetro mínimo, que es justamente la esfera.

    Publica una respuesta
  5. El protagonista del video presentado por Domingo H.A. es Marcus du Sautoy, el autor del libro “La música de los números primos”.

    Publica una respuesta
  6. Una explicación evolutiva simplificada:
    Imaginemos que hace mucho tiempo existían diversos tipos de abeja, que hacían diversos tipos de celdillas. Las que gastaban menos recursos tenían una clara ventaja sobre las demás.
    Por eso ahora sólo hay de ese tipo.

    Publica una respuesta
  7. Volviendo al problema matemático: se puede cubrir el plano utilizando no uno, sino varios tipos de polígonos. Por ejemplo, pueden emplearse pentágonos y rombos. ¿Puede encontrarse alguna forma más eficaz que usando sólo hexágonos o, por el contrario, puede probarse que no existe tal forma?

    Publica una respuesta
  8. Creo que lo más interesante en la construcción del panal es el fondo de las celdillas: Son tres rombos unidos, con el ángulo exacto para economizar el máximo de material.

    Publica una respuesta
  9. Desde mi punto de vista (el desconocimiento practicamente absoluto) creo que el problema de las celdas hexagonales tiene mas que ver con que ellas lo hacen de manera circular (un cilindro) pero luego, al estar empacadas de manera hexagonal (lo cual es logico: “hagamos un tubo donde haya mas hueco”) tienden a “aplastarse” de modo que al final se convierten en celdas hexagonales (como ocurre cuando hay un monton de pompas de jabon apretadas. De todos modos, dado que soy un iletrado en esto, la manera de saber esto seria observar las celdas de los bordes del panal: si son cilindricas, entonces seria correcta esta asuncion; si fuesen hexagonales, quedaria “probada” la vision “geometrica” de las abejas, siendo mas interesante el problema de “como lo sabian?”

    Publica una respuesta
  10. A mi parecer, la pregunta a ¿Quien les enseño? es fácil. La evolución. No creo que tomen decisiones a ese respecto, es su ADN quien les dice como construir las celdillas.

    Publica una respuesta
  11. Yo no tengo ni idea de ésto, te lo envié porque lo encontré “divagando” por la red. Sólo pasaba por aquí para darte las gracias por ese piropo, con personas como tú ¿para qué leer poesía?

    Y ya que estoy, y como no puedo aportar nada a este tema, pues decir que el libro “La Colmena” de Cela muestra una estructura casi perfecta de personajes con una distribución tipo panal de abejas. Por si alguien lo quiere leer y por si algún curioso está dispuesto a mostrar la relación entre el libro y lo que aquí se dice.

    Un besote guapísimo.

    Publica una respuesta
  12. Respecto al comentario de pasotaman ¿Puede encontrarse alguna forma más eficaz que usando sólo hexágonos o, por el contrario, puede probarse que no existe tal forma?

    Si presumimos que las abejas sólo serían capaces de crear polígonos regulares (por su mayor facilidad, por ejemplo ;P) tenemos que las teselaciones con dos o más polígonos regulares se reducen a 8 combinaciones distintas de éstos. No es algo que yo haya demostrado (ni idea tendría), sino que lo he consultado a la wikipedia, supongo que podría ser interesante que alguien lo demostrase.

    De esas ocho descartaremos todas las que no tienen polígonos superiores al hexágono, puesto que es trivial que cualquier combinación de hexágonos con polígonos menores que él darán como resultado un área menor con mismo perímetro (recordemos que a menor número de lados, menor área con el mismo perímetro). Este descarte nos deja con tres combinaciones: dos octógonos y un cuadrado; dos dodecágonos y un triángulo; y un dodecágono, un hexágono y un cuadrado.

    Entonces, si calculamos el área que ocupa cada combinación y su perímetro y las comparamos con las medidas del hexágono podremos comprobar cómo teselar con éste último sale mucho más rentable. Si no he errado los cálculos, la combinación de dos dodecágonos con el triángulo es la que más se aproxima a la teselación regular por hexágonos. Y la peor son los dos octógonos con el cuadrado. Coincide que son las combinaciones que tienen más y menos lados respectivamente.

    ¡Saludos!

    Publica una respuesta
  13. Supongo que esto que viene será requeteconocido para muchos, pero yo no lo había visto nunca así.

    Jugando un poco con los polígonos regulares he llegado a la demostración de lo que todos sabemos: que el área del círculo es \pi r^2

    Para eso he partido de un polígono regular cualquiera de n lados y me he fijado en que respecto al punto central pueden dibujarse n triángulos idénticos, delimitados por rectas que van de los vértices al centro. Claramente el ángulo de los lados que dan al centro de cada triángulo es \displaystyle \frac{2 \pi}{n}. Cada uno de estos triángulos isósceles podemos partirlo por la mitad para obtener un triángulo rectángulo donde ahora el ángulo antes mencionado será de \displaystyle \frac{\pi}{n}. Aquí claramente se cumple \displaystyle \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right ) = \frac{base}{r}. El área del triángulo será \displaystyle A = \frac{base \cdot r}{2} = \frac{1}{2} r^2 \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right ). Como en el polígono tenemos 2n de estos triángulos, tenemos que el área total es:

    \displaystyle A_t = 2n \cdot \frac{base \cdot r}{2} = 2n \cdot \frac{1}{2} r^2 \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right ) = r^2 n \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right )

    El área del círculo será el de un polígono de infinitos lados:

    \displaystyle A_c = \lim_{n \to \infty} A_t = r^2 \cdot \lim_{n \to \infty} n \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} = r^2 \cdot \lim_{n \to \infty} n\cdot \sin \frac{\pi}{n} = r^2 \cdot \lim_{n \to \infty} n\cdot \frac{\pi}{n} = \pi r^2

    Publica una respuesta
  14. Conocía esa demostración y usa intrínsecamente que la longitud de la circunferencia es 2\pi r (al deducir el valor de los ángulos centrales). También es clásico obtener la fórmula del área por medio del cálculo integral. Me gusta mucho la prueba de Arquímedes basada en construir un triángulo rectángulo cuyos catetos miden el radio de la circunferencia y su longitud, respectivamente. Esta prueba también usa que el cociente longitud/diámetro en la circunferencia es siempre constante.

    ¿Alguien quiere indicar una prueba elemental de que dadas dos circunferencias, la razón entre la longitud y el diámetro es siempre la misma? Es decir, ¿Porqué pi es constante?

    Publica una respuesta
  15. No sé cuán elemental ha de ser la prueba, pero una bastante trivial es expresar la longitud de la semicircunferencia como una integral sobre el diámetro. Situando el origen de coordenadas en el centro, la semicircunferencia superior viene dada por y=\sqrt{R^2-x^2} para x\in\left[-R,R\right], luego su longitud \frac{L}{2} es:

    \frac{L}{2}=\int\limits_{-R}^R\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}} dx

    y con el cambio t:=\frac{x}{R} podemos escribir:

    \frac{L}{2R}=\int\limits_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt

    La integral no depende en absoluto del radio, como se quería demostrar. Por supuesto, sabemos que vale \pi.

    Publica una respuesta
  16. Sí pasotaman, con el cánculo integral sí. Pero a lo mejor no me super explicar bien. Me refiero a que desde los tiempos de la Grecia Clásica los sabios ya conocían que la razón entre longitud y diámetro era constante. Y usando este hecho lograron demostrar la relación entre el área y el diámetro, como hace Arquímedes en su libro sobre el círculo o como recoge Euclides en la proposición 2 del libro XII.

    Mi cuestión es justificar en base a primeros principios de la geometría euclídea que la razón entre longitud y diámetro es constante en toda circunferencia.

    Por ejemplo: si inscribimos un cuadrado en un círculo entonces la longitud del cuadrado es menor en virtud de que la recta minimiza la distancia. Pero, partiendo de los axiomas de la geometría euclídea, ¿Porqué el área del cuadrado circunscrito es mayor que la del círculo?

    Esta pregunta es una obviedad conociendo que L=2\pi R, pero resulta que esa fórmula es lo que se quiere demostrar (y por tanto no se podría usar).

    Publica una respuesta
  17. Me pregunto si el mismo desarrollo que he hecho arriba no vale también para demostrar esto.

    Supongamos que cada lado del polígono tiene una longitul k. El perímetro será \displaystyle L = nk \Rightarrow k = \frac{L}{n}. Del triángulo rectángulo al que había llegado tengo: \displaystyle \tan \frac{180}{n} = \frac{k}{2r} = \frac{L}{2rn} \Rightarrow \frac{L}{2r} = n\cdot \tan \frac{180}{n}. Y vemos que el cociente no depende del radio sino del número de lados. Tomando el límite a infinito es como obtenemos \pi.

    Publica una respuesta
  18. Asier: el argumento de la tangente depende de que la circunferencia abarque 2\pi radianes, con lo cual, como ya señaló Domingo, se está usando como hipótesis lo que se quería demostrar.

    Supongo que la demostración griega será un tanto rollenta, como la de la proporcionalidad del área al cuadrado del radio, que leí hace tiempo del libro de Euclides que cita Domingo… a mí la integral me parece una formalización muy sencilla de la idea de que la relación entre diámetro y circunferencia ha de ser independiente de la unidad de medida empleada. Supongo, no obstante, que hay algo de deformación profesional en ello.

    Publica una respuesta
  19. Asier, en efecto la longitud de cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia es proporcional al radio, y en el límite se tiene entonces que tal propiedad debe satisfacerse para la longitud de la circunferencia. Pero yo me refiero a una demostración partiendo de los axiomas, del concepto de circunferencia y del concepto de longitud de una curva (entendida como supremo de longitudes de polígonos inscritos).

    Les dejo por aquí un link donde se prueba la existencia de pi en esta línea, donde se sustituye el paso al límite actual por una combinación entre el método de exhausción y la reducción al absurdo: http://cf.geocities.com/ilanpi/pi-exists.html

    ¿Alguien da una referencia bibliográfica donde se indique una prueba “axiomática”?

    Publica una respuesta
  20. Igual no lo he entendido bien, pero vamos a ver: creo que se trataba de demostrar que la razón entre la longitud y el diámetro es constante. Que la circunferencia abarca 360º es pura definición a mi entender, ese hecho se puede utilizar sin ningún problema. Fíjate en que yo no utilizo la definición L = 2 \pi R sino que doy una expresión general para cualquier polígono regular y digo que ese cociente, para el círculo, vale su límite cuando n tiende a infinito y que es una constante, que es lo que se quería demostrar.

    Corregidme si me he equivocado.

    Publica una respuesta
  21. ¿te refieres a que la tangente no se puede calcular sin conocer que L = 2 \pi R?

    Si se trata de eso creo que partiendo del teorema de pitágoras es fácil ver que la tangente de un ángulo es independiente de la hipotenusa (radio de la circunferencia).

    Publica una respuesta
  22. La hipotenusa es la secante. El radio del círculo es el cateto adyacente. La tangente es el cateto opuesto.

    Publica una respuesta
  23. Omar-P, no me refería al radio de la figura que he utilizado para el desarrollo sino en general, cuando dibujamos un triángulo rectángulo en una circunferencia centrada en el origen de coordenadas, aplicando el teorema de Pitágoras podemos deducir fácilmente que la tangente de un ángulo determinado es independiente de lo grande que sea el triángulo dibujado, es decir independiente de la hipotenusa, que coincide con el radio de la circunferencia donde está inscrito el triángulo. A ese radio me refería.

    Publica una respuesta
  24. La longitud de cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia es proporcional al radio, y en el límite parece entonces que tal propiedad debe satisfacerse para la longitud de la circunferencia. Pero todo esto es a posteriori, ya que tendrías que justificar que n\cdot \tan \cfrac{180}{n} tiene un límite. Dicho de otro modo tendrías que justificar que \displaystyle{lim_{h\to 0} \cfrac{tg\;h}{h}}=\displaystyle{lim_{h\to 0} \cfrac{sen\;h}{h}}=1, para lo cual se necesita conocer que en una circunferencia el arco que abarca un ángulo dado es proporcional al radio. A lo que voy es que aunque trabajes en sexagesimal, en el fondo asocias un ángulo a una determinada longitud de arco (radián), y por tanto estás usando que la longitud de un arco es igual al ángulo girado (en radianes) multiplicado por el radio. Y entonces recurrimos a lo que se quiere demostrar.

    Publica una respuesta
  25. Entiendo a lo que te refieres, pero no creo que sea necesario conocer el valor de ese límite para saber que lo tiene (que es lo que nos interesa saber). Estamos ante una indeterminación del tipo \infty \cdot 0. Está claro que la longitud de la circunferencia no puede ser cero ni infinito. Como la circunferencia es construible y le hemos asignado un radio, tiene que tener una longitud determinada, por lo tanto sabemos que esa indeterminación es una constante entre 0 e infinito, y además independiente del radio, que es lo que queríamos demostrar.

    Publica una respuesta
  26. bueno me gustaria saber el por que las abejas hacen hexagonos en sus colmenas.

    Publica una respuesta
  27. Parece que hay novedades con respecto a la capacidad matemática de las abejas. Científicos alemanes han comprobado que pueden contar hasta 4.

    Publica una respuesta
  28. La explicación de xhaju, la menos matemática, me parece la más lógica. Habría que ir hacia atrás en la evolución para ver si el antecedente de los hexágonos (o mejor, prismas de base hexagonal) es un cilindro. La abeja posiblemente proceda de la evolución de alguna especie de avispa que se especilizó en comer de las flores convirtiéndose en una especie vegetariana.
    Dentro de las avispas hay especies que viven en sociedad y otras que tienen un tipo de vida más individual. Algunas de las que lo hacen de forma individual construyen el nido para una larva única de forma redonda. Si varias avispas juntan sus nidos, unas pueden ir a cazar mientras otran vigilan la cría, favoreciendo la perpetuación de su especie.
    Si pones nidos circulares juntos del mismo diámetro, la forma más compacta es colocarlos en la misma forma en la que ordena una red de hexágonos. Supongo que no será difícil de demostrar matemáticamente. Si los círculos puestos unos al lado de los otros comparten paredes aparece el hexágono. Compartiendo paredes se ahorra material y el nido es más compacto, ya que forma un bloque solidario. Los avisperos, que seguramente existieron antes que las colmenas ya tienen celdas de forma hexagonal.

    Publica una respuesta
  29. Otro tema, entrando por panal en wikipedia (http://es.wikipedia.org/wiki/Panales_de_cera), dice algo acerca del ángulo óptimo que forman los tres rombos que forman el fondo de la celdilla y que están encastrados con las celdillas de la otra casa del panal. Este angulo óptimo ahorraría cera las abejas. ¿Alguien conoce la demostración de este ángulo óptimo? El artículo habla de un tal Koenig, que hizo mas el cálculo, equivocándose en 2 minutos de grado, mientras que las abejas siendo lo hicieron con el ángulo exacto.

    Publica una respuesta
  30. Hola a todos. Quería expresaros mi gratitud por todo lo que he aprendido desde hace tan solo media hora que me topé con este fantástico blog. Realmente me he quedado fascinado observando los diferentes puntos de vista y comentarios a cerca de como resolver la pregunta de las abejas y la demostración matemática sobre la relación entre esfera y hexágonos. Es un tema que me lleva interesando desde hace ya mucho tiempo.

    Ahora bien, después de estar de acuerdo en muchas opiniones de lo que aquí se ha expuesto, mi pregunta sería cómo a partir de un segmento conocido de longitud “l” puedo crear una esfera usando únicamente cuadrados y hexágonos. Entendiendo la trigonometría y las formas geométricas como lenguaje armónicos de la naturaleza, me gustaría de verdad saber como emprender el calculo analítico de esta cuestión.

    Un saludo y muchas gracias.

    Publica una respuesta
  31. Leí en algún lado que las abejas pueden contar, pero sólo hasta cuatro…

    Publica una respuesta
  32. hola^_^ queria expresar mi gratitud por todo lo publicado y aprendido por que las matematicas son lo maximo y lo esencial para todos gracias por pensar en grande y en la juventud

    Publica una respuesta
  33. Las abejas hacen hexagonos porque es la unica manera de construir que conocen. ESO SE LLAMA EVOLUCION, Tienen muy poca o ninguna capacidad de decidir. Y si no, observar cuando se encuentran con la madera del marco el desastre que hacen, que por cierto no es economico ni en terminos de esfuerzo ni de tiempo ni de material.
    El resto son divgaciones nuestras…

    Publica una respuesta
  34. yo creo que es de forma exagonal por el peso,si cojes montones de rollo de papel de water y los presionas,te quedaran en forma exagonal,así que no creo que sean matemáticas las abeajs …pero quien sabe

    Publica una respuesta
  35. La perfección de su elaborado diseño lleva a pensar que la abejas han llegado a dominar una habilidad compleja, pero en realidad no es así. Al principio, las celdas del panal son cilíndricas, pero las paredes de cera se van deformando porque las abejas trabajan la cera hasta conseguir crear en el interior de cada celda tanto espacio como sea posible. Como cada celda linda con otras seis, la tensión superficial de la cera y la presión de empaquetado ejercida por las abejas se combinan para dar a cada cilindro una forma hexagonal. Esta forma es la que maximiza tanto el número de celdas que puede empaquetarse en el panal como el volumen de cada celda, y así se consigue la utilización más económica de la cera de las abejas. El trabajo de las abejas y las fuerzas de la física se aúnan para producir la forma hexagonal de las celdas del panal. Las abejas no necesitan saber nada de hexágonos. (Greenfield, 2012) Las explicaciones son siempre más simples.

    Publica una respuesta
  36. El fondo de cada celda de un panal consiste en tres rombos de dimensiones sencillas de expresar.
    Si tomamos como unidad la diagonal menor del rombo la mayor vale raíz de 2 y el lado mide la mitad de raíz de 3.
    Exactamente igual que las caras que confluyen en uno de los vértices ternarios de un rombododecaedro.
    Interesante relación entre las abejas y los sólidos de Catalán.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. meneame.net - Las Matemáticas y las abejas... "Pappus de Alejandría había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo…
  2. Historias de la ciencia | El universo de las matemáticas - [...] Pues bien, resulta que le enseñó matemáticas a su hermano menor, Johann, quien se convirtió en un durísimo competidor.…
  3. Las matematicas y las abejas « Bienvenido al mundo real - [...] Las matematicas y las abejas ¿Saben las abejas de matematicas? parece ser que si. Aqui os dejo un post…
  4. Cocina y Matemáticas » Blog Archive » MIEL EN HEXÁGONOS - [...] Más información en https://gaussianos.com/las-matematicas-y-las-abejas/ [...]
  5. Cocina y Matemáticas » Blog Archive » Frutero con hexagonos - [...] Visto en GAUSSIANOS [...]
  6. Curiosidades Matemáticas « MATEMÁTICAS NUEVO CHILE - [...] a hablar de abejas y matemática, como ya hicimos en esta otra ocasión. En este caso vamos a comentar este post…
  7. Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente - Gaussianos | Gaussianos - [...] En lo que se refiere al plano, en la actualidad se sabe que el rellenado mínimo se consigue con…
  8. Las Matemáticas y las abejas – Gaussianos | Gaussianos | MatesyBulls - […] https://gaussianos.com/las-matematicas-y-las-abejas/ […]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *