Factorización de un primo de la forma 4k+1 en el anillo de los enteros gaussianos
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Un número primo de la forma es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación
es única si
y
son primos en ese anillo.
Este post describe cómo obtener los enteros que son solución de
.
Describiendo el algoritmo
Podemos probar con un programa valores sucesivos de hasta que encontremos la solución de
, y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el primo gemelo titánico más pequeño o el primo más pequeño de 2000 dígitos decimales.
La demostración de Zagier de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.
Tampoco la fórmula explícita de Gauss
es útil para calcular los valores de e
.
Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:
Obtenemos un
. El primer resto que encontramos menor que
es el valor de
y el resto anterior es el valor de
.
El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.
Calculadora de las componentes de los factores
Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma desde las páginas de “Prime Curios!”.
Paso | Resultado | Duración |
---|---|---|
1. Validación de entrada | ||
2. Busca no-residuo | ||
3. Calcula raíz de -1 | ||
4. Alg.Euclides sobre p/r | ||
5. Comprobación | ||
x = | ||
y = |
Descripción de la calculadora
- El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.
Los dos siguientes pasos sirven para obtener
, y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
- En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático
(es decir, un número que no sea un cuadrado
). Como la mitad de los números menores que
son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.
Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.
La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.
- Una vez que tenemos un no-residuo
, en el paso 3 se obtiene
.
Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos,
.
- Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:
Si
.
Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a
son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a
hasta que obtengamos un resto menor que
.
- Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen
. Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número
introducido no es primo (y los valores de
no serán, en general, correctos).
El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado
En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.
La demostración de H.J. Smith
Usamos la notación para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son
. Designamos con
el numerador de la fracción
.
Como , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.
En el post sobre fracciones continuas vimos que se cumple
-
,
-
Estas identidades implican:
(1)
.
(2).
De esta última igualdad se concluye que si es mayor que 1 (y hay más de un cociente),
no es primo.
Para un primo de la forma , sea
el conjunto de las fracciones
, desarrolladas en fracción continua.
En el desarrollo en fracción continua de se tiene que
, porque
, y
porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.
La función asocia a cada elemento de
otro elemento de
, porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que
, porque
.
La función es entonces una involución de
.
Si , el número de elementos de
es
, un número impar, y entonces
tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un
que da una fracción continua simétrica
(por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque
es primo).
Entonces es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.
Sea .
Como
y como
tenemos que
y por tanto
.
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